จำนวนฟีโบนัชชี

จำนวนจำนวนฟีโบนัชชี หรือ เลขจำนวนฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci number) คือจำนวนต่าง ๆ ที่อยู่ในลำดับจำนวนเต็มดังต่อไปนี้

การจัดเรียงสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้านเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946 ... (ลำดับ  A000045)

โดยมีนิยามของความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ และลำดับของจำนวนดังกล่าวก็จะเรียกว่า ลำดับจำนวนฟีโบนัชชี (อังกฤษ: Fibonacci sequence)

หากเขียนให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ ลำดับ F_n ของจำนวนฟีโบนัชชีนิยามขึ้นด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดดังนี้

${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}\!}$

โดยกำหนดค่าเริ่มแรกให้

${\displaystyle F_{0}=0;\;F_{1}=1}$

ชื่อของจำนวนฟีโบนัชชีตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลีชื่อ เลโอนาร์โดแห่งปีซา (Leonardo de Pisa) ซึ่งเป็นที่รู้จักกันในนามฟีโบนัชชี (Fibonacci) ผู้ค้นพบจำนวนฟีโบนัชชีในต้นศตวรรษที่ 13

รูปปิด(Closed figure)

เนื่องจากลำดับฟีโบนัชชีเป็นลำดับที่นิยามด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิดเชิงเส้น เราจึงสามารถหารูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชีได้ โดยสมการแสดงรูปปิดของจำนวนฟีโบนัชชี มีชื่อเรียกว่า สูตรของบิเนต์ มีดังต่อไปนี้

${\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}}$ 

โดย ${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2\approx 1.618}$  เป็นตัวตัวเลขที่รู้จักกันโดยทั่วไปว่าอัตราส่วนทอง

พิจารณาสมการพหุนาม ${\displaystyle x^{2}=x+1}$  เมื่อคูณทั้งสองข้างด้วย ${\displaystyle x^{n-1}}$  เราได้ว่า

${\displaystyle x^{n+1}=x^{n}+x^{n-1}\,}$ 

ผลเฉลยของสมการ ${\displaystyle x^{2}=x+1}$  ได้แก่ ${\displaystyle \varphi }$  และ ${\displaystyle 1-\varphi }$  ดังนั้น

${\displaystyle \varphi ^{n+1}\,}$	= ${\displaystyle \varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}\,}$  และ
${\displaystyle (1-\varphi )^{n+1}\,}$	= ${\displaystyle (1-\varphi )^{n}+(1-\varphi )^{n-1}\,}$

พิจารณาฟังก์ชัน

${\displaystyle F_{a,b}(n)=a\varphi ^{n}+b(1-\varphi )^{n}}$  เมื่อ ${\displaystyle a}$  และ ${\displaystyle b}$  เป็นจำนวนจริงใดๆ

เราได้ว่าฟังก์ชันเหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิดที่ใช้นิยมเลขฟีโบนัชชี

${\displaystyle F_{a,b}(n+1)\,}$	${\displaystyle =a\varphi ^{n+1}+b(1-\varphi )^{n+1}}$
	${\displaystyle =a(\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1})+b((1-\varphi )^{n}+(1-\varphi )^{n-1})}$
	${\displaystyle =a{\varphi ^{n}+b(1-\varphi )^{n}}+a{\varphi ^{n-1}+b(1-\varphi )^{n-1}}}$
	${\displaystyle =F_{a,b}(n)+F_{a,b}(n-1)\,}$

เลือก ${\displaystyle a=1/{\sqrt {5}}}$  and ${\displaystyle b=-1/{\sqrt {5}}}$  เราได้ว่า

${\displaystyle F_{a,b}(0)={\frac {1}{\sqrt {5}}}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}=0=F(0)\,\!}$ 

และ

${\displaystyle F_{a,b}(1)={\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}-{\frac {(1-\varphi )}{\sqrt {5}}}={\frac {-1+2\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {-1+(1+{\sqrt {5}})}{\sqrt {5}}}=1=F(1)}$ 

เราสามารถใช้ข้อความนี้เป็นฐานของการพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ของข้อความ ${\displaystyle F_{a,b}(n)=F(n)}$  และใช้เอกลักษณ์ของ ${\displaystyle F_{a,b}}$  พิสูจน์กรณีอุปนัยได้ เราจึงสามารถสรุปว่า

