เหตุการณ์ไม่เกิดร่วม

เหตุการณ์ไม่เกิดร่วม (อังกฤษ: mutually exclusive events) หมายถึงเหตุการณ์สองเหตุการณ์ขึ้นไปที่ไม่สามารถเกิดขึ้นในเวลาเดียวกันได้ ตัวอย่างเช่นการโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ ผลลัพธ์จะต้องออกหัวหรือออกก้อยอย่างใดอย่างหนึ่ง ไม่สามารถออกทั้งคู่พร้อมกัน

ในตัวอย่างการโยนเหรียญนั้น ผลลัพธ์ทั้งสองเป็นเหตุการณ์ถ้วนทั่วโดยรวม (collectively exhaustive events) กล่าวคือ ผลลัพธ์อย่างน้อยหนึ่งอย่างจะต้องเกิดขึ้น ดังนั้นความเป็นไปได้ทั้งสองอย่างนี้คือความเป็นไปได้ทั้งหมด อย่างไรก็ดี เหตุการณ์ไม่เกิดร่วมไม่ใช่ว่าจะเป็นเหตุการณ์ถ้วนทั่วโดยรวมได้ทุกชนิด ยกตัวอย่างการกลิ้งลูกเต๋าหกหน้า ผลลัพธ์ที่ออก 1 และออก 4 ไม่เกิดร่วมกัน แต่ก็ยังไม่ถ้วนทั่วโดยรวม เพราะยังมีความเป็นไปได้ที่จะออก 2, 3, 5, 6 เหลืออยู่อีก

ตรรกศาสตร์

ในทางตรรกศาสตร์ ประพจน์สองประพจน์ที่ไม่เกิดร่วมกัน คือประพจน์ที่ไม่สามารถเป็นจริงได้ในเวลาเดียวกัน ศัพท์อีกคำหนึ่งที่ใช้แทนความไม่เกิดร่วมก็คือ "ไม่มีส่วนร่วม" (disjoint) การที่จะบอกว่าประพจน์สองประพจน์ใด ๆ ไม่เกิดร่วมนั้นขึ้นอยู่กับความแวดล้อม ซึ่งหมายความว่า ประพจน์หนึ่งจะไม่สามารถเป็นจริงได้ถ้าอีกประพจน์หนึ่งเป็นจริง หรืออย่างน้อยมีประพจน์หนึ่งที่ไม่สามารถเป็นจริง ศัพท์ "ไม่เกิดร่วมเป็นคู่" (pairwise mutually exclusive) จึงหมายถึงประพจน์ทั้งสองที่ไม่สามารถเป็นจริงได้พร้อมกัน

ความน่าจะเป็น

ในทฤษฎีความน่าจะเป็น เหตุการณ์ ${\textstyle E_{1},E_{2},...E_{n}}$  จะเรียกว่าไม่เกิดร่วม ถ้าการเกิดเหตุการณ์หนึ่งบอกเป็นนัยโดยอัตโนมัติว่า เหตุการณ์อื่นอีก ${\textstyle n-1}$  เหตุการณ์จะไม่เกิด ดังนั้นเหตุการณ์ไม่เกิดร่วมสองเหตุการณ์จะไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ พูดในแบบรูปนัยว่า อินเตอร์เซกชันของเหตุการณ์ทุก ๆ สองเหตุการณ์นั้นว่าง (เหตุการณ์ว่าง) นั่นคือ ${\textstyle A}$  และ ${\textstyle B\neq \varnothing }$  ผลสืบเนื่องก็คือ เหตุการณ์ไม่เกิดร่วมมีสมบัติ ${\textstyle P(A\cap B)=0}$ 

