e (ค่าคงตัว)

e เป็นค่าคงตัวทางคณิตศาสตร์ ที่เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าประมาณ 2.71828 สามารถนิยามได้หลายวิธี เช่น e เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับเงื่อนไขที่ว่า ฟังก์ชัน ${\displaystyle e^{x}}$ มีค่าเท่ากับความชัน (derivative) ของตัวเองสำหรับทุกจำนวนจริง x หรือกล่าวได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวมีค่าเท่ากับตัวมันเองเสมอ ซึ่งฟังก์ชันที่สอดคล้องกับเงื่อนไขนี้จะอยู่ในรูป ${\displaystyle ke^{x}}$ เมื่อ k เป็นค่าคงตัวใด ๆ นอกจากนี้ e ยังมีค่าเท่ากับ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$ ซึ่งเป็นสมการที่พบในการคำนวณเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น (Compound interest) นอกจากนี้ ${\displaystyle e}$ สามารถคำนวณได้โดยสูตรอนุกรมอนันต์ (Infinite series) นี้:

${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+...}$

ค่าคงที่ ${\displaystyle e}$ สามารถทำให้อยู่ในรูปสมการได้หลายรูปแบบ ยกตัวอย่างเช่น ฟังชั่นต์ ${\displaystyle f(x)=e^{x}}$ เรียกว่า ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (Exponential Function) เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเท่ากับอนุพันธ์ (Derivative) ของตัวเอง มีเอกลักษณ์แตกต่างจากฟังก์ชันอื่น

ส่วนลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithm) หรือ ลอการิทึมฐาน e (Logarithm to base e) คือ ฟังก์ชันที่ผกผันกับฟังก์ชันเอ็กโพเนเนเชียล ลอการิทึมธรรมชาติของเลขที่มากกว่า 1 (k>1) สามารถหาได้โดยตรงจากพื้นที่ใต้กราฟของฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)=1/x}$ ระหว่าง x=1 และ x=k ยกตัวอย่างเช่น เมื่อ k = e พื้นที่ใต้กราฟระหว่าง 1 และ e จะเท่ากับ ln(e) (ลอการิทึมธรรมชาติของ e) หรือ 1

กราฟสมการ y = 1/x ในที่นี้ e คือตัวเลขเดียวจากเลขหนึ่ง ที่ทำให้พื้นที่ใต้กราฟมีค่าเท่ากับ 1

e มักแรียกกันว่า จำนวนของออยเลอร์ (Euler's number) (ระวังสับสนกับ γ, ค่าคงตัวออยเลอร์-แมสเชโรนี) ตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) ผู้ริเริ่มการใช้สัญลักษณ์ e เพื่อแทนจำนวนนี้ และเป็นคนแรกที่ศึกษาสมบัติของจำนวนนี้อย่างละเอียด e ยังมีอีกชื่อหนึ่งว่า คือค่าคงตัวเนเปียร์ ตามจอห์น เนเปียร์ (John Napier) นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตผู้ค้นพบลอการิทึม อนึ่งค่า e ถูกค้นพบครั้งแรกโดย ยาค็อบ แบร์นูลลี (Jacob Bernoulli) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ในการศึกษาเรื่องดอกเบี้ยทบต้น

e เป็นจำนวนที่มีความสำคัญมากในคณิตศาสตร์ โดย e เป็นจำนวนอตรรกยะ และ จำนวนอดิศัย เหมือนกับค่า ${\displaystyle \pi }$ โดยค่าคงตัวทั้งสองนี้ ประกอบกับ 0 1 และ ${\displaystyle i}$ มีบทบาทที่สำคัญมากในวิชาคณิตศาสตร์ และ มักปรากฏตัวในสมหารทางคณิตศาสตร์ โดยมีสมการหนึ่งที่รวมค่าคงตัวทั้งห้านี้เอาไว้ในสมการเดียว เรียกว่า เอกลักษณ์ของออยเลอร์ อันได้ชื่อว่าเป็นสมการที่สวยงามที่สุดในคณิดศาสตร์

ค่า e ที่ปัดเป็นเลขทศนิยม 50 หลัก เท่ากับ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995...(ลำดับ A001113 ใน OEIS).

การประยุกต์ใช้ e

การคิดดอกเบี้ยทบต้น

ยาค็อบ แบร์นูลลี (Jacob Bernoulli)ค้นพบค่า ${\displaystyle e}$ ในปี 1683 ในการศึกษาปัญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้น ลักษณะดังนี้:

สมมุติว่าบัญชีธนาคารมีเงิน 1 บาทและได้รับดอกเบี้ยร้อยละ 100 ต่อปี แน่นอนว่าถ้าดอกเบี้ยมีการทบต้นทุก ๆ ปี สิ้นปีนี้ในบัญชีนี้จะมีเงินอยู่ 2 บาท แต่หากดอกเบี้ยมีการทบต้นด้วยความถี่มากกว่านี้ จำนวนเงินในบัญขีจะเป็นอย่างไร?

