อนุกรมฟูรีเย

อนุกรมฟูรีเย ตั้งชื่อตามโฌแซ็ฟ ฟูรีเย อนุกรมฟูรีเยเป็นเทคนิคทางคณิตศาสตร์ที่มีประโยชน์ เช่นใช้ในการแยกปัญหาออกเป็นส่วนย่อยๆ ที่ง่ายกว่าปัญหาดั้งเดิม โดยอนุกรมฟูรีเย นั้นเป็นการกระจายฟังก์ชันคาบ ที่มีคาบ 2π ให้อยู่ในรูปผลบวกของ ฟังก์ชันคาบในรูป

${\displaystyle x\mapsto e^{inx}}$

ซึ่งเป็น ฮาร์โมนิก ของ e^{i x} หรือ อาจเขียนในรูปของฟังก์ชัน ไซน์ และ โคไซน์

ดูประวัติที่บทความหลัก การแปลงฟูรีเย

นิยาม

พิจารณาฟังก์ชันจำนวนเชิงซ้อน f(x) ของตัวแปรซึ่งมีค่าเป็นจำนวนจริง ที่มีคาบ 2π และ สามารถหาค่าปริพันธ์ของกำลังสอง ในช่วง 0 ถึง 2π ได้ การกระจายฟังก์ชันในรูปของอนุกรมฟูรีเยจะหาได้จาก

อนุกรมฟูรีเย	สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเย
${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }F_{n}\,e^{inx}.}$	${\displaystyle \qquad F_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-inx}\,dx.}$
จาก สูตรของออยเลอร์ (Euler's formula) ${\displaystyle e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,\!}$  เราสามารถเขียน f(x) อยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ของ ${\displaystyle \cos(nx)\,\!}$  และ ${\displaystyle \sin(nx)\,\!}$
${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right]}$	${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx}$  ${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx}$
โดยที่ ${\displaystyle F_{n}=(a_{n}-ib_{n})/2\,}$ , ${\displaystyle F_{-n}=F_{n}^{*}}$  และ ${\displaystyle F_{0}=a_{0}/2\,}$

ตัวอย่าง

พิจารณาฟังก์ชัน ${\displaystyle \,f(x)=x\,}$  สำหรับค่า ${\displaystyle x\in (-\pi ,\pi )}$  และเป็นคาบในช่วงที่เหลือ ตามข้อสมมุติของอนุกรมฟูรีเย ดังรูป

 

สัมประสิทธิ์ของอนุกรมฟูรีเยสามารถคำนวณหาได้ดังต่อไปนี้ สังเกตว่า cos(nx) เป็นฟังก์ชันคู่ ในขณะที่ f เป็นฟังก์ชันคี่เช่นเดียวกับ sin(nx)

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\,dx={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\,dx=0,}$ 

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,dx=0,}$ 

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx={\frac {1}{\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)\,dx}$ 

${\displaystyle ={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }x\sin(nx)\,dx={\frac {2}{\pi }}\left(\left[-{\frac {x\cos(nx)}{n}}\right]_{0}^{\pi }+\left[{\frac {\sin(nx)}{n^{2}}}\right]_{0}^{\pi }\right)=(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}}$ 

สังเกตว่า a₀ และ a_n มีค่าเท่ากับ 0 เนื่องจาก x และ x cos(nx) เป็นฟังก์ชันคี่ ดังนั้นอนุกรมฟูรีเยของ f(x) = x คือ:

${\displaystyle f(x)=x=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx))}$ 

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {2}{n}}\sin(nx),\quad \forall x\in (-\pi ,\pi )}$ 

สำหรับการประยุกต์ใช้งานอนุกรมฟูรีเย ดู ค่าของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ที่ s = 2

 

ภาพเคลื่อนไหวแสดงกราฟต่อเนื่องห้าอันดับจากอนุกรมฟูรีเยที่เป็นคำตอบ