ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล

ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล (อังกฤษ: Floyd–Warshall algorithm) หรือที่รู้จักในนามว่า ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์, ขั้นตอนของรอย-วอร์แชล หรือ ขั้นตอนวิธีของรอย-ฟลอยด์ เป็นขั้นตอนวิธีการวิเคราะห์กราฟเพื่อที่จะหาระยะทางของเส่นทางสั้นสุดในกราฟที่มีน้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นบวก หรือ น้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นลบ ก็ได้แต่ไม่สามารถหาได้ถ้ามีวงจรลบ โดยการทำงานหนึ่งครั้งของขั้นตอนวิธีนี้จะได้คำตอบของระยะทางของเส้นทางสั้นสุดของทุกๆคู่ปมบนกราฟ อย่างไรก็ตามจะไม่สามารถคืนค่ารายละเอียดของเส้นทางสั้นสุดในแต่ละคู่ปมได้ ยกเว้นมีการเพิ่มเติมเข้าไป ขั้นตอนวิธีนี้เป็นตัวอย่างของกำหนดการพลวัตแบบด้านล่างขึ้นด้านบน โดยขั้นตอนวิธีนี้ถูกคิดขึ้นโดย โรเบิร์ต ฟลอยด์ ในปี 1962 อย่างไรก็ตามขั้นตอนวิธีนี้มีส่วนสำคัญเหมือนกับอัลกอริทึมของเบอร์นาร์ด รอยด์ ในปี 1959 และของสตีเฟน วอร์แชล ในปี 1962 ในการค้นหา ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดของกราฟ (อังกฤษ: Transitive closure)

แนวคิด

• ใช้ได้กับ กราฟที่มีน้าหนักของเส้นเชื่อมทั้งบวกและลบ แต่ไม่สามารถใช้ได้กับ กราฟที่มีวงจรลบ
• คืนค่า ระยะทางของเส้นทางที่สั้นสุดของทุกๆคู่ปม
• ใช้กำหนดการพลวัต กำหนดการพลวัต แบบล่างขึ้นบน (อังกฤษ: Bottom-up)
• path (i,j,0) คือ ไม่มีปมระหว่างทาง จึงมีค่าเท่ากับระยะทางจาก i ไป j

ขั้นตอนวิธี

ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล ใช้ในการเปรียบเทียบระยะทางเส้นทางทั้งหมดที่เป็นไปได้ของกราฟระหว่างแต่ละคู่ของปม โดยมีอัตราการเติบโตของการทำงานเป็น "Θ (|V|^3)"

พิจารณากราฟ G กับปม V ตั้งแต่ปม 1 ถึง ปม N พิจารณาฟังก์ชัน shortestPath (i,j,k) ที่จะคืนค่าระยะทางของเส้นทางสั้นสุดที่เป็นไปได้จาก i ไป j โดยมีปม 1,2,3,...,k เท่านั้นที่เป็นปมระหว่างทางได้ และ path (i,j,k) สามารถหาได้มาจาก path (i,j,k-1) หรือ path (i,k,k-1) +path (k,j,k-1) โดยดูว่าค่าไหนน้อยกว่ากัน และมีกรณีพื้นฐานคือ path (i,j,0) คือ ระยะทางโดยตรงจาก i ไป j ที่ไม่มีปมระหว่างทางนั่นเอง จึงสามารถเขียนได้เป็น การเวียนเกิด ได้ดังนี้

path (i,j,0) = ระยะทางจาก i ไป j path (i,j,k) = ค่าน้อยสุด (path (i,j,k-1),path (i,k,k-1) +path (k,j,k-1) )

 

คำอธิบาย

• path (i,j,k) คือ ระยะทางของเส้นทางสั้นสุดจากปม i ไป j โดยมีปมที่อยู่ระหว่างทางได้คือ {1,2,3,...,k}
• path (i,j,k-1) คือ ระยะทางของเส้นทางสั้นสุดจากปม i ไป j โดยมีปมที่อยู่ระหว่างทางได้คือ {1,2,3,...,k-1}
• path (i,k,k-1) คือ ระยะทางของเส้นทางสั้นสุดจากปม i ไป kโดยมีปมที่อยู่ระหว่างทางได้คือ {1,2,3,...,k-1}
• path (k,j,k-1) คือ ระยะทางของเส้นทางสั้นสุดจากปม k ไป j โดยมีปมที่อยู่ระหว่างทางได้คือ {1,2,3,...,k-1}

รหัสเทียม

สะดวกเมื่อคำนวณ กรณีที่ k โดยสามารถเขียนทับข้อมูลที่เคยบันทึกไว้จากการคำนวณของกรณีที่ผ่านมา k-1 หมายความว่าใช้พื้นที่ในการเก็บข้อมูลในหน่วยความจำเพียงแค่สมการกำลังสอง หรือเพียง อาเรย์สองมิติ นั่นเอง

