ขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก-ไซเดิล

ขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก-ไซเดิล (อังกฤษ: Kirkpatrick-Seidel algorithm) หรือเรียกอีกชื่อว่า "ขั้นตอนวิธีแต่งงานก่อนเอาชนะ" (marriage-before-conquest algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีที่ใช้สำหรับคำนวณหา convex hull ของเซทจุดบนระนาบ โดยมีความซับซ้อนด้านเวลา (time complexity) เป็น O(n log h) ซึ่ง n คือจำนวนจุดนำเข้า และ h คือจำนวนขอบของ hull ดังนั้นขั้นตอนวิธีนี้เวลาในการคำนวณจึงขึ้นอยู่กับทั้งขนาดของข้อมูลนำเข้าและข้อมูลส่งออก (output-sensitive algorithm) ชื่อของขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก-ไซเดิล มาจากชื่อหลังของผู้คิดค้นได้แก่ เดวิด จี. เคิร์กแพทริก (David G. Kirkpatrick) และ ไรมุนด์ ไซเดิล (Raimund Seidel)

ขั้นตอนวิธี

ขั้นตอนวิธีที่ใช้หา convex hull แบบเดิมจะใช้ขั้นตอนวิธีการแบ่งแยกและเอาชนะ (divide-and-conquer algorithm) คือการแบ่งจุดที่นำเข้าออกเป็นสองส่วนที่เท่ากัน โดยใช้เส้นแนวตั้งในการแบ่ง และเวียนเกิดหา convex hull ของส่วนย่อยซ้ายและส่วนย่อยขวา จากนั้นนำทั้งสองส่วนย่อยมาผสานกัน ด้วยการหา "bridge edges" ซึ่งก็คือเส้นที่เชื่อมและสัมผัสทั้งสอง hulls จากทั้งด้านบนและด้านล่าง

ขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก-ไซเดิล นั้นจะมีขั้นตอนกลับลำดับกันกับวิธีแบ่งแยกและเอาชนะ คือหา bridge edges เลยโดยไม่จำเป็นต้องหา convex hull ก่อน ซึ่งในขั้นตอนแรกคือการแบ่งจุดโดยการหาเส้นแบ่งแนวตั้งที่ถูกกำหนดโดยค่ามัธยฐานของพิกัดแกน x ของจุดที่นำเข้าทั้งหมด ขั้นตอนต่อไปคือการหาเส้นขอบของ convex hull ที่ตัดกับเส้นแบ่งนั้น ซึ่งขั้นตอนนี้จะใช้เวลาเป็นเชิงเส้น (O(n)) หากจุดบนฝั่งซ้ายหรือฝั่งขวาของเส้นแบ่งที่ไม่ช่วยในการหาเส้นขอบจะถูกละทิ้ง ซึ่งในการหาขอบบนของ convex hull นั้นจุดที่ไม่ช่วยในการหาเส้นขอบและจะถูกละทิ้งคือ จุดที่อยู่ใต้ bridge edge ลงมา ในขณะที่การหาขอบล่างของ convex hull นั้นจุดที่อยู่เหนือ bridge edge ขึ้นไปจะถูกละทิ้ง จากนั้นเวียนเกิดด้วยจุดทางฝั่งซ้ายของเส้นแบ่งที่ยังไม่ถูกละทิ้ง และด้วยจุดทางฝั่งขวาของเส้นแบ่งที่ยังไม่ถูกละทิ้งไปเรื่อยๆ จนกระทั่งได้ขอบของ convex hull ครบทั้งหมด โดยขั้นตอนวิธีนี้จะต้องแยกดำเนินการเพื่อหาขอบบน และขอบล่างของ convex hull อีกครั้ง

