ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน

ในคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะในสาขาคณิตวิเคราะห์ ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (อังกฤษ: Inverse function theorem) เป็นทฤษฎีบทที่ระบุเงื่อนไขที่เพียงพอที่ทำให้ฟังก์ชันสามารถหาอินเวอร์สได้บนย่านใกล้เคียงของจุดบางจุดในโดเมนของฟังก์ชัน เงื่อนไขดังกล่าวคือ อนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และไม่เท่ากับศูนย์ที่จุดนั้น

ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย

ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นจริงสำหรับปริภูมิและฟังก์ชันจำนวนมาก อาทิ ในกรณีที่ ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์ หรือเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค เป็นต้น

เนื้อความของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทข้างต้นมีหลายแบบสำหรับเงื่อนไขแตกต่างกัน ด้านล่างเป็นรูปแบบหนึ่ง

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (สำหรับ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ) — ให้ ${\displaystyle A}$  เป็นสับเซตเปิดของ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  และ ${\displaystyle f\colon A\to \mathbb {R} ^{n}}$  เป็นฟังก์ชันในชั้น ${\displaystyle C^{r}}$  หากอนุพันธ์รวม ${\displaystyle Df(x)}$  สามารถหาอินเวอร์สได้ที่จุด ${\displaystyle p\in A}$  แล้วจะมีย่านใกล้เคียง ${\displaystyle U}$  รอบจุด ${\displaystyle p}$  ที่ทำให้ ${\displaystyle f}$  ส่งเซต ${\displaystyle U}$  ไปยังเซตเปิด ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$  อย่างหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง และ ${\displaystyle f^{-1}\colon V\to U}$  เป็นฟังก์ชันในชั้น ${\displaystyle C^{r}}$  ด้วย

เงื่อนไขที่สมมูลกันกับ อนุพันธ์รวม ${\displaystyle Df(x)}$  สามารถหาอินเวอร์สได้ที่จุด ${\displaystyle p\in A}$  คือ จาโคเบียนเมทริกซ์ ${\displaystyle J_{f}(p)}$  ที่จุด ${\displaystyle p}$  มีดีเทอร์มิแนนท์ไม่เป็นศูนย์

โดยใช้กฎลูกโซ่ จะได้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันผกผันนั้นจะเท่ากับ ${\displaystyle D(f^{-1})(x)=(Df(x))^{-1}}$ 

ในกรณีที่ ${\displaystyle n=1}$  และ ${\displaystyle f}$  เป็นฟังก์ชันในชั้น ${\displaystyle C^{1}}$  (นั่นคือ ${\displaystyle f}$  หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง) จะได้ทฤษฎีบทในแคลคูลัสตัวแปรเดียวดังนี้

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (สำหรับ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ) — ให้ ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$  เป็นฟังก์ชันบนช่วงเปิด ${\displaystyle I}$  และ ${\displaystyle f}$  เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่ ${\displaystyle f'(p)\neq 0}$  สำหรับบาง ${\displaystyle p\in I}$  แล้วจะได้ว่า ${\displaystyle f}$  มีอินเวอร์ส และฟังก์ชันอินเวอร์สนั้นหาอนุพันธ์ได้ที่จุด ${\displaystyle b=f(a)}$ 

นอกจากนี้แล้ว ${\displaystyle (f^{-1})'(b)=1/f'(a)}$ 

ตัวอย่าง

พิจารณาฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!}$  กำหนดโดย

${\displaystyle F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}}$ 

เมทริกซ์จาโคเบียนของ ${\displaystyle F}$  คือ

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}$ 

โดยมีดีเทอร์มิแนนท์เท่ากับ

${\displaystyle \det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}\,\!}$ 

จะเห็นได้ว่าดีเทอร์มิแนนท์ ${\displaystyle e^{2x}\!}$  ไม่เป็นศูนย์ทุกที่ โดยใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันจึงยืนยันได้ว่า ทุก ๆ จุด ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{2}}$  จะมีย่านใกล้เคียงของ ${\displaystyle p}$  ที่ทำให้ ${\displaystyle F}$  หาอินเวอร์สได้ แต่ไม่ได้หมายความว่า ${\displaystyle F}$  จะหาอินเวอร์สได้บนโดเมนทั้งหมด ทั้งนี้เพราะว่า ${\displaystyle F}$  ไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งด้วยซ้ำ (เพราะ ${\displaystyle F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!}$  ดังนั้น ${\displaystyle F}$  เป็นฟังก์ชันคาบ)

