ส่วนเติมเต็ม

ส่วนเติมเต็ม หรือ คอมพลีเมนต์ (อังกฤษ: complement) คือแนวคิดหนึ่งที่ใช้ในการเปรียบเทียบเซต เพื่อที่จะให้ทราบว่า เมื่อเซตหนึ่งสัมพันธ์กับอีกเซตหนึ่ง มีสมาชิกใดบ้างที่อยู่ภายใต้เซตเพียงเซตเดียว แบ่งออกตามการใช้งานเป็น ส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ (absolute complement) กับ ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ (relative complement) ซึ่งแนวคิดแรกหมายถึงส่วนเติมเต็มที่เกี่ยวข้องกับเอกภพสัมพัทธ์ (universal set) ส่วนแนวคิดหลังเกี่ยวข้องกับเซตตัวอื่น

ส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์

 

พื้นที่สีเทาคือส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของ A

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว ดังนั้นส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของ A ใน U จะเรียกว่าส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ของ A (หรือเรียกแค่ส่วนเติมเต็มก็ได้) เขียนแทนด้วย A^C หรือ A′ นั่นคือ

${\displaystyle A^{\mathrm {'} }=\mathbf {U} \setminus A=\{x\in \mathbf {U} \,|\,x\notin A\}}$ 

หมายถึงสมาชิกตัวอื่นที่ไม่อยู่ใน A แต่ยังคงอยู่ใน U ตัวอย่างเช่น ถ้าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตจำนวนเต็ม ดังนั้นส่วนเติมเต็มของเซตจำนวนคู่ ก็คือเซตจำนวนคี่

สมบัติต่อไปนี้คือสมบัติที่สำคัญของส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบนเซตอื่นๆ กำหนดให้ A และ B เป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U

• กฎเดอมอร์แกน
  • ${\displaystyle (A\cup B)^{\mathrm {c} }=A^{\mathrm {'} }\cap B^{\mathrm {c} }}$ 
  • ${\displaystyle (A\cap B)^{\mathrm {c} }=A^{\mathrm {'} }\cup B^{\mathrm {c} }}$ 
• กฎส่วนเติมเต็ม
  • ${\displaystyle A\cup A^{\mathrm {'} }=\mathbf {U} }$ 
  • ${\displaystyle A\cap A^{\mathrm {'} }=\varnothing }$ 
  • ${\displaystyle \varnothing ^{\mathrm {'} }=\mathbf {U} }$ 
  • ${\displaystyle \mathbf {U} ^{\mathrm {c} }=\varnothing }$ 
  • ${\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow B^{\mathrm {c} }\subseteq A^{\mathrm {'} }}$ 
• อาวัตนาการ (involution) หรือกฎส่วนเติมเต็มซ้ำสอง
  • ${\displaystyle (A^{\mathrm {'} })^{\mathrm {'} }=A\,}$ 
• ความสัมพันธ์ระหว่างส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์และส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์
  • ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{\mathrm {c} }}$ 
  • ${\displaystyle (A\setminus B)^{\mathrm {c} }=A^{\mathrm {'} }\cup B}$ 

ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์

 

พื้นที่สีม่วงคือส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของ A ใน B

กำหนดให้เซต A และ B ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ของ A ใน B (หรือเรียกว่าผลต่างของเซต B กับ A) หมายถึงสมาชิกตัวอื่นที่ไม่อยู่ใน A แต่ยังคงอยู่ใน B เขียนแทนด้วย B − A

${\displaystyle B-A=\{x\in B\,|\,x\notin A\}}$ 

ตัวอย่างเช่น R คือเซตของจำนวนจริง และ Q คือเซตของจำนวนตรรกยะก็คือเซตของจำนวนอตรรกยะ

สมบัติต่อไปนี้คือสมบัติที่สำคัญของส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการบนเซตอื่นๆ กำหนดให้ A, B, C เป็นเซตใดๆ

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}$ 
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}$ 
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}$ 
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}$ 
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}$ 
• ${\displaystyle A\setminus A=\varnothing }$ 
• ${\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing }$ 
• ${\displaystyle A\setminus \varnothing =A}$ 

อ้างอิง

• วัชรี กาญจน์กีรติ, พีชคณิตนามธรรม. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9

ดูเพิ่ม

• ผลต่างสมมาตร (symmetric difference)
• ส่วนเติมเต็มหนึ่ง (one's complement)
• ส่วนเติมเต็มสอง (two's complement)