วงเล็บลากรานจ์

วงเล็บลากรานจ์ (Lagrange bracket) เสนอโดยโฌแซ็ฟ-หลุยส์ ลากร็องฌ์ ในปี ค.ศ.1808–1810 เพื่อเป็นสูตรทางคณิตศาสตร์สำหรับกลศาสตร์คลาสสิก แต่แตกต่างจากวงเล็บปัวซง (Poisson brackets)

นิยาม

กำหนดให้ (q₁, …, q_n, p₁, …, p_n) เป็นพิกัดคาโนนิคัล (canonical coordinates) ในปริภูมิเฟส(phase space) จะได้วงเล็บลากรานจ์

[u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\right).

วงเล็บลากรานจ์ไม่ขึ้นกับระบบพิกัดคาโนนิคัล (q, p) ถ้า (Q,P) = (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n) ดังนั้น

Q=Q(q,p),P=P(q,p)

เป็นการแปลงคาโนนิคัล สมบัติ invariant ของวงเล็บลากรานจ์เป็น

[u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}

ถ้า Ω คือ symplectic form ในปริภูมิเฟสสองมิติ W และ u₁,…,u_2n คือระบบพิกัดบนปริภูมิ W พิกัดคาโนนิคัล (q,p) อาจเขียนได้เป็นฟังก์ชันของพิกัด u และเมตริกซ์ของวงเล็บลากรานจ์

[u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n

แทนองค์ประกอบของ Ω ในรูปของเทนเซอร์ ในพิกัด u เมทริกซ์นี้เป็นเมทริกซ์ผกผัน (inverse matrix) เขียนให้อยู่ในรูปวงเล็บปัวส์ซอง

\{u_{i},u_{j}\},\quad 1\leq i,j\leq 2n

พิกัด (Q₁, …, Q_n, P₁, …, P_n) ในปริภูมิเฟสเป็นพิกัดคาโนนิคอล วงเล็บลากรานจ์ระหว่างพิกัดทั้งสองเขียนได้เป็น

[Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}

เมื่อ $\delta _{ij}$ คือ เดลตาโครเนกเกอร์ (Kronecker delta)

Cornelius Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Dover (1986), ISBN 0-486-65067-7.
Iglesias, Patrick, Les origines du calcul symplectique chez Lagrange [The origins of symplectic calculus in Lagrange's work], L'Enseign. Math. (2) 44 (1998), no. 3-4, 257–277. MR1659212

Eric W. Weisstein, "Lagrange bracket" จากแมทเวิลด์.
A.P. Soldatov (2001), "Lagrange bracket", ใน Hazewinkel, Michiel (บ.ก.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4