 1 /* สมมุติให้ฟังก์ชัน edgeCost (i,j) คืนค่า น้ำหนักของเส้นเชื่อมจาก i ไป j 2 */ 3 4 จำนวนเต็ม path[][]; 5 /* อาเรย์ 2 มิติ path[i][j] เป็นเส้นทางสั้นที่สุดจากปม i ไป j โดยใช้ ปมเริ่มต้น (1..k−1). 6 ในแต่ละขั้นตอนของ ขั้นตอนวิธี โดยแต่ละ path[i][j] มีค่าเริ่มต้นคือ edgeCost (i,j). 7 */ 8 9 /* ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล */ 10 ขั้นตอน ฟลอยด์-วอร์แชล () 11 ตั้งแต่ k := 1 ถึง n 12 ตั้งแต่ i := 1 ถึง n 13  ตั้งแต่ j := 1 ถึง n 14  path[i][j] = ค่าน้อยที่สุด ( path[i][j], path[i][k]+path[k][j] ) ; 

พฤติกรรมเมื่อเจอวงจรติดลบ

วงจรติดลบ คือ วงจรที่มีผลรวมของระยะทางของเส้นเชื่อมเป็นค่าลบ ระยะทางสั้นสุดไม่สามารถกำหนดได้เนื่องจาก เส้นทางสามารถติดลบไปเรื่อยๆ ก็จะน้อยลงเรื่อยไม่มีที่สิ้นสุด สำหรับ ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล นั้นจะสังเกตวงจรลบได้จาก path[i][j] เมื่อ i มีค่าเท่ากับ j โดยถ้า path[i][j]<0 เมื่อ i มีค่าเท่ากับ j แสดงว่ามีวงจรลบ จะไม่สามารถหาคำตอบได้

• เริ่มต้น ความยาวของเส้นทาง (i,i) เป็น 0
• เส้นทาง {(i,k), (k,i)} สามารถเปลี่ยนไปเรื่อยๆ
• หลังจากทำขั้นตอนวิธีนี้แล้ว (i,i) จะเป็นลบ ถ้ามี เส้นทางความยาวติดลบมาจาก i
• ถ้ามีความยาวจาก i กลับมา i เป็นลบ จะได้ว่า ระยะทางสั้นสุดที่ได้ผ่านปมระหว่างทางมามีค่าน้อยกว่า 0 จะเรียกว่าวงจรลบ

 1 /* สมมุติให้ฟังก์ชัน edgeCost (i,j) คืนค่า น้ำหนักของเส้นเชื่อมจาก i ไป j 2 */ 3 4 จำนวนเต็ม path[][]; 5 /* อาเรย์ 2 มิติ path[i][j] เป็นเส้นทางสั้นที่สุดจากปม i ไป j โดยใช้ ปมเริ่มต้น (1..k−1). 6 ในแต่ละขั้นตอนของ ขั้นตอนวิธี โดยแต่ละ path[i][j] มีค่าเริ่มต้นคือ edgeCost (i,j). 7 */ 8 9 /* ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล */ 10 ขั้นตอน ฟลอยด์-วอร์แชล () 11 ตั้งแต่ k := 1 ถึง n 12 ตั้งแต่ i := 1 ถึง n 13  ตั้งแต่ j := 1 ถึง n 14  path[i][j] = ค่าน้อยที่สุด ( path[i][j], path[i][k]+path[k][j] ) ; 15 ตั้งแต่ i := 1 ถึง 16 ถ้า path[i][i] < 0 เมื่อนั้น 17 มีวงจรติดลบอยู่ 

การสร้างเส้นทาง

ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชลนั้นโดยปกติแล้วจะหาแค่ระยะทางของเส้นทางที่สั้นที่สุดของแต่ละคู่ปม แต่สามารถปรับเปลี่ยนเพิ่มเติมส่วนของการจำเส้นทางที่ผ่านระหว่างทางได้ด้วยโดยการ เพิ่ม next[i][j] ที่เอาไว้จำค่า ปมที่ผ่านระหว่างทางที่ทำให้มีค่าระยะทางเส้นทางสั้นสุดของคู่ปมมากที่สุด โดย next[i][j] จะได้รับการเปลี่ยนค่าไปเรื่อยๆ ถ้าเกิด ปมที่ผ่านระหว่างทางของแต่ละคู่ปมต้นทางปลายทางที่สนใจอยู่ ทำให้เกิดระยะทางสั้นสุดระหว่างคู่ปมนั้น

