ลำดับเลขคณิต

ในทางคณิตศาสตร์ ลำดับเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic progression, arithmetic sequence) คือลำดับของจำนวนซึ่งผลต่างของสมาชิกสองตัวใด ๆ ที่อยู่ติดกันในลำดับเป็นค่าคงตัวเสมอ เรียกค่าคงตัวนั้นว่า ผลต่างร่วม (common difference) ตัวอย่างเช่น ลำดับ 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ 2

ถ้าหากพจน์เริ่มต้นของลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่งคือ a₁ และมีผลต่างร่วมของสมาชิกที่อยู่ติดกันเท่ากับ d แล้วพจน์ที่ n ของลำดับนี้คือ

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d\,\!}$

หรือในกรณีทั่วไป จะได้

${\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d\,\!}$

หรือเขียนได้ด้วยรูปแบบความสัมพันธ์เวียนเกิด

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\,\!}$

ผลรวม

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

วิธีการคำนวณผลรวม 2 + 5 + 8 + 11 + 14 โดยเขียนอนุกรมกลับหน้ามาหลังและบวกเข้ากับแต่ละพจน์ ผลรวมที่ได้จะเป็นลำดับคงตัวที่เท่ากับผลบวกของพจน์แรกและพจน์สุดท้าย (2 + 14 = 16) ทำให้ได้ 16 × 5 = 80 ซึ่งเป็นสองเท่าของผลรวม

ผลรวมของสมาชิกในลำดับเลขคณิต เรียกว่า อนุกรมเลขคณิต (อังกฤษ: arithmetic series) ตัวอย่างเช่น พิจารณาผลรวม

${\displaystyle 2+5+8+11+14}$ 

ผมรวมของลำดับเลขคณิตข้างต้นสามารถหาได้อย่างรวดเร็ว โดยให้ n แทนจำนวนพจน์ทั้งหมด (ในกรณีนี้คือ 5) แล้วคูณด้วยผลบวกของพจน์แรกและพจน์สุดท้ายในลำดับเลขคณิต (ในกรณีนี้คือ 2 + 14 = 16) และสุดท้ายหารด้วย 2:

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$ 

ในกรณีนี้จะได้ค่าของผลรวมคือ

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40}$ 

สูตรนี้ใช้ได้สำหรับทุกลำดับเลขคณิตที่มีพจน์แรกและพจน์สุดท้ายคือ ${\displaystyle a_{1}}$  และ ${\displaystyle a_{n}}$  ใด ๆ

พิสูจน์

อนุกรมข้างต้นสามารถเขียนในรูปที่สมมูลกันได้สองแบบ ได้แก่

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)}$ 

${\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}}$ 

บวกสองสมการข้างต้นเข้าด้วยกัน ทุกพจน์ที่เกี่ยวข้องกับ d จะหายไป และเหลือเพียง

${\displaystyle 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})\,\!}$ 

จัดรูปแบบใหม่ และในเมื่อเราทราบแล้วว่า ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$  ดังนั้นเราจะได้

${\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}}$ 

ผลคูณ

ผลคูณของสมาชิกในลำดับเลขคณิต โดยเริ่มตั้งแต่พจน์ a₁ ไปถึง a_n ซึ่งมีผลต่างร่วมเท่ากับ d สามารถคำนวณได้จาก

${\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}}}$ 

โดยที่สัญลักษณ์ ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$  หมายถึงผลคูณลำดับเพิ่ม (rising sequential product) และ ${\displaystyle \Gamma (x)}$  แทนฟังก์ชันแกมมา อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะใช้งานไม่ได้เมื่อ ${\displaystyle a_{1}/d}$  เป็นจำนวนเต็มลบหรือศูนย์

นี่เป็นรูปแบบทั่วไป ซึ่งเกิดขึ้นจากการคูณสมาชิกของลำดับเลขคณิต 1 × 2 × ... × n ที่ได้นิยามไว้แล้วในแฟกทอเรียล n! ดังนั้นผลคูณของลำดับนี้

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!}$ 

จะมีค่าเท่ากับ

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}}$ 

โดยที่ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

อ้างอิง

• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.

ดูเพิ่ม

• ลำดับเรขาคณิต
• อนุกรม

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Arithmetic progression" จากแมทเวิลด์.
• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Arithmetic series" จากแมทเวิลด์.