หากทบทุก 6 เดือน จะได้สองครั้ง ครั้งละ 50% นั่นคือ 1 บาท ตอนแรกจะคูณ 1.5 สองครั้ง ได้ 1.5² = 2.25 บาท หากทบทุก 3 เดือนก็จะคูณ 1.25 สี่ครั้ง ได้ 1.25⁴ = 2.44140625 บาท หากทบรายเดือนก็จะได้ (1+1/12)¹² = 2.613035... บาท และยิ่งถี่ขึ้นก็จะได้เงินมากขึ้นไปอีก โดยถ้าทบต้น ${\displaystyle n}$ ครั้งต่อปี จะได้ดอกเบี้ยครั้งละ ${\displaystyle 100\%/n}$ และเมื่อจบปีก็จะมีเงิน ${\displaystyle (1+1/n)^{n}}$ บาท

แบร์นูลลีสังเกตว่าการเพิ่มขึ้นเมื่อทบต้นถี่ขึ้นนี้มีขีดจำกัด โดยเมื่อทบต้นอย่างต่อเนื่องจะมีเงินเมื่อจบปีมากที่สุดที่เป็นไปได้ด้วยดอกเบี้ยอัตรานี้ ก็คือ ค่า ${\displaystyle e}$  นั่นเอง ในทำนองเดียวกัน บัญชีใด ๆ ที่เริ่มต้นด้วยเงิน ${\displaystyle N}$ บาท และได้ดอกเบี้ยอย่างต่อเนื่องด้วยอัตรา ${\displaystyle R}$  ต่อปี จะมีเงินจำนวน ${\displaystyle Ne^{Rt}}$ เมื่อเวลาผ่านไป ${\displaystyle t}$  ปี (ในที่นี้ R เป็นจำนวนทศนิยมของอัตราดอกเบี้ย เสมือนการใช้ % ยกตัวอย่างเช่น ดอกเบี้ยเงินกู้ 5%, R = 0.05)

การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (สถิติศาสตร์)

การแจกแจงปรกติ (Normal distribution) ที่มีค่า μ = 0 และ σ² = 1 จะถูกเรียกว่า การแจกแจงปรกติมาตรฐาน (standard normal distribution) โดยใช้ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (Probability density function):

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}$ 

เมื่อ ${\displaystyle \sigma }$  เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานและ ${\displaystyle \mu }$  เป็นค่าเฉลี่ย

ความน่าจะเป็น

ในวิชาความน่าจะเป็น พบ e ในปัญหาเกี่ยวกับการสลับคู่ ดังนี้: สมมุติว่ามีแขกร่วมงานเลี้ยง n คน เดินเข้าประตูมาแล้วฝากหมวกของตนเองไว้กับคนใช้ ซึ่งนำหมวกเหล่านี้ไปใส่ในกล่อง n ใบ โดยกล่องแต่ละใบมีชื่อของแขกแต่ละคน แต่คนใช้ไม่ทราบชื่อของแขกแต่ละคน จึงนำหมวกเหล่านี้ใส่ในกล่องอย่างสุ่ม ความน่าจะเป็นที่ไม่มีหมวกใบไหนเลย ที่อยู่ในกล่องที่ถูกต้อง คิดเป็น

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k}}}$ 

ซึ่งเมื่อจำนวนแขก ${\displaystyle n}$ เพิ่มสู่อนันต์แล้ว ความน่าจะเป็นนี้จะลู่เข้าหา ${\displaystyle 1/e}$ 

การประมาณของสเตอร์ลิง

e ใช้ในการประมาณค่าของแฟกตอเรียลของจำนวนค่ามากได้ตามสูตร

${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ 

ซึ่งแปลว่า

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$ 

แคลคูลัส

 

กราฟแสดงอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f(x) = e^x ที่จุด x = 0

หนึ่งในความสำคัญของการนิยามค่า ${\displaystyle e}$  คือการนำไปใช้ในการหาอนุพันธ์หรือปริพันธ์ของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันลอการิทึม โดยเมื่อพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle y=a^{x}}$  จากนิยามของอนุพันธ์

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}$ 

จะสังเกตได้ว่าลิมิตในวงเล็บไม่ขึ้นกับ ${\displaystyle x}$  แต่ขึ้นกับฐาน ${\displaystyle a}$  เพียงอย่างเดียว โดยที่ ${\displaystyle e}$  คือจำนวนที่ทำให้ลิมิตนี้เป็น 1 สอดคล้องกับสมบัติที่ว่า