ตัวอย่างค้านเมื่อสละเงื่อนไขบางส่วน

 

ฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$  ถูกกำกับให้อยู่ในบริเวณปิดล้อมกำลังสองใกล้เส้นตรง${\displaystyle y=x}$  ดังนั้น ${\displaystyle f'(0)=1}$  อย่างไรก็ตามฟังก์ชันนี้มีจุดสูงสุด/ต่ำสุดเป็นจุดสะสมรอบ ${\displaystyle x=0}$  จึงทำให้ฟังก์ชันดังกล่าวไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งในบริเวณนั้น

ถ้าหากไม่มีเงื่อนไขที่ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันต้องต่อเนื่องแล้ว ทฤษฎีบทข้างต้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$  กำหนดโดย

${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$  และ ${\displaystyle f(0)=0}$ 

มีอนุพันธ์ที่ไม่ต่อเนื่องดังนี้

${\displaystyle f'(x)={\begin{cases}1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}}),&x\neq 0\\1,&x=0\end{cases}}}$  และมีจุดที่ทำให้ ${\displaystyle f'(x)=0}$  ทุก ๆ ย่านใกล้เคียงของ 0

ที่จุดดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$  ดังนั้น ${\displaystyle f}$  จึงไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และหาอินเวอร์สไม่ได้ทุกช่วงที่มี ${\displaystyle x=0}$ 

หรืออีกนัยหนึ่ง เส้นความชัน ${\displaystyle f'\!(0)=1}$  ไม่ได้กำกับหรือบังคับจุดใกล้เคียง ซึ่งเส้นโค้งความชันที่จุดนั้น ๆ จะสั่น (oscillate) เป็นจำนวนอนันต์นับไม่ได้

วิธีการพิสูจน์

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันมีบทพิสูจน์ที่หลากหลาย บทพิสูจน์ส่วนใหญ่ใช้หลักการการส่งแบบหดตัว หรือที่รู้จักกันในชื่อ ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค และเนื่องจากทฤษฎีบทจุดตรึงนั้นสามารถขยายนัยทั่วไปไปยังกรณีมิติเป็นอนันต์ (ในปริภูมิบานาค) ได้ ทำให้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันขยายนัยทั่วไปไปยังมิติอนันต์ได้

บทพิสูจน์แบบหนึ่งใช้ทฤษฎีบทค่าขีดสุดสำหรับฟังก์ชันบนเซตกระชับ

อีกบทพิสูจน์หนึ่งใช้ขั้นตอนวิธีของนิวตัน ซึ่งสามารถให้ค่าประมาณขนาดย่านใกล้เคียงที่ฟังก์ชันนั้นหาอินเวอร์สได้

การขยายนัยทั่วไป

แมนิโฟลด์

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถเขียนให้อยู่ในรูปการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างแมนิโฟลด์หาอนุพันธ์ได้ ในกรณีนี้ ทฤษฎีบทอยู่ในรูป

ให้ ${\displaystyle F:M\to N}$  เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้ (ในชั้น ${\displaystyle C^{1}}$ ) หากดิฟเฟอเรนเชียลของ ${\displaystyle F}$ 

${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N}$ 

เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่จุด ${\displaystyle p}$  ใน ${\displaystyle M}$  แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด ${\displaystyle U}$  ของ ${\displaystyle p}$  ที่ทำให้

${\displaystyle F|_{U}:U\to F(U)}$ 

เป็นอนุพันธสัณฐาน สังเกตว่าทฤษฎีบทข้างต้นยืนยันว่าส่วนเชื่อมโยงใน ${\displaystyle M}$  และ ${\displaystyle N}$  ที่มี ${\displaystyle p}$  และ ${\displaystyle F(p)}$  เป็นสมาชิกจะมีมิติเท่ากัน นอกจากนี้ถ้าอนุพันธ์ของ ${\displaystyle F}$  เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานทุกจุด ${\displaystyle p}$  ใน ${\displaystyle M}$  แล้วการส่ง ${\displaystyle F}$  จะเป็นอนุพันธสัณฐานเฉพาะที่ (local diffeomorphism)

