เมทริกซ์โฟรเบนีอุส

เมทริกซ์โฟรเบนีอุส (อังกฤษ: Frobenius matrix) คือเมทริกซ์จัตุรัสที่มีคุณสมบัติสามอย่างดังนี้

• สมาชิกบนเส้นทแยงมุมหลักทุกตัวเท่ากับ 1
• สมาชิกของหนึ่งหลักใดๆ ที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมเป็นค่าอะไรก็ได้
• สมาชิกอื่นเท่ากับ 0

ตัวอย่างเช่น เมทริกซ์ต่อไปนี้เป็นเมทริกซ์โฟรเบนีอุส

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&a_{n2}&0&\cdots &1\\\end{pmatrix}}}$

เมทริกซ์โฟรเบนีอุสเป็นเมทริกซ์ที่สามารถมีตัวผกผัน ซึ่งเมทริกซ์ผกผันก็ยังคงเป็นเมทริกซ์โฟรเบนีอุส ตัวผกผันนี้หาได้จากการเปลี่ยนเครื่องหมายของสมาชิกอื่นที่อยู่นอกเส้นทแยงมุมหลัก ดังนั้นตัวผกผันของเมทริกซ์ข้างต้นคือ

${\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&-a_{32}&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&-a_{n2}&0&\cdots &1\\\end{pmatrix}}}$

เมทริกซ์โฟรเบนีอุส เป็นชื่อที่ตั้งไว้เพื่อเป็นเกียรติให้กับ แฟร์ดีนันด์ เกออร์ก โฟรเบนีอุส (Ferdinand Georg Frobenius) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน บางครั้งเมทริกซ์ชนิดนี้ถูกเรียกว่า การแปลงเกาส์ (Guass transformation) ซึ่งตั้งชื่อตาม คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl Friedrich Gauß)

อ้างอิง

1. Gene H. Golub and Charles F. Van Loan (1996). Matrix Computations, third edition, Johns Hopkins University Press. ISBN 0-8018-5413-X (hardback), ISBN 0-8018-5414-8 (paperback). Page 95.