เมทริกซ์ทแยงมุม

ในพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์ทแยงมุม คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกนอกเหนือจากเส้นทแยงมุมเป็นศูนย์ ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกล่างขวา (เฉียงลง ↘) ส่วนสมาชิกบนเส้นทแยงมุมสามารถเป็นค่าใดๆ ก็ได้รวมทั้งศูนย์

หากกำหนดให้เมทริกซ์ ${\displaystyle D=(d_{i,j})}$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติ n×n เมทริกซ์ D จะเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle d_{i,j}=0;\quad i\neq j}$

สำหรับทุกค่าของ ${\displaystyle i,j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}}$

ตัวอย่างเมทริกซ์ทแยงมุม เช่น

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\end{bmatrix}}}$

เมทริกซ์ทแยงมุมอาจหมายถึงเมทริกซ์แบบอื่นๆ ที่ไม่เป็นเมทริกซ์จัตุรัส (มิติ m×n) แต่เข้ากับเงื่อนไขที่ระบุไว้ด้านบน กล่าวคือสมาชิกที่นอกเหนือจาก d_{i, i} เป็นศูนย์ เช่น

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}}$ หรือ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}}$

อย่างไรก็ตาม บทความนี้จะกล่าวถึงเมทริกซ์ทแยงมุมที่เป็นเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น ซึ่งเป็นความหมายทั่วไป

เมทริกซ์ทแยงมุมใดๆ เป็นเมทริกซ์สมมาตร และเป็นเมทริกซ์แบบสามเหลี่ยมทั้งบนและล่าง

เมทริกซ์เอกลักษณ์ ${\displaystyle I_{n}}$ และเมทริกซ์ศูนย์ที่เป็นเมทริกซ์จัตุรัส ล้วนเป็นเมทริกซ์ทแยงมุม

การดำเนินการบนเมทริกซ์ทแยงมุม

การดำเนินการบนเมทริกซ์ได้แก่ การบวกและการคูณเมทริกซ์ เป็นสิ่งที่ง่ายบนเมทริกซ์ทแยงมุม หากเขียนสัญลักษณ์นี้แทนเมทริกซ์ทแยงมุม ${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},...,a_{n})}$  ซึ่งสมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักเป็น ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}\!}$  จากมุมบนซ้ายไปยังมุมล่างขวาตามลำดับ สำหรับการบวกเมทริกซ์ทแยงมุม จะได้ว่า

${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},...,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},...,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},...,a_{n}+b_{n})}$ 

และสำหรับการคูณจะได้ว่า

${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},...,a_{n})\cdot \operatorname {diag} (b_{1},...,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},...,a_{n}b_{n})}$ 

เมทริกซ์ทแยงมุม ${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},...,a_{n})}$  จะสามารถมีตัวผกผันได้ก็ต่อเมื่อสมาชิกทุกตัวใน ${\displaystyle a_{1},...,a_{n}\!}$  ต้องไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นเราจะได้ว่า

${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},...,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},...,a_{n}^{-1})}$ 

อ้างอิง

• Roger A. Horn and Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).

ดูเพิ่ม

• เมทริกซ์ทแยงมุมรอง

แหล่งข้อมูลอื่น

• Diagonal matrix on PlanetMath