ผลคูณโคชี

ในคณิตศาสตร์เชิงวิเคราะห์ ผลคูณโคชี (อังกฤษ: Cauchy product) คือการคอนโวลูชันแบบไม่ต่อเนื่อง (หรือเรียกอย่างง่ายคือการคูณ) ของอนุกรมอนันต์สองอนุกรม ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส โอกึสแต็ง ลวี โคชี

นิยาม

กำหนดให้ทั้ง ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$  และ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$  เป็นอนุกรมลู่เข้าสัมบูรณ์ ซึ่งทำให้อนุกรม

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}$  โดยที่ ${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}=\sum _{i+j=n}a_{i}b_{j}}$ 

ลู่เข้าสัมบูรณ์ด้วยเช่นกัน และเกิดความสัมพันธ์ดังนี้

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}.}$ 

เราเรียกอนุกรม ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}}$  นี้ว่า ผลคูณโคชีของอนุกรม ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$  และ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$ 

สูตรดังกล่าวสามารถแจกแจงได้ดังนี้

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\underbrace {(a_{0}b_{0})} _{c_{0}}+\underbrace {(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})} _{c_{1}}+\underbrace {(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})} _{c_{2}}+...+\underbrace {(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+...+a_{k}b_{n-k}+...+a_{n}b_{0})} _{c_{n}}+...}$ 

เมื่อแทนค่า ${\displaystyle n}$  แล้ว เราจะได้ค่าใกล้เคียงของผลคูณที่ต้องการหาค่า

อนุกรมยกกำลัง

นอกจากอนุกรมอนันต์แล้ว ผลคูณโคชียังสามารถนำมาใช้กับอนุกรมยกกำลังได้ ดังนี้

กำหนดอนุกรมยกกำลังสองอนุกรม ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$  และ ${\displaystyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}}$ 

โดยที่ ${\displaystyle \{a_{i}\}}$  และ ${\displaystyle \{b_{j}\}}$  คือสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน ผลคูณโคชีของอนุกรมยกกำลังสองอนุกรมนี้นิยามได้ว่า

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}}$  โดยที่ ${\displaystyle c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}}$ 

เชิงอรรถ

1. Canuto & Tabacco 2015, p. 20.
2. Canuto & Tabacco 2015, p. 53.
3. Mathonline, Cauchy Product of Power Series.

อ้างอิง

• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2 nd ed.), Addison Wesley, p. 204, ISBN 978-0-201-00288-1.

• Canuto, Claudio; Tabacco, Anita (2015), Mathematical Analysis II (2nd ed.), Springer.

• Königsberger, Konrad (2004), Analysis 1 (ภาษาเยอรมัน), Springer, ISBN 3-540-41282-4.

• Mathonline, Cauchy Product of Power Series.