 1 ขั้นตอน ฟลอยด์-วอร์แชลกับการสร้างเส้นทาง () 2 ตั้งแต่ k := 1 ถึง n 3 ตั้งแต่ i := 1 ถึง n 4 ตั้งแต่ j := 1 ถึง n 5  ถ้า path[i][k] + path[k][j] < path[i][j] เมื่อนั้น 6  path[i][j] := path[i][k]+path[k][j]; 7  next[i][j] := k; 8 9 ขั้นตอน GetPath (i,j) 10 ถ้า path[i][j] เท่ากับอนันต์ เมื่อนั้น 11 คืนค่า "ไม่มีเส้นทาง"; 12 จำนวนเต็ม ค่ากลาง := next[i][j]; 13 ถ้า ค่ากลางเท่ากับ null เมื่อนั้น 14 คืนค่า "" /* มีเส้นเชื่อมจาก i ไป j ที่ไม่มีปมอยู่ระหว่างเส้นเชื่อมนั้น */ 15 มิฉะนั้น 16 คืนค่า GetPath (i,ค่าเริ่มต้น) + ค่ากลาง + GetPath (ค่าเริ่มต้น,j) ; 

การวิเคราะห์อัตราการเติบโต

เพื่อที่จะหา shortest path ของคู่ปมจำนวน n^2 คู่ปม จาก path (i,j,k-1) ต้องการ 2n^2 คำสั่ง เนื่องจากเราเริ่มจาก path (i,j,0) = edgeCost (i,j) และคำนวณ path (i,j,1) , path (i,j,2), ..., path (i,j,n) ดังนั้นเราจึงได้คำสั่งรวมเท่ากับ n · 2n^2 = 2n^3 จึงสรุปได้ว่ามีอัตราการเติบโตเป็น Θ (n^3).

การนำไปใช้งาน

ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชลนั้นสามารถนำไปแก้ปัญหาปัญหาต่างๆได้ดังนี้

• วิถีสั้นสุดในกราฟมีทิศทาง
• ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด (Transitive closure) ของ กราฟมีทิศทาง
• การกำหนดเส้นทางที่เหมาะสมที่สุด
• การผกผันของเมทริกซ์จริง
• ตรวจสอบว่า กราฟไม่มีทิศทาง เป็นกราฟสองส่วนหรือไม่
• การคำนวณหาเส้นทางของเครือข่าย
• คำนวณหาเส้นทางที่มีปริมาณข้อมูลใดๆ ที่จะผ่านเข้า/ออกช่องทางสัญญาณหนึ่งๆได้ในระยะเวลาที่กำหนดมากที่สุด ในเครือข่าย

บันทึก

จากขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล จะเห็นได้ว่ามีประโยชน์มากในการนำมาหาเส้นทางสั้นสุดของทุกคู่ปม เนื่องจากประสิทธิภาพโดยรวมนั้น เป็น Θ (|V|^3) ซึ่งถ้าเทียบกับ ขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา O (V* (|E|+|V|log|V|) ) และของ ขั้นตอนวิธีของเบลแมน-ฟอร์ด O (V* (|V||E|)) ในกรณีแย่สุด E ประมาณได้ V^2 นั้น จะเห็นได้ว่ามีประสิทธิภาพที่ดีกว่า

ตัวอย่างรหัสในภาษาต่างๆ

• Java
• C
• C++
• Perl
• PHP

การเขียนโปรแกรม

การเขียนโปรแกรม สามารถทำได้หลายภาษามากมาย en:programming language.

• สำหรับ C++, อยู่ใน boost::graph library
• สำหรับ C#, ที่ QuickGraph
• สำหรับ en:Clojure, ที่ paste.lisp.org
• สำหรับ Java, อยู่ใน Apache commons graph library, หรือที่ Algowiki
• สำหรับ MATLAB, อยู่ใน Matlab_bgl package
• สำหรับ Perl, อยู่ใน Graph module
• สำหรับ PHP, บน page and en:PL/pgSQL, บน page at Microshell
• สำหรับ Python, อยู่ใน en:NetworkX library
• สำหรับ R, ใน e1017
• สำหรับ Ruby, ใน script