ยกตัวอย่าง เราไม่สามารถหยิบไพ่ป๊อกหนึ่งใบให้ได้สีแดงและดอกจิกพร้อมกันได้ เพราะว่าดอกจิกเป็นสีดำเสมอ ถ้าเราหยิบไพ่หนึ่งใบจากสำรับ ไพ่ใบนั้นจะเป็นสีแดง (โพแดงหรือข้าวหลามตัด) หรือสีดำ (ดอกจิกหรือโพดำ) เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง เมื่อ ${\displaystyle A}$  กับ ${\displaystyle B}$  ไม่เกิดร่วมกัน จะได้ว่า ${\textstyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)}$  เราอาจตั้งคำถามว่า "มีความน่าจะเป็นเท่าไรที่จะหยิบได้ไพ่สีแดงหรือดอกจิก" ปัญหาข้อนี้แก้ได้ด้วยการบวกความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ไพ่สีแดง กับความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ไพ่ดอกจิก ไพ่สีแดงมี 26 ใบ และไพ่ดอกจิกมี 13 ใบ จากสำรับมาตรฐาน 52 ใบ ดังนั้นคำตอบคือ 26/52 + 13/52 = 39/52 = 3/4

เราจะต้องหยิบไพ่อย่างน้อยสองใบเพื่อให้ได้ทั้งไพ่สีแดงกับไพ่ดอกจิก ความน่าจะเป็นข้อเดิมโดยการหยิบไพ่สองใบก็ขึ้นอยู่กับว่า ใบแรกที่หยิบออกมาจะใส่กลับคืนเข้าสำรับก่อนหยิบใบที่สองหรือไม่ เพราะว่าถ้าไม่ใส่กลับคืน จำนวนไพ่ในสำรับจะลดลงใบหนึ่งหลังจากหยิบครั้งแรกไปแล้ว ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เอกเทศทั้งสอง (ได้ไพ่สีแดงก่อนแล้วตามด้วยไพ่ดอกจิก) จะนำมาคูณกันแทนที่จะบวก ความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ไพ่สีแดงและดอกจิกตามลำดับโดยไม่ใส่คืนสำรับเท่ากับ 26/52 × 13/51 = 338/2652 = 13/102 ส่วนความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ไพ่สีแดงและดอกจิกตามลำดับโดยใส่คืนสำรับก่อนเท่ากับ 26/52 × 13/52 = 338/2704 = 13/104

คำว่า "หรือ" ในทฤษฎีความน่าจะเป็นนั้น เผื่อความเป็นไปได้ที่จะเกิดเหตุการณ์ทั้งสองพร้อมกันด้วย ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งหรือสองเหตุการณ์จะเกิดขึ้นเขียนว่า ${\textstyle P(A\cup B)}$  และโดยทั่วไปก็มีค่าเท่ากับ ${\textstyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)}$  เพราะฉะนั้นหากเราถามว่า "มีความน่าจะเป็นเท่าไรที่จะหยิบได้ไพ่สีแดงหรือคิง" การหยิบได้ไพ่คิงสีแดง ไพ่อื่นสีแดง หรือไพ่คิงสีดำ ก็จะเข้าเงื่อนไขทั้งหมด ไพ่สีแดงมี 26 ใบ และไพ่คิงมี 4 ใบ ซึ่งในจำนวนนั้น 2 ใบก็เป็นสีแดง จากสำรับมาตรฐาน 52 ใบ ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะหยิบได้ไพ่สีแดงหรือคิงก็คือ 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/52 = 7/13 อย่างไรก็ตาม เมื่อใช้แก่เหตุการณ์ไม่เกิดร่วม พจน์สุดท้ายในสูตร ${\textstyle P(A\cap B)}$  ก็จะเป็นศูนย์ สูตรก็จะลดรูปลงเหลือเพียงสูตรที่ได้กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อน

อ้างอิง

1. Miller, Scott , and Donald Childers. Probability and Random Processes. Academic Press, 2012. p. 8: "The sample space is the collection or set of 'all possible' distinct (collectively exhaustive and mutually exclusive) outcomes of an experiment."
2. Mutually Exclusive Events. Interactive Mathematics. December 28, 2008.
3. Stats: Probability Rules.