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}$ 

e จึงเป็นฐานที่เหมาะสมต่อการทำแคลคูลัส เพราะเมื่อเลือกใช้เป็นฐานแล้วทำให้ง่ายต่อการคำนวณอนุพันธ์

ในทำนองเดียวกัน หากพยายามคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ${\displaystyle y=\log _{a}x}$ จะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{n\to 0}(1+{\frac {1}{n}})^{n}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}$ 

โดย ${\displaystyle n=x/h}$ 

ดังนั้นถ้าแทน ${\displaystyle a}$ เป็น ${\displaystyle e}$ จะได้ว่าลอการิทึมในผลเป็น 1 ดังนั้น

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}}$ 

ลอการิทึมฐาน ${\displaystyle e}$  นี้เรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติและตามปกติเขียนแทนด้วย ${\displaystyle \ln }$ ดังนั้นจึงเห็นได้เช่นเดียวกันว่า ${\displaystyle e}$ เป็นฐานที่สะดวกต่อแคลคูลัส

จากคุณสมบัติที่ ${\displaystyle \ln x}$ มี ${\displaystyle 1/x}$ เป็นอนุพันธ์ นำไปสู่วิธีนิยาม ${\displaystyle e}$ อีกวิธีคือ

${\displaystyle \int _{0}^{e}{\frac {dt}{t}}=1}$ 

ทฤษฎีจำนวน

${\displaystyle e}$ เป็นจำนวนอตรรกยะและอดิศัย นั่นแปลว่า ${\displaystyle e}$ ไม่สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่เศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้ และไม่เป็นคำตอบของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ออยเลอร์เป็นคนแรกที่พิสูจน์ว่า ${\displaystyle e}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยการแสดงว่า ${\displaystyle e}$ เขียนเป็นเศษส่วนต่อเนื่องอนันต์ได้ สำหรับการที่ ${\displaystyle e}$ เป็นจำนวนอดิศัยนั้นเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทลินเดอมาน-ไวเออร์ชตราส โดยผู้พิสูจน์ครั้งแรกว่า ${\displaystyle e}$ เป็นจำนวนอดิศัยคือชาลส์ แอร์มิต

จำนวนเชิงซ้อน

ในระบบจำนวนจริง ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล ${\displaystyle e^{x}}$ สามารถเขียนเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ได้เป็น

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...}$ 

ซึ่งอนุกรมนี้คงคุณสมบัติหลายประการของ ${\displaystyle e^{x}}$ ไว้ในระนาบเชิงซ้อน จึงถือเป็นนิยามของฟังก์ชัน ${\displaystyle e^{x}}$ สำหรับจำนวนเชิงซ่อนใด ๆ

จากการเทียบเคียงสมการนี้กับอนุกรมของ ${\displaystyle \sin x}$ และ ${\displaystyle \cos x}$ นำไปสู่สูตรของออยเลอร์ ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$ (ซึ่งมีเอกลักษณ์ออยเลอร์ ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$ เป็นกรณีพิเศษที่ ${\displaystyle x=\pi }$ ) เมื่อนำสูตรของออยเลอร์ไปยกกำลังจะได้ทฤษฎีบทเดอมัวร์ ${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=(e^{ix})^{n}=e^{inx}=\cos {nx}+i\sin {nx}}$ 

ดูเพิ่ม

• การพิสูจน์ว่า e เป็นจำนวนอตรรกยะ

อ้างอิง

1. สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) (2013). "natural logarithms [Napierian logarithms] ลอการิทึมฐาน e". พจนานุกรมศัพท์วิทยาศาสตร์-คณิตศาสตร์ สสวท. อังกฤษ-ไทย. บริษัท อินเตอร์เอดูเคชั่น ซัพพลายส์ จำกัด. p. 79. ISBN 978-616-7736-02-0.
2. Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
3. O'Connor, J J; Robertson, E F. "The number e". MacTutor History of Mathematics.
4. Pickover, Clifford A. (2009). "Euler's Number, e". The Math Book. p. 166. ISBN 978-1-4027-8829-1.
5. รองศาสตราจารย์ ดร.ปิยะ โควินท์ทวีวัฒน์ (2015). มหาวิทยาลัยราชภัฏนครปฐม. "การสื่อสารดิจิตัล ตัวแปรสุ่มและกระบวนการสุ่ม".
6. Grinstead, C.M. and Snell, J.L.Introduction to probability theory (published online under the GFDL), p. 85.
7. Sandifer, Ed (กุมภาพันธ์ 2006). (PDF).

แหล่งข้อมูลอื่น

มหัศจรรย์แห่งค่าอี