พีชคณิตซิกมา

ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิตซิกมา หรือ ซิกมาแอลจีบรา หรือ ซิกมาฟิลด์ (สัญกรณ์ที่นิยมใช้: σ-algebra) ที่นิยามบนเซต X คือ สับเซตของพาวเวอร์เซตของ X ที่มีเซตว่างเป็นสมาชิก และมีคุณสมบัติปิดภายใต้ คอมพลีเมนต์ และการยูเนียนแบบนับได้. พีชคณิตซิกมาเป็นโครงสร้างทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญที่ใช้มากในคณิตวิเคราะห์และทฤษฎีความน่าจะเป็น.

นิยามทางคณิตศาสตร์

กำหนด ${\displaystyle \Sigma \subseteq 2^{X}}$ , เราจะกล่าวว่า ${\displaystyle \Sigma }$  เป็นพีชคณิตซิกมาบน ${\displaystyle X}$  ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \Sigma }$  มีคุณสมบัติต่อไปนี้

1. ${\displaystyle \varnothing \in \Sigma }$ 
2. ถ้า ${\displaystyle E\in \Sigma }$  แล้ว, ${\displaystyle E^{c}\in \Sigma }$  ด้วย
3. ถ้า ${\displaystyle E_{1},E_{2},E_{3},...\in \Sigma }$  แล้ว ${\displaystyle \bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\in \Sigma }$  ด้วย

หมายเหตุ

1. การจะนิยามพีชคณิตซิกมา ต้องกำหนดเสมอว่านิยามบนเซตใด (เช่น ${\displaystyle X}$  ในตัวอย่างข้างบน) มิฉะนั้นจะไม่มีความหมายในทางคณิตศาสตร์.
2. จากนิยามในข้อ 2 และ 3 เราจะได้ว่าพีชคณิตซิกมามีคุณสมบัติปิดภายใต้อินเตอร์เซกชันแบบนับได้ด้วย เนื่องจาก ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }E_{n}=(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}^{c})^{c}}$ 
3. ในทฤษฎีเมเชอร์นั้น สมาชิกของ ${\displaystyle \Sigma }$  ใด ๆ จะถูกเรียกว่า เซตหาเมเชอร์ได้ และยังเรียกสัญกรณ์ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$  ว่า ปริภูมิหาเมเชอร์ได้ (โดย ฟังก์ชันเมเชอร์ จะต้องนิยามบนปริภูมินี้ เพื่อนิยามเมเชอร์ในรูปแบบต่าง ๆ ในปริภูมิที่สามารถวัดได้นี้: ดู ทฤษฎีเมเชอร์)
4. ในทางทฤษฎีความน่าจะเป็น มักจะนิยามปริภูมิที่สามารถหาเมเชอร์ได้ ด้วย ${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}})}$  เนื่องจาก ${\displaystyle X}$  มักจะใช้แทนตัวแปรสุ่ม และ ${\displaystyle \Sigma }$  มักใช้แทนการหาอนุกรม. นอกจากนี้ยังมักเรียกพีชคณิตซิกมา ว่า ซิกมาฟิลด์ มี่ที่มาจาก ฟิลด์ของเซต และสัญกรณ์ σ (ซิกมา) ที่มักใช้แทนความหมายของการยูเนียนแบบนับได้.

???

ตัวอย่าง

1. กำหนด ${\displaystyle X}$  เป็นเซตใด ๆ. เราจะได้ว่า ${\displaystyle \{X,\varnothing \}}$ เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุดบน ${\displaystyle X}$ , และ ${\displaystyle 2^{X}}$  เป็นพีชคณิตซิกมาที่ใหญ่ที่สุดบน ${\displaystyle X}$ 
2. กำหนด ${\displaystyle \{\Sigma _{\alpha }\}}$  ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาบน ${\displaystyle X}$  เราจะได้ว่า ${\displaystyle \bigcap _{\alpha }\Sigma _{\alpha }}$  เป็นพีชคณิตซิกมาบน ${\displaystyle X}$  ด้วย
3. (แสดงการประยุกต์ใช้ตัวอย่าง 2.) กำหนดให้ ${\displaystyle \{\Sigma _{\alpha }\}}$  ให้เป็นเซตของพีชคณิตซิกมาทั้งหมดที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก และนิยามบน ${\displaystyle X}$  ซึ่งเป็นปริภูมิทอพอโลยีใด ๆ เราจะเรียก ${\displaystyle \bigcap _{\alpha }\Sigma _{\alpha }}$  ว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล (Borel σ-algebra) ซึ่งเป็นหนึ่งในพีชคณิตซิกมาที่สำคัญและพบเจอบ่อยที่สุด. สังเกตว่า พีชคณิตซิกมาของโบเรล นี้เป็นพีชคณิตซิกมาที่เล็กที่สุด ที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก (เนื่องจากเกิดจากอินเตอร์เซกชันของพีชคณิตซิกมาทุกรูปแบบที่มีเซตเปิดเป็นสมาชิก). เรามักเรียก พีชคณิตซิกมาของโบเรล ว่าพีชคณิตซิกมาที่สร้างจากเซตเปิด.
4. ในปริภูมิยุคลิด ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$  อองรี เลอเบ็กได้กำหนดพีชคณิตซิกมาที่สำคัญมากเพื่อใช้ในเมเชอร์ ความยาว พื้นที่ ปริมาตร ฯลฯ ในทฤษฎีปริพันธ์ของเลอเบ็ก นั่นคือ พีชคณิตซิกมาของเลอเบ็ก โดยมี พีชคณิตซิกมาของโบเรล เป็นสับเซต. สมาชิกในพีชคณิตซิกมาชนิดนี้เรียกว่า เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก. โดยในทฤษฎีปริพันธ์บนปริภูมิยุคลิด พีชคณิตซิกมานี้สำคัญมาก ถึงขนาดที่ว่านักคณิตศาสตร์หลายท่านใช้คำว่า เซตที่สามารถวัดได้ แทน เซตที่สามารถวัดได้แบบเลอเบ็ก เลยทีเดียว.

ดูเพิ่ม

• ฟิลด์ของเซต
• ทฤษฎีเมเชอร์
• สัจพจน์ความน่าจะเป็น