${\displaystyle {\begin{aligned}&D^{(0)}={\begin{pmatrix}0&3&8&\infty &-4\\\infty &0&\infty &1&7\\\infty &4&0&\infty &\infty \\2&\infty &-5&0&\infty \\\infty &\infty &\infty &6&0\end{pmatrix}}\quad &\Pi ^{(0)}={\begin{pmatrix}{\text{NIL}}&1&1&{\text{NIL}}&1\\{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&2&2\\{\text{NIL}}&3&{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&{\text{NIL}}\\4&{\text{NIL}}&4&{\text{NIL}}&{\text{NIL}}\\{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&5&{\text{NIL}}\end{pmatrix}}\\\\&D^{(1)}={\begin{pmatrix}0&3&8&\infty &-4\\\infty &0&\infty &1&7\\\infty &4&0&\infty &\infty \\2&5&-5&0&-2\\\infty &\infty &\infty &6&0\end{pmatrix}}&\Pi ^{(1)}={\begin{pmatrix}{\text{NIL}}&1&1&{\text{NIL}}&1\\{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&2&2\\{\text{NIL}}&3&{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&{\text{NIL}}\\4&1&4&{\text{NIL}}&1\\{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&5&{\text{NIL}}\end{pmatrix}}\\\\&D^{(2)}={\begin{pmatrix}0&3&8&4&-4\\\infty &0&\infty &1&7\\\infty &4&0&5&11\\2&5&-5&0&-2\\\infty &\infty &\infty &6&0\end{pmatrix}}&\Pi ^{(2)}={\begin{pmatrix}{\text{NIL}}&1&1&2&1\\{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&2&2\\{\text{NIL}}&3&{\text{NIL}}&2&2\\4&1&4&{\text{NIL}}&1\\{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&5&{\text{NIL}}\end{pmatrix}}\\\\&D^{(3)}={\begin{pmatrix}0&3&8&4&-4\\\infty &0&\infty &1&7\\\infty &4&0&5&11\\2&-1&-5&0&-2\\\infty &\infty &\infty &6&0\end{pmatrix}}&\Pi ^{(3)}={\begin{pmatrix}{\text{NIL}}&1&1&2&1\\{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&2&2\\{\text{NIL}}&3&{\text{NIL}}&2&2\\4&3&4&{\text{NIL}}&1\\{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&{\text{NIL}}&5&{\text{NIL}}\end{pmatrix}}\\\\&D^{(4)}={\begin{pmatrix}0&3&-1&4&-4\\3&0&-4&1&-1\\7&4&0&5&3\\2&-1&-5&0&-2\\8&5&1&6&0\end{pmatrix}}&\Pi ^{(4)}={\begin{pmatrix}{\text{NIL}}&1&4&2&1\\4&{\text{NIL}}&4&2&1\\4&3&{\text{NIL}}&2&1\\4&3&4&{\text{NIL}}&1\\4&3&4&5&{\text{NIL}}\end{pmatrix}}\\\\&D^{(5)}={\begin{pmatrix}0&1&-3&2&-4\\3&0&-4&1&-1\\7&4&0&5&3\\2&-1&-5&0&-2\\8&5&1&6&0\end{pmatrix}}&\Pi ^{(5)}={\begin{pmatrix}{\text{NIL}}&3&4&5&1\\4&{\text{NIL}}&4&2&1\\4&3&{\text{NIL}}&2&1\\4&3&4&{\text{NIL}}&1\\4&3&4&5&{\text{NIL}}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$ 

D[k] และ n[k] เมื่อ กราฟถูกคำนวณด้วยขั้นตอนวิธีนี้

ดูเพิ่ม

• Lec 19 | MIT 6.046J / 18.410J Introduction to Algorithms All pairs Shortest path clip
• Lecture MIT shortest path
• Java implementation at Algo wiki
• ULearn การออกแบบอัลกอริทึม (สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล)
• ภาพเคลื่อนไหว ขั้นตอนวิธีของฟลอยด์-วอร์แชล
• Robert Sedgewick
• อัลกอริทึม : 06-11 (2/3)
• ขั้นตอนวิธีของไดค์สตรา เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการหาระยะทางเส้นทางสั้นสุดของคู่ปมใดๆ สำหรับกราฟที่มีความยาวของเส้นเชื่อมไม่เป็นลบ
• ขั้นตอนวิธีของจอห์นสัน เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้หาเส้นทางสั้นที่สุดระหว่างทุกคู่จุด ในกราฟระบุทิศทางที่มีเส้นเชื่อมน้อย ขั้นตอนวิธีนี้สามารถใช้น้ำหนักของเส้นเชื่อมเป็นจำนวนลบได้ แต่ต้องไม่มีวงรอบที่น้ำหนักติดลบอยู่ด้วย

อ้างอิง

• การออกแบบและวิเคราะห์อัลกอริทึม สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล
• Floyd–Warshall_algorithm
• FloydWarshal Computer Science at Biola
• Floyd-warshall

แหล่งข้อมูลอื่น

• Algorithm Design, first semester, 2010 (นัทที นิภานันท์)
• การออกแบบอัลกอริทึม (สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล)
• ULearn การออกแบบอัลกอริทึม (สมชาย ประสิทธิ์จูตระกูล)
• Analyze Floyd's algorithm in an online Javascript IDE
• Interactive animation of the Floyd–Warshall algorithm
• The Floyd–Warshall algorithm in C#, as part of QuickGraph
• Visualization of Floyd's algorithm