fbpx
วิกิพีเดีย

สมการเชบีเชฟ

สมการเชบีเชฟ (อังกฤษ: Chebyshev's equation) คือสมการอนุพันธ์กำลังสองสามัญเชิงเส้น (second order linear Ordinary differential equation) ซึ่งมีรูปแบบดังนี้

โดย p ค่าคงที่จำนวนจริง สมการนี้ตั้งตามชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย ฟับนูตี เชบีเชฟ (Pafnuty Chebyshev)

ผลตอบจะอยู่ในรูปของอนุกรมค่าที่ยกกำลัง (Power series):

โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์ต้องสอดคล้องกับความสัมพันธ์เวียนเกิด (recurrence relation) ดังต่อไปนี้

จากการทดสอบด้วยอัตราส่วน (ratio test) กับความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้น จะพบว่าค่า ในอนุกรมดังกล่าวจะลู่เข้า (converge) ในช่วง

ความสัมพันธ์เวียนเกิดข้างต้นนี้เราสามารถกำหนดค่าเริ่มต้นสำหรับ และ ได้ ซึ่งทำให้ได้ผลตอบในปริภูมิสองมิติที่เป็นอิสระต่อกัน เช่นหากลองเลือกให้ และ มีค่าเป็น และ

กรณี = 1 ; = 0 จะได้

และ

กรณี = 0 ; = 1 จะได้

ซึ่งผลตอบในรูปแบบทั่วไปเกิดมาจากผลรวมเชิงเส้น (linear combination) ของสองผลตอบข้างต้นนี้

เมื่อ เป็นจำนวนเต็มบวก ฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งที่กล่าวมาข้างต้นจะมีลำดับที่จำกัด โดยที่ ฟังก์ชัน จะมีพจน์ถึงแค่ เมื่อ เป็นจำนวนคู่ และในทางกลับกัน ฟังก์ชัน จะมีพจน์ถึงแค่ เมื่อ เป็นจำนวนคี่ ซึ่งส่งผลให้ลำดับของอนุกรมผลตอบจะมีลำดับจำกัดอยู่แค่ลำดับ และเป็นเพียงพหุคูณของ พหุนามเชบีเชฟ (Chebyshev polynomial) ลำดับ เท่านั้นเอง ดังจะเขียนเป็นความสัมพันธ์ได้ดังนี้

ถ้า เป็นจำนวนคู่
ถ้า เป็นจำนวนคี่

โดยที่ คือ พหุนามเชบีเชฟ ลำดับ

อนึ่ง เราสามารถหาผลตอบได้ในกรณีที่ เป็นจำนวนเต็มลบได้เช่นกัน เพียงแต่ว่าผลตอบที่ได้นั้นจะซ้ำกับผลตอบในกรณีที่ เป็นจำนวนเต็มบวก อันเนื่องมาจากสมการเชบีเชพนี้มีคุณสมบัติไม่ไม่แปรเปลี่ยน (invariant) ภายใต้การแทนค่าระหว่าง และ นั้นเอง


