มัธยฐาน

สำหรับการใช้คำแบบอื่น ดู มัธยฐานในทางเรขาคณิต และเส้นมัธยฐาน

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นและสถิติศาสตร์ มัธยฐาน (อังกฤษ: median) คือการวัดแนวโน้มสู่ส่วนกลางชนิดหนึ่ง ที่ใช้อธิบายจำนวนหนึ่งจำนวนที่แบ่งข้อมูลตัวอย่าง หรือประชากร หรือการแจกแจงความน่าจะเป็น ออกเป็นครึ่งส่วนบนกับครึ่งส่วนล่าง มัธยฐานของรายการข้อมูลขนาดจำกัด สามารถหาได้โดยการเรียงลำดับข้อมูลจากน้อยไปมาก (หรือมากไปน้อยก็ได้) แล้วถือเอาตัวเลขที่อยู่ตรงกลางเป็นค่ามัธยฐาน ถ้าหากจำนวนสิ่งที่สังเกตการณ์เป็นจำนวนคู่ ทำให้ค่าที่อยู่ตรงกลางมีสองค่า ดังนั้นเรามักจะหามัชณิม (mean) ของสองจำนวนนั้นเพื่อให้ได้มัธยฐานเพียงหนึ่งเดียว

การหามัธยฐานในชุดข้อมูลที่มีจำนวนข้อมูลเป็นจำนวนคี่หรือคู่

ตัวอย่าง

กำหนดให้ชุดข้อมูลหนึ่งมีข้อมูลเป็น (6, 5, 6, 8, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 7) ซึ่งมีข้อมูล 11 ตัว สามารถเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้ (2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8) ดังนั้นเราจะได้มัธยฐานคือ 4 ซึ่งอยู่กึ่งกลางของการเรียงลำดับข้อมูล

และสำหรับชุดข้อมูล (6, 5, 6, 8, 2, 2, 3, 2, 4, 2) ซึ่งมีข้อมูล 10 ตัว สามารถเรียงลำดับจากน้อยไปมากได้ (2, 2, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 8) ค่ากึ่งกลางมีสองค่าคือ 3 และ 4 ดังนั้นจึงต้องหามัชฌิมของสองตัวนี้ ซึ่งในกรณีนี้จะใช้มัชฌิมเลขคณิต ดังนั้นมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้เท่ากับ (3 + 4) / 2 = 3.5

มัธยฐานในการแจกแจงความน่าจะเป็น

สำหรับการแจกแจงความน่าจะเป็นใดๆ บนเส้นจำนวนจริงด้วยฟังก์ชันการแจกแจงสะสม F โดยไม่สนใจว่าจะเป็นการแจกแจงต่อเนื่องหรือไม่ มัธยฐาน m คือค่าที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq m)\geq {\frac {1}{2}}\leq \operatorname {P} (X\geq m)\!}$ 

หรือ

${\displaystyle \int _{-\infty }^{m}\mathrm {d} F(x)\geq {\frac {1}{2}}\leq \int _{m}^{\infty }\mathrm {d} F(x)\!}$ 

มัธยฐานของการแจกแจงอื่น ๆ

• การแจกแจงปรกติ (normal distribution) โดยมีมัชฌิม μ และความแปรปรวน σ² มัธยฐานจะมีค่าเท่ากับ μ ซึ่งในความเป็นจริง การแจกแจงปรกติจะมีความสัมพันธ์ว่า มัชฌิม = มัธยฐาน = ฐานนิยม
• การแจกแจงเอกรูป (uniform distribution) ในช่วง [a, b] จะได้มัธยฐานเท่ากับ (a + b) / 2 ซึ่งมีค่าเท่ากับมัชฌิม
• การแจกแจงโคชี (Cauchy distribution) โดยมีพารามิเตอร์บ่งตำแหน่ง x₀ และพารามิเตอร์บ่งขนาด y มัธยฐานจะมีค่าเท่ากับ x₀
• การแจกแจงแบบเลขชี้กำลัง (exponential distribution) โดยมีพารามิเตอร์บ่งขนาด λ จะได้มัธยฐานเท่ากับ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}\ln(2)}$ 
• การแจกแจงไวบุลล์ (Weibull distribution) โดยมีพารามิเตอร์บ่งรูปร่าง k และพารามิเตอร์บ่งขนาด λ มัธยฐานจะมีค่าเท่ากับ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\lambda }}[\ln(2)]^{1/k}}$