${\displaystyle F(n)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}}$  สำหรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ${\displaystyle n}$  ทุกตัว

เนื่องจาก ${\displaystyle |1-\varphi |^{n}/{\sqrt {5}}<1/2}$  สำหรับทุกๆ ${\displaystyle n>0\,\!}$  เราจึงได้ว่า ${\displaystyle F_{n}\,\!}$  จึงเป็นจำนวนเต็มที่ใกล้ ${\displaystyle \varphi ^{n}/{\sqrt {5}}}$  ที่สุด หรือเขียนเป็นประโยคสัญลักษณ์โดยใช้ฟังก์ชันพื้น (floor function) ได้ว่า

${\displaystyle F(n)={\bigg \lfloor }{\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}+{\frac {1}{2}}{\bigg \rfloor }}$ 

ความสัมพันธ์กับอัตราส่วนทอง(Golden ratio)

โยฮันเนส เคปเลอร์ ค้นพบว่าอัตราส่วนของจำนวนฟีโบนัชชีที่ติดกันลู่เข้าสู่อัตราส่วนทอง กล่าวคือ

${\displaystyle {\frac {F(n+1)}{F(n)}}}$  ลู่เข้าสู่อัตราส่วนทอง ${\displaystyle \varphi }$ 

การพิสูจน์:

สำหรับจำนวนจริง ${\displaystyle a\neq 0,b\neq 0}$  เราได้ว่า

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{a,b}(n+1)}{F_{a,b}(n)}}}$	${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {a\varphi ^{n+1}-b(1-\varphi )^{n+1}}{a\varphi ^{n}-b(1-\varphi )^{n}}}}$
	${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }{\frac {a\varphi -b(1-\varphi )({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}}{a-b({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}}}}$
	${\displaystyle =\varphi }$ ,

เนื่องจาก ${\displaystyle \left|{\frac {1-\varphi }{\varphi }}\right|<1}$  ดังนั้น ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }({\frac {1-\varphi }{\varphi }})^{n}=0}$ 

เนื่องจากจำนวนฟีโบนัชชีคือ ${\displaystyle F_{a,b}}$  เมื่อ ${\displaystyle a=1/{\sqrt {5}}}$  และ ${\displaystyle b=-1/{\sqrt {5}}}$  ลิมิตของอัตราส่วนของเลขฟีโบนัชชีที่ติดกันจึงสอดคล้องกับสมการข้างบนด้วย

รูปเมทริกซ์(Matrix)

ระบบสมการความแตกต่างเชิงเส้นที่อธิบายลำดับฟีโบนัชชีได้คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{k+2} \choose F_{k+1}}&={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{F_{k+1} \choose F_{k}}\\{\vec {F}}_{k+1}&=A{\vec {F}}_{k}\end{aligned}}}$ 

และมีรูปปิดคือ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.}$ 

ด้วยรูปปิดดังกล่าว การคำนวณค่าฟีโบนัชชีจึงสามารถคำนวณได้โดยใช้จำนวนการดำเนินการเลขคณิต O(log n) หรือใช้เวลา O(M(n) log(n)) โดยที่ M(n) คือเวลาในการคูณเลข n หลัก 2 ตัว โดยใช้วิธียกกำลังโดยการยกกำลังสอง กล่าวคือ

${\displaystyle x^{n}={\begin{cases}x\,(x^{2})^{\frac {n-1}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\\(x^{2})^{\frac {n}{2}},&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}.\end{cases}}}$ 

เมื่อให้ x เป็นเมทริกซ์ จึงสามารถหาค่า F_n ได้ในเวลาที่กล่าวไว้แล้ว

ลำดับฟีโบนัชชีในธรรมชาติ(Fibonacci Sequence)

สิ่งที่ปรากฏตามธรรมชาติมิได้มีแต่รูปร่างง่ายๆ เท่านั้น บางอย่างมีรูปร่างที่มีแบบแผนทางคณิตศาสตร์ที่ยุ่งยากขึ้นไปอีก ตัวอย่างที่น่าสนใจของธรรมชาติที่เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของ คณิตศาสตร์ชั้นสูง ได้แก่ เส้นโค้งก้นหอย ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ถ้าลากเส้นตรงจากจุดหลายของเกลียวข้างในสุดไปตัดกับเส้นโค้งแล้ว มุมที่เกิดจากเส้นตรงนั้นกับเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดตัดจะเท่ากันเสมอดังรูป มุม A = มุม B = มุม C เส้นโคังที่มีลักษณะเป็นก้นหอยจะพบได้ในหอยบางชนิด เช่น หอยทาก