อ้างอิง

  • สมการเชบีเชฟ จากเว็ปของแพลเนตแมธ

สมการเชบ, เชฟ, งก, ามภาษา, ในบทความน, ไว, ให, านและผ, วมแก, ไขบทความศ, กษาเพ, มเต, มโดยสะดวก, เน, องจากว, เด, ยภาษาไทยย, งไม, บทความด, งกล, าว, กระน, ควรร, บสร, างเป, นบทความโดยเร, วท, งกฤษ, chebyshev, equation, อสมการอน, นธ, กำล, งสองสาม, ญเช, งเส, second, or. lingkkhamphasa inbthkhwamni miiwihphuxanaelaphurwmaekikhbthkhwamsuksaephimetimodysadwk enuxngcakwikiphiediyphasaithyyngimmibthkhwamdngklaw krann khwrribsrangepnbthkhwamodyerwthisudsmkarechbiechf xngkvs Chebyshev s equation khuxsmkarxnuphnthkalngsxngsamyechingesn second order linear Ordinary differential equation sungmirupaebbdngni 1 x 2 d 2 y d x 2 x d y d x p 2 y 0 displaystyle 1 x 2 d 2 y over dx 2 x dy over dx p 2 y 0 ody p khakhngthicanwncring smkarnitngtamchuxkhxngnkkhnitsastrchawrsesiy fbnuti echbiechf Pafnuty Chebyshev phltxbcaxyuinrupkhxngxnukrmkhathiykkalng Power series y n 0 a n x n displaystyle y sum n 0 infty a n x n odythikhasmprasiththitxngsxdkhlxngkbkhwamsmphnthewiynekid recurrence relation dngtxipni a n 2 n p n p n 1 n 2 a n displaystyle a n 2 n p n p over n 1 n 2 a n cakkarthdsxbdwyxtraswn ratio test kbkhwamsmphnthewiynekidkhangtn caphbwakha inxnukrmdngklawcaluekha converge inchwng x 1 1 displaystyle x in 1 1 khwamsmphnthewiynekidkhangtnnierasamarthkahndkhaerimtnsahrb a 0 displaystyle a 0 aela a 1 displaystyle a 1 id sungthaihidphltxbinpriphumisxngmitithiepnxisratxkn echnhaklxngeluxkih a 0 displaystyle a 0 aela a 1 displaystyle a 1 mikhaepn 0 displaystyle 0 aela 1 displaystyle 1 krni a 0 displaystyle a 0 1 a 1 displaystyle a 1 0 caid F x 1 p 2 2 x 2 p 2 p 2 p 2 4 x 4 p 4 p 2 p 2 p 2 p 4 6 x 6 displaystyle F x 1 frac p 2 2 x 2 frac p 2 p 2 p 2 4 x 4 frac p 4 p 2 p 2 p 2 p 4 6 x 6 cdots aelakrni a 0 displaystyle a 0 0 a 1 displaystyle a 1 1 caid G x x p 1 p 1 3 x 3 p 3 p 1 p 1 p 3 5 x 5 displaystyle G x x frac p 1 p 1 3 x 3 frac p 3 p 1 p 1 p 3 5 x 5 cdots sungphltxbinrupaebbthwipekidmacakphlrwmechingesn linear combination khxngsxngphltxbkhangtnniemux p displaystyle p epncanwnetmbwk fngkchnidfngkchnhnungthiklawmakhangtncamiladbthicakd odythi fngkchn F displaystyle F camiphcnthungaekh x p displaystyle x p emux p displaystyle p epncanwnkhu aelainthangklbkn fngkchn G displaystyle G camiphcnthungaekh x p displaystyle x p emux p displaystyle p epncanwnkhi sungsngphlihladbkhxngxnukrmphltxbcamiladbcakdxyuaekhladb p displaystyle p aelaepnephiyngphhukhunkhxng phhunamechbiechf Chebyshev polynomial ladb p displaystyle p ethannexng dngcaekhiynepnkhwamsmphnthiddngni T p x 1 p 2 F x displaystyle T p x 1 p 2 F x tha p displaystyle p epncanwnkhu T p x 1 p 1 2 p G x displaystyle T p x 1 p 1 2 p G x tha p displaystyle p epncanwnkhiodythi T p x displaystyle T p x khux phhunamechbiechf ladb p displaystyle p xnung erasamarthhaphltxbidinkrnithi p displaystyle p epncanwnetmlbidechnkn ephiyngaetwaphltxbthiidnncasakbphltxbinkrnithi p displaystyle p epncanwnetmbwk xnenuxngmacaksmkarechbiechphnimikhunsmbtiimimaeprepliyn invariant phayitkaraethnkharahwang p displaystyle p aela p displaystyle p nnexngxangxing aekikhsmkarechbiechf cakewpkhxngaephlentaemthekhathungcak https th wikipedia org w index php title smkarechbiechf amp oldid 4868623, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม