จำนวนกราแฮม

จำนวนกราแฮม (อังกฤษ: Graham's number) ตั้งชื่อตามชื่อของ โรนัลด์ กราแฮม เป็นจำนวนที่ได้รับการรับรองจากกินเนสส์บุ๊คว่าเป็นจำนวนที่มีค่ามากที่สุดเท่าที่เคยใช้ในบทพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

นิยามของจำนวนกราแฮม

จำนวนกราแฮม สามารถนิยามโดยใช้สัญลักษณ์ลูกศรของคนูธได้ว่า

${\displaystyle \left.{\begin{matrix}G&=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \cdot \uparrow } 3\\&&3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 layers}}}$ 

โดยที่ลูกศรของแต่ละชั้น (layer) มีจำนวนเท่ากับค่าของชั้นที่อยู่ถัดลงมา เมื่อเริ่มต้นจากชั้นบนสุด (ชั้นที่ 64) สามารถอธิบายเป็นสูตรทางคณิตศาสตร์ได้ดังนี้

${\displaystyle G=g_{64},{\text{ where }}g_{1}=3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3,\ g_{n}=3\uparrow ^{g_{n-1}}3,}$ 

ปัญหาของกราแฮม

จำนวนกราแฮมมีที่มาจากปัญหาของกราแฮมดังนี้

พิจารณาลูกบาศก์ n มิติ เชื่อมจุดยอดทุกคู่ให้เกิดกราฟสมบูรณ์ที่มีจุดยอด ${\displaystyle 2^{n}}$  จุด จากนั้นระบายสีเส้นเชื่อมทุกเส้นด้วยสี 2 สี ค่าของ n ที่น้อยที่สุดเป็นเท่าไรที่จะต้องเกิดกราฟสมบูรณ์ที่มีจุดยอด 4 จุดซึ่งอยู่บนระนาบเดียวกันและทุกเส้นเชื่อมมีสีเดียวกัน

อย่างไรก็ตาม ยังไม่มีใครค้นพบคำตอบของปัญหาข้อนี้ ในปี 1971 กราแฮมกับรอธส์ไชลด์ ได้พิสูจน์ว่าคำตอบของปัญหา N* จะต้องเป็นไปตาม 6 ≤ N* ≤ N เมื่อ N เป็นจำนวนค่ามากที่เท่ากับ ${\displaystyle F^{7}(12)=F(F(F(F(F(F(F(12)))))))}$ เมื่อ ${\displaystyle F(n)=2\uparrow ^{n}3}$ ตามสัญกรณ์ลูกศรของคนูธ หากใช้สัญกรณ์ลูกศรขวาของคอนเวย์ N มีค่าระหว่าง 4 → 2 → 8 → 2 กับ 2 → 3 → 9 → 2 ต่อมาในปี 2014 ขอบเขตบนถูกลดลงเหลือ ${\displaystyle N'=2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$ ส่วนขอบเขตล่างเพิ่มเป็น 11 ในปี 2003 และ 13 ในปี 2008

สำหรับจำนวนกราแฮม G เป็นขอบเขตบนที่มีค่ามากยิ่งกว่า N ถูกค้นพบโดยกราแฮม และต่อมาได้ตีพิมพ์โดยมาร์ติน การ์ดเนอร์ ใน Scientific American ทำให้เป็นที่รู้จักมากกว่า