โอเมกา (ค่าคงตัว)

สำหรับความหมายอื่น ดูที่ โอเมกา Ω (แก้ความกำกวม)

โอเมกา (Omega: Ω; ขึ้นต้นตัวใหญ่) เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ที่นิยามขึ้นจาก

${\displaystyle \Omega \,\exp(\Omega )=1\!}$

ค่านี้ได้มาจาก W (1) ซึ่ง W คือฟังก์ชันดับเบิลยูของแลมเบิร์ต (Lambert W function) ซึ่งชื่อของค่าคงตัวนี้มาจากอีกชื่อหนึ่งของฟังก์ชันคือ ฟังก์ชันโอเมกา

Ω มีค่าประมาณ 0.5671432904097838729999686622 (ลำดับ  A030178) มีสมบัติว่า

${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega \!}$

หรือเทียบเท่ากับ

${\displaystyle \ln \Omega ^{-1}=\Omega \!}$

เราสามารถคำนวณ Ω ด้วยวิธีการวนซ้ำ โดยสมมติ Ω₀ ขึ้นมาค่าหนึ่ง แล้วใช้ลำดับนี้วนซ้ำ

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}\!}$

ลำดับนี้จะลู่เข้าค่า Ω เมื่อ n มีค่าเข้าใกล้อนันต์

ความเป็นอตรรกยะและอดิศัย

Ω สามารถพิสูจน์ว่าเป็นจำนวนอตรรกยะ จากข้อเท็จจริงว่า e เป็นจำนวนอดิศัย โดยการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง

ถ้าหาก Ω เป็นจำนวนตรรกยะ จะต้องมีจำนวนเต็ม p และ q ที่ทำให้สามารถเขียนอยู่ในรูปเศษส่วนได้

${\displaystyle {\frac {p}{q}}=\Omega }$ 

ซึ่งทำให้

${\displaystyle 1={\frac {pe^{\left({\frac {p}{q}}\right)}}{q}}}$ 

${\displaystyle e=\left({\frac {q}{p}}\right)^{\left({\frac {q}{p}}\right)}={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}}$ 

ดังนั้น e ควรจะเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตดีกรี p แต่ในเมื่อ e เป็นจำนวนอดิศัย (ไม่เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต) จึงสรุปได้ว่า Ω เป็นจำนวนอตรรกยะ (ไม่เป็นจำนวนตรรกยะ)

Ω ก็เป็นจำนวนอดิศัยตามผลสืบเนื่องจากทฤษฎีบทลินเดอมันน์-ไวเออร์ชตรัสส์ เพราะถ้าหาก Ω เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต แต่ exp (Ω) เป็นจำนวนอดิศัยเช่นเดียวกับ exp⁻¹ (Ω) ซึ่งขัดกับสมมติฐานในตอนต้นว่ามันเป็นจำนวนเชิงพีชคณิต

ดูเพิ่ม

• ฟังก์ชันดับเบิลยูของแลมเบิร์ต

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Omega Constant" จากแมทเวิลด์.