นอกจากนี้ยังมีความโค้งของงาช้าง ความโค้งของเกสรดอกทานตะวัน ตาสับปะรดและตาลูกสน ก็มีลักษณะคล้ายส่วนของเส้นโค้งก้นหอยด้วย ยังมีเรื่องที่น่าสนใจในธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์อีก จากการศึกษาเส้นโค้งของตาลูกสน ตาสับปะรด และเกสรดอกทานตะวัน จะเห็นว่าเส้นโค้งที่หมุนตามเข็มนาฬิกาของตาลูกสนมีจำนวน 5 เส้น และหมุนทวนเข็มนาฬิกามีจำนวน 3 เส้น หรืออาจกล่าวได้ว่า จำนวนเส้นโค้งสองแบบมีอัตราส่วนเป็น 5 ต่อ 8 สำหรับตาสับปะรด เส้นโค้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา มีอัตราส่วนเป็น 8 ต่อ 13 เส้นโค้งที่เกิดจากเกสรดอกทานตะวันตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิกามีอัตราส่วนเป็น 21 ต่อ 34 ปรากฏการณ์นี้เป็นไปตามกฎเกณฑ์ของเลขฟีโบนัชชี

การนำไปใช้

จำนวนฟีโบนัชชีมีความสำคัญในการวิเคราะห์ประสิทธิภาพของยูคลีเดียนอัลกอริทึมซึ่งใช้ในการหาตัวหารร่วมมากของจำนวนเต็มสองจำนวน โดยยูคลิเดียนอัลกอริทึมจะทำงานได้ช้าที่สุดถ้าข้อมูลเข้าเป็นจำนวนฟีโบนัชชีสองตัวที่ติดกัน

ยูริ มาทิยาเซวิช พิสูจน์ได้ว่าจำนวนฟีโบนัชชีมีนิยามในรูปของผลเฉลยของสมการไดโอแฟนไทน์ ซึ่งความจริงข้อนี้นำไปสู่การแก้ปัญหาข้อที่ 10 ของฮิลแบร์ท

จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในรูปของผลบวกของจำนวนฟีโบนัชชีที่ไม่ติดกินได้เพียงแบบเดียวเท่านั้น ความจริงข้อนี้เป็นที่รู้จักกันในนามทฤษฎีบทของเซคเคนดอร์ฟ การเขียนจำนวนเต็มในรูปดังกล่าวเรียกว่า การนำเสนอแบบเซคเคนดอร์ฟ

ตัวกำเนิดจำนวนสุ่มเทียมบางตัวใช้จำนวนฟีโบนัชชีเป็นเครื่องมือในการสร้างเลขสุ่ม

จำนวนฟีโบนัชชีถูกใช้กำหนดความยาวของส่วนประกอบต่างๆ ของงานศิลปะ และถูกใช้ในการเทียบเสียงเครื่องดนตรี ผลงานเพลงที่มีความเกี่ยวข้องกับจำนวนฟีโบนัชชี ได้แก่ เพลงสำหรับเครื่องสาย เครื่องประกอบจังหวะ และซีเลสตา ของ เบลา บาท็อก, และเพลงแลเทอราทัส ของวงทูล ซึ่งมีจำนวนพยางค์ในวรรคของเนื้อร้องเท่ากับจำนวนฟีโบนัชชี ("Black/Then/White are/All I see/In my infancy/Red and yellow then came to be")

อ้างอิง

1. Lucas p. 3
2. Dijkstra, Edsger W. (1978), In honour of Fibonacci (PDF).

• Ball, Keith M. (2003). "Chapter 8: Fibonacci's Rabbits Revisited". Strange Curves, Counting Rabbits, and Other Mathematical Explorations. Princeton University Press. ISBN 0691113211.
• Lucas, Édouard (1891). Théorie des nombres. 1. Gauthier-Villars.

• Arakelian, Hrant (2014), Mathematics and History of the Golden Section. Logos, 404 p. ISBN 978-5-98704-663-0, (rus.)