การหาเส้นขอบบนในเวลา O(n) นั้นเราจะสมมติให้เส้นขอบมีความชันเป็น K* จากนั้นเดาค่าความชัน K ขึ้นมาแล้วพยายามคำนวณค่า K* โดยเปรียบเทียบกับค่า K นั้น ให้ l_i จากนั้นทำการหาเส้นตรงที่มีความชัน K และผ่านจุดใดๆ ในเซทของจุดทั้งหมดที่นำเข้า ที่ทำให้ทุกๆ จุดในเซทอยู่ใต้มัน (เส้นนี้จะตัดกับเส้นแบ่งสูงที่สุด) เราสามารถหาเส้นนี้ได้ในเวลา O(n) ถ้าเส้นที่หาได้นี้ผ่านทั้งจุดทางฝั่งซ้ายและฝั่งขวาของเส้นแบ่ง เส้นนี้ก็คือเส้นขอบบนที่เรากำลังหาอยู่ แสดงว่าค่า K=K* แล้ว แต่ถ้าเส้นนี้ผ่านเฉพาะจุดทางฝั่งซ้ายของเส้นแบ่งเท่านั้น แสดงว่าค่า K>K* จึงต้องเดาค่า K ใหม่ให้มีค่าที่น้อยลง และถ้าเส้นนี้ผ่านเฉพาะจุดทางฝั่งขวาของเส้นแบ่งเท่านั้น แสดงว่าค่า K<K* จึงต้องเดาค่า K ใหม่ให้มีค่าที่มากขึ้น จนกว่าจะเจอค่า K ที่เท่ากับ K* ซึ่งก็คือเส้นขอบบนที่หาอยู่ ในการหาเส้นขอบล่างก็ใช้วิธีคล้ายๆ แบบนี้ในการหาเช่นเดียวกัน

ความซับซ้อนด้านเวลา

ให้ h คือจำนวนขอบของ hull ถ้า h = 1 ในขั้นของการเวียนเกิดใดๆ แสดงว่าเส้นขอบเชื่อมระหว่างจุดซ้ายสุดและจุดขวาสุด ซึ่งจุดอื่นๆ ถูกละทิ้งไปหมดแล้ว ดังนั้นจึงใช้เวลา O(n)

ถ้าฝั่งซ้ายของเส้นแบ่งมี ${\displaystyle h_{L}\,\!}$  ขอบ และฝั่งขวาของเส้นแบ่งมี ${\displaystyle h_{R}\,\!}$  ขอบ ดังนั้นจะได้ ${\displaystyle h=1+h_{L}+h_{R}\,\!}$  และให้เวลาในการคำนวณของขั้นตอนวิธีนี้อธิบายได้โดย ${\displaystyle T(n,h)\,\!}$ 

${\displaystyle T(n,1)=cn\,\!}$  ${\displaystyle T(n,h)=cn+T({\frac {n}{2}},h_{L})+T({\frac {n}{2}},h_{R})\,\!}$ 

ให้ ${\displaystyle T(m,h')\leq cm\log h'}$  เมื่อ ${\displaystyle m<n\,\!}$  และ ${\displaystyle 1<h'<h\,\!}$  จะได้ว่า

${\displaystyle T(n,h)\leq cn+c{\frac {n}{2}}\log h_{L}+c{\frac {n}{2}}\log h_{R}\,\!}$ 

จากนั้นใช้ความจริงที่ว่า ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\log h_{L}+\log h_{R})\leq \log {\frac {h_{L}+h_{R}}{2}}\,\!}$  จะได้

${\displaystyle T(n,h)\leq cn+c{\frac {n}{2}}(2\log {\frac {h_{L}+h_{R}}{2}})\leq cn+cn(\log(h-1))\leq cn\log h\,\!}$ 

ดังนั้น ${\displaystyle T(n,h)=O(n\log h)\,\!}$ 

อ้างอิง

1. Kirkpatrick, David G.; Seidel, Raimund (1986). "The ultimate planar convex hull algorithm". SIAM Journal on Computing. 15 (1): 287–299. doi:10.1137/0215021.

แหล่งข้อมูลอื่น

• ตัวอย่างการหา Convex Hull โดยใช้ขั้นตอนวิธีเคิร์กแพทริก-ไซเดิล
• เรขาคณิตเชิงคำนวณ