ปริภูมิบานาค

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสามารถขยายไปยังการส่งหาอนุพันธ์ได้ระหว่างปริภูมิบานาค ${\displaystyle X}$  และ ${\displaystyle Y}$  ให้ ${\displaystyle U}$  เป็นย่านใกล้เคียงเปิดของจุดกำเนิดใน ${\displaystyle X}$  และ ${\displaystyle F:U\to Y\!}$  เป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง และสมมติให้อนุพันธ์เฟรเช ${\displaystyle dF_{0}:X\to Y\!}$  ของ ${\displaystyle F}$  ที่จุด 0 เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงเชิงเส้นที่มีขอบเขต แล้วจะมีย่านใกล้เคียงเปิด ${\displaystyle V}$  ของ ${\displaystyle F(0)\!}$  ใน ${\displaystyle Y}$  และฟังก์ชัน ${\displaystyle G:V\to X\!}$  ซึ่งเป็นฟังก์ชันหาอนุพันธ์ได้และอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่ทำให้ ${\displaystyle F(G(y))=y}$  สำหรับทุก ${\displaystyle y\in Y}$ 

ยิ่งไปกว่านั้น ${\displaystyle G(y)\!}$  จะเป็นผลเฉลยเดียวที่เล็กเพียงพอสำหรับสมการ ${\displaystyle F(x)=y\!}$ 

แมนิโฟลด์บานาค

การวางนัยทั่วไปข้างต้นสามารถนำมารวมกันได้เป็นทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับแมนิโฟลด์บานาค

ทฤษฎีบทแรงค์คงที่

ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันและทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายอาจมองได้ว่าเป็นกรณีเฉพาะหนึ่งของทฤษฎีบทแรงค์คงที่ ซึ่งกล่วว่าการส่งเรียบที่มีแรงค์คงตัวใกล้จุด ๆ หนึ่งจะสามารถเขียนในรูปแบบปรกติใกล้จุด ๆ นั้นได้ หรืออีกนัยหนึ่ง หาก ${\displaystyle F:M\to N}$  มีแรงค์คงตัวใกล้กับจุด ${\displaystyle p\in M\!}$  แล้วจะมีช่วงเปิด ${\displaystyle U}$  ของ ${\displaystyle p}$  และ ${\displaystyle V}$  ของ ${\displaystyle F(p)}$  และอนุพันธสัณฐาน ${\displaystyle u:T_{p}M\to U\!}$  และ ${\displaystyle v:T_{F(p)}N\to V\!}$  ที่ทำให้ ${\displaystyle F(U)\subseteq V\!}$  และอนุพันธ์ ${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N\!}$  มีค่าเท่ากับ ${\displaystyle v^{-1}\circ F\circ u\!}$  ซึ่งก็คือ ${\displaystyle F}$  ประพฤติตัวเหมือนเป็นอนุพันธ์ของมันเองใกล้ ๆ ${\displaystyle p}$  ความเป็น semicontinuous ของฟังก์ชันแรงค์ส่งผลให้มีเซตปิดหนาแน่นบนโดเมนของ ${\displaystyle F}$  ที่อนุพันธ์ดังกล่าวมีแรงค์คงตัว จึงทำให้ทฤษฎีบทแรงค์คงที่ใช้ได้กับจุดใด ๆ บนโดเมน

เมื่ออนุพันธ์ของ ${\displaystyle F}$  เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) ที่จุด ${\displaystyle p}$  แล้วจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (อ่าน: ทั่วถึง) บนย่านใกล้เคียงบางย่านของ ${\displaystyle p}$  ด้วย ดังนั้นแรงค์ของ ${\displaystyle F}$  จะคงตัวบนย่านนั้น จึงสามารถใช้ทฤษฎีบทแรงค์คงตัวได้

ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

ถ้าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก ${\displaystyle F}$  นิยามบนเซตเปิดของ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  ไปยัง ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$  และเมทริกซ์จาโคเบียนของอนุพันธ์เชิงซ้อนหาอินเวอร์สได้ที่จุด ${\displaystyle p}$  แล้ว ${\displaystyle F}$  จะเป็นฟังก์ชันหาอินเวอร์สได้ในบางบริเวณรอบ ๆ จุด ${\displaystyle p}$  ทฤษฎีบทนี้เป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันค่าจริง และสามารถฟิสูจน์ได้ว่าอินเวอร์สของฟังก์ชันต้องเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิก

ฟังก์ชันพหุนาม

ถ้าข้อความคาดการณ์จาโคเบียนเป็นจริง ข้อความคาดการณ์ดังกล่าวจะเป็นตัวอย่างหนึ่งของทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน ข้อความดังกล่าวกล่าวว่า ถ้าฟังก์ชันพหุนามค่าเวกเตอร์มีดีเทอร์มิแนนท์จาโคเบียนเป็นพหุนามที่หาอินเวอร์สได้ (ซึ่งก็คือเป็นพหุนามคงตัวที่ไม่เป็นพหุนามศูนย์) แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีอินเวอร์สที่เป็นฟังก์ชันพหุนามด้วย ปัจจุบันยังไม่ทราบว่าข้อความคาดการณ์ดังกล่าวเป็นจริงหรือเท็จแม้แต่ในกรณีที่มีตัวแปรสองตัว จึงเป็นปัญหาเปิดสำคัญในทฤษฎีของพหุนาม

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีบทจุดตรึงบานาค
• ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย
• ทฤษฎีบทแนช-โมเซอร์

อ้างอิง

1. Knapp, Anthony W. (2005). Basic real analysis. Boston: Birkhäuser. p. 156. ISBN 978-0-8176-4441-3. OCLC 262679895.
2. Munkres, James R. (1991). Analysis on manifolds. Redwood City, Calif.: Addison-Wesley Pub. Co., Advanced Book Program. ISBN 978-1-4294-8504-3. OCLC 170966279.
3. McOwen, Robert C. (1996). "Calculus of Maps between Banach Spaces". Partial Differential Equations: Methods and Applications. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 218–224. ISBN 0-13-121880-8.
4. Tao, Terence (September 12, 2011). "The inverse function theorem for everywhere differentiable maps". สืบค้นเมื่อ 2019-07-26.
5. Jaffe, Ethan. "Inverse Function Theorem" (PDF).
6. Spivak, Michael (1965). Calculus on Manifolds. Boston: Addison-Wesley. pp. 31–35. ISBN 0-8053-9021-9.
7. Hubbard, John H.; Hubbard, Barbara Burke (2001). Vector Analysis, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach (Matrix ed.).
8. Luenberger, David G. (1969). Optimization by Vector Space Methods. New York: John Wiley & Sons. pp. 240–242. ISBN 0-471-55359-X.
9. Lang, Serge (1985). Differential Manifolds. New York: Springer. pp. 13–19. ISBN 0-387-96113-5.
10. Boothby, William M. (1986). An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry (Second ed.). Orlando: Academic Press. pp. 46–50. ISBN 0-12-116052-1.
11. Fritzsche, K.; Grauert, H. (2002). From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer. pp. 33–36.

อ่านเพิ่ม

• Allendoerfer, Carl B. (1974). "Theorems about Differentiable Functions". Calculus of Several Variables and Differentiable Manifolds. New York: Macmillan. pp. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
• Baxandall, Peter; Liebeck, Hans (1986). "The Inverse Function Theorem". Vector Calculus. New York: Oxford University Press. pp. 214–225. ISBN 0-19-859652-9.
• Nijenhuis, Albert (1974). "Strong derivatives and inverse mappings". Amer. Math. Monthly. 81 (9): 969–980. doi:10.2307/2319298. hdl:10338.dmlcz/102482.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". Intermediate Calculus (Second ed.). New York: Springer. pp. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An Introduction to Partial Differential Equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 337–338. ISBN 0-387-00444-0.
• Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (Third ed.). New York: McGraw-Hill Book. pp. 221-223.