จำนวนจินตภาพ

... (ทำรูปแบบซ้ำ จากบริเวณสีน้ำเงิน)

i^−3 = i

i^−2 = −1

i^−1 = −i

i^0 = 1

i^1 = i

i^2 = −1

i^3 = −i

i^4 = 1

i^5 = i

i^6 = −1

i^n = i^m เมื่อ m ≡ n mod 4

ในทางคณิตศาสตร์ จำนวนจินตภาพ (อังกฤษ: imaginary number) เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่สามารถเขียนเป็นจำนวนจริงคูณด้วยหน่วยจินตภาพ i ซึ่งกำหนดให้ i² = −1 รากของจำนวนจินตภาพ bi คือ −b² ตัวอย่างเช่น 5i เป็นจำนวนจินตภาพ และรากของมันคือ −25 ในบทนิยาม ศูนย์เป็นทั้งจำนวนจริงและจำนวนจินตภาพ

ผู้คิดค้นจำนวนจินตภาพคนแรกคือเรอเน เดการ์ตในคริสต์ศตวรรษที่ 17 โดยตั้งเป็นคำดูถูกและถือกันว่าไม่มีอยู่จริงหรือไร้ประโยชน์ แนวคิดนี้ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางหลังจากงานตีพิมพ์ของเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ในคริสต์ศตวรรษที่ 18) และออกุสแต็ง-ลุยส์ โกชีกับคาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (ในช่วงต้นคริสต์ศตวรรษที่ 19)

จำนวนจินตภาพ bi สามารถเพิ่มเป็นจำนวนจริง a เพื่อทำให้เกิดจำนวนเชิงซ้อนในรูป a + bi โดยจำนวนจริง a และ b ถูกเรียกตามลำดับว่า ส่วนจริง กับ ส่วนจินตภาพ ของจำนวนเชิงซ้อน

นิยาม

จำนวนเชิงซ้อนใด ๆ z อาจเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle z=x+iy\ }$ ,

โดยที่ ${\displaystyle x\ }$  และ ${\displaystyle y\ }$  เป็น จำนวนจริง (real number) และ ${\displaystyle i\ }$  เป็นหน่วยจินตภาพ (imaginary unit) ซึ่งมีคุณสมบัติตามนิยาม ดังนี้

${\displaystyle i^{2}=-1.\ }$ 

จำนวน ${\displaystyle x\ }$  นิยามได้จาก

${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)}$ 

เป็นส่วนจริง (real part) ของจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle z\ }$ , และ ${\displaystyle y\ }$ , นิยามได้จาก

${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)}$ 

เป็นส่วนจินตภาพ (imaginary part) แม้ว่าเดิมนั้นเดการ์ตส์จะใช้คำว่า "จำนวนจินตภาพ" เพื่อหมายถึงสิ่งที่ปัจจุบันนี้รู้จักกันว่า "จำนวนเชิงซ้อน" (complex number) แต่คำว่า "จำนวนจินตภาพ" ในปัจจุบัน ก็มักจะหมายถึงจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงเท่ากับ 0 นั่นคือ จำนวนที่อยู่ในรูป i y ศูนย์ (0) เป็นเพียงจำนวนเดียวที่เป็นทั้งจำนวนจริง และจำนวนจินตภาพ

บทแทรก

${\displaystyle i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\ ,}$ 

${\displaystyle i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\ ,}$ 

${\displaystyle i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\ ,}$ 

...

เป็นต้น

หมายเหตุ

1. ในด้านวิศวกรรมมักใช้เป็นตัว j ถ้า i มีความหมายอื่น (เช่น กระแสไฟฟ้า)
2. ทั้งส่วนจริงกับส่วนจินตภาพถูกเรียกรวมเป็นจำนวนจริง

อ้างอิง

1. Uno Ingard, K. (1988). "Chapter 2". Fundamentals of Waves and Oscillations. Cambridge University Press. p. 38. ISBN 0-521-33957-X.
2. Weisstein, Eric W. "Imaginary Number". mathworld.wolfram.com (ภาษาอังกฤษ). สืบค้นเมื่อ 2020-08-10.
3. Sinha, K.C. (2008). A Text Book of Mathematics Class XI (Second ed.). Rastogi Publications. p. 11.2. ISBN 978-81-7133-912-9.
4. Giaquinta, Mariano; Modica, Giuseppe (2004). Mathematical Analysis: Approximation and Discrete Processes (illustrated ed.). Springer Science & Business Media. p. 121. ISBN 978-0-8176-4337-9. Extract of page 121
5. Aufmann, Richard; Barker, Vernon C.; Nation, Richard (2009). College Algebra: Enhanced Edition (6th ed.). Cengage Learning. p. 66. ISBN 1-4390-4379-5.

บรรณานุกรม

• Nahin, Paul (1998). An Imaginary Tale: the Story of the Square Root of −1. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1., explains many applications of imaginary expressions.

แหล่งข้อมูลอื่น

 

วิกิพจนานุกรม มีความหมายของคำว่า:
จำนวนจินตภาพ

• How can one show that imaginary numbers really do exist? – an article that discusses the existence of imaginary numbers.
• 5Numbers programme 4 BBC Radio 4 programme
• Why Use Imaginary Numbers? Basic Explanation and Uses of Imaginary Numbers