กฎของโคไซน์

ในตรีโกณมิติ กฎของโคไซน์ (อังกฤษ: law of cosines) เป็นกฎที่เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมกับโคไซน์ของมุมหนึ่งในรูปสามเหลี่ยมนั้น กฎของโคไซน์เขียนได้ดังสมการต่อไปนี้ กำหนดให้ชื่อของด้านและมุมเป็นไปตามรูปที่ 1

รูปที่ 1 – กำหนดรูปสามเหลี่ยม มุม α (หรือ A), β (หรือ B), และ γ (หรือ C) เป็นมุมตรงข้ามด้าน a, b, และ c

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$

เมื่อ γ เป็นมุมระหว่างด้านที่มีความยาว a และ b และตรงข้ามกับด้านที่มีความยาว c

กฎของโคไซน์นั้นกล่าวครอบคลุมถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย ซึ่งเป็นทฤษฎีบทสำหรับรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้น ถ้ามุม γ เป็นมุมฉาก (มีขนาด 90° หรือ π/2 เรเดียน) แล้ว cos γ = 0 จะได้กฎของโคไซน์ที่ลดรูปเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$

กฎของโคไซน์มีประโยชน์ในการคำนวณความยาวด้านที่สามของรูปสามเหลี่ยม เมื่อทราบความยาวด้านสองด้านและมุมที่มีด้านทั้งสองนั้นเป็นด้านประกอบ และสามารถคำนวณมุมของรูปสามเหลี่ยมได้ ถ้าทราบความด้านทั้งสาม

การพิสูจน์

การใช้สูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด

 

รูปที่ 2 – การพิสูจน์โดยใช้พิกัดทางเรขาคณิต

พิจารณารูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว a, b, c, เมื่อ θ คือ ขนาดของมุมตรงข้ามของด้านยาว c รูปสามเหลี่ยมรูปนี้สามารถวางบนระบบพิกัดคาร์ทีเชียนโดยการลงจุดดังรูปที่ 2

${\displaystyle A=(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B=(a,\ 0),\ {\text{and}}\ C=(0,\ 0)\,}$ 

จากสูตรระยะทางระหว่างจุดสองจุด จะได้

${\displaystyle c={\sqrt {(a-b\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}}\,}$ 

จากนั้นแก้สมการ

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(a-b\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}\\c^{2}&{}=a^{2}-2ab\cos \theta +b^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta \,\end{aligned}}}$ 

ข้อดีของการพิสูจน์นี้ คือ มันไม่จำเป็นต้องพิจารณาแยกเป็นกรณีต่าง ๆ ว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมป้าน

การใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

  ลากเส้นตรง ${\displaystyle AD\,}$  ให้ตั้งฉากกับ ${\displaystyle BC\,}$ 

สมมติให้ ${\displaystyle DC\,}$  ยาว ${\displaystyle x\,}$  หน่วย

จาก ${\displaystyle \cos \gamma ={\frac {x}{b}}}$  ดังนั้น ${\displaystyle x=b\,\cos \gamma }$ 

โดยทฤษฎีบทของปีทากอรัส เราได้ว่า

${\displaystyle c^{2}-(a-x)^{2}=b^{2}-x^{2}\,}$ 

${\displaystyle c^{2}-a^{2}+2ax-x^{2}=b^{2}-x^{2}\,}$ 

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ax\,}$ 

เนื่องจาก ${\displaystyle x=b\,\cos \gamma }$ 

${\displaystyle \therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma }$ 

นอกจากนี้เรายังได้ความสัมพันธ์

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\,\cos \alpha }$ 

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\,\cos \beta }$ 

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ในทำนองเดียวกัน

ดูเพิ่ม

• กฎของไซน์
• กฎของแทนเจนต์
• กฎของโคแทนเจนต์
• รายการเอกลักษณ์ตรีโกณมิติ

แหล่งข้อมูลอื่น

• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Cosine theorem", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Several derivations of the Cosine Law, including Euclid's at cut-the-knot
• Interactive applet of Law of Cosines