แฟกทอเรียล

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
15	1307674368000
20	2432902008176640000
25	1.5511210043×10^25
50	3.0414093202×10^64
70	1.1978571670×10^100
100	9.3326215444×10^157
170	7.2574156153×10^306
171	1.2410180702×10^309
450	1.7333687331×10^1000
1000	4.0238726008×10^2567
3249	6.4123376883×10^10000
10000	2.8462596809×10^35659
25206	1.2057034382×10^100000
100000	2.8242294080×10^456573
205023	2.5038989317×10^1000004
1000000	8.2639316883×10^5565708
1.0248383838×10^98	10^1.0000000000×10100
10^100	10^9.9565705518×10101
1.7976931349×10^308	10^5.5336665775×10310

ตัวอย่างแฟกทอเรียลบางจำนวนในลำดับแฟกทอเรียล (ลำดับ  A000142) ค่าที่ปรากฏในสัญกรณ์เป็นค่าที่ปัดเศษแล้ว

ในทางคณิตศาสตร์ แฟกทอเรียล (อังกฤษ: factorial) ของจำนวนเต็มไม่เป็นลบ n คือผลคูณของจำนวนเต็มบวกทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n เขียนแทนด้วย n! (อ่านว่า n แฟกทอเรียล)

${\displaystyle n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot (n-3)\cdot \cdots \cdot 3\cdot 2\cdot 1\,.}$

ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120\;}$

สำหรับค่าของ 0! ถูกกำหนดให้เท่ากับ 1 ตามหลักการของผลคูณว่าง

การดำเนินการแฟกทอเรียลพบได้ในคณิตศาสตร์สาขาต่าง ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคณิตศาสตร์เชิงการจัด พีชคณิต และคณิตวิเคราะห์ การพบเห็นโดยพื้นฐานที่สุดคือข้อเท็จจริงที่ว่า การจัดลำดับวัตถุที่แตกต่างกัน n สิ่งสามารถทำได้ n! วิธี (การเรียงสับเปลี่ยนของเซตของวัตถุ) ข้อเท็จจริงนี้เป็นที่ทราบโดยนักวิชาการชาวอินเดียตั้งแต่ต้นคริสต์ศตวรรษที่ 12 เป็นอย่างน้อย นอกจากนี้ คริสเตียน แครมป์ (Christian Kramp) เป็นผู้แนะนำให้ใช้สัญกรณ์ n! เมื่อ ค.ศ. 1808 (พ.ศ. 2351)

นิยามของแฟกทอเรียลสามารถขยายแนวคิดไปบนอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยยังคงมีสมบัติที่สำคัญ ซึ่งเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงยิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเทคนิคต่าง ๆ ที่ใช้ในคณิตวิเคราะห์

นิยาม

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลได้นิยามเชิงรูปนัยไว้ดังนี้

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\!}$ 

หรือนิยามแบบเวียนเกิดได้ดังนี้

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\(n-1)!\times n&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$ 

นิยามด้านบนทั้งสองได้รวมกรณีนี้เข้าไปด้วย

${\displaystyle 0!=1\;}$ 

ตามหลักการว่าผลคูณของจำนวนที่ไม่มีอยู่เลย (ผลคูณว่าง) มีค่าเท่ากับ 1 สิ่งนี้เป็นประโยชน์เนื่องจาก

• การเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุศูนย์สิ่ง มีเพียงหนึ่งวิธีเท่านั้น (ไม่มีสิ่งใดเรียงสับเปลี่ยน "ทุกสิ่ง" ยังคงอยู่ที่เดิม)
• ความสัมพันธ์เวียนเกิด (n + 1)! = n! × (n + 1) ซึ่งสามารถใช้ได้เฉพาะ n > 0 จะทำให้ใช้กับกรณี n = 0 ได้ด้วย
• นิพจน์ของสูตรต่าง ๆ ที่มีแฟกทอเรียลสามารถใช้งานได้ อย่างเช่นฟังก์ชันเลขชี้กำลังในรูปแบบอนุกรมกำลัง

  ${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$ 

• เอกลักษณ์ต่าง ๆ ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดสามารถใช้งานได้ สำหรับขนาดของวัตถุที่ประยุกต์ใช้ได้ทั้งหมด จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก 0 ตัวจากเซตว่างเท่ากับ ${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}={\tfrac {0!}{0!0!}}=1}$  หรือโดยนัยทั่วไป จำนวนวิธีที่จะเลือกสมาชิก (ทั้งหมด) n ตัวจากเซตที่มีขนาด n เท่ากับ ${\displaystyle {\tbinom {n}{n}}={\tfrac {n!}{n!0!}}=1}$ 

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้โดยใช้คณิตศาสตร์ขั้นสูง ดูรายละเอียดด้านล่าง ซึ่งนิยามโดยนัยทั่วไปมากขึ้นเช่นนี้มีใช้ในเครื่องคิดเลขระดับสูงและซอฟต์แวร์คณิตศาสตร์อาทิเมเพิลหรือแมเทอแมติกา

การประยุกต์

แม้ว่าฟังก์ชันแฟกทอเรียลมีที่มาจากคณิตศาสตร์เชิงการจัด แต่สูตรที่เกี่ยวข้องกับแฟกทอเรียลก็ปรากฏในคณิตศาสตร์หลายสาขา

• การเรียงสับเปลี่ยน (permutation) โดยพื้นฐานคือการเรียงลำดับวัตถุ n สิ่งที่แตกต่างกัน ซึ่งสามารถทำได้ n! วิธี
• บ่อยครั้งที่แฟกทอเรียลปรากฏเป็นตัวส่วนในสูตรเพื่ออธิบายว่า การเรียงลำดับของวัตถุไม่มีความสำคัญและถูกเพิกเฉย ตัวอย่างตามแบบฉบับเช่น การจัดหมู่ (combination) วัตถุ k สิ่งจากเซตของวัตถุ n สิ่ง เราอาจจัดหมู่โดยการเรียงสับเปลี่ยนวัตถุ k สิ่ง หมายความว่าเลือกวัตถุสิ่งหนึ่งออกจากเซตทีละครั้งเป็นจำนวน k ครั้ง กระทั่งได้จำนวนวิธีรวมเท่ากับ

${\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}$ 

อย่างไรก็ตาม การเรียงลำดับของวัตถุที่ถูกเลือกในการจัดหมู่ไม่มีความสำคัญ และเนื่องจากการเรียงลำดับวัตถุ k สิ่งสามารถกระทำได้แตกต่างกัน k! วิธี เพราะฉะนั้นจำนวนวิธีของการจัดหมู่วัตถุ k สิ่งจากเซตของวัตถุ n สิ่งที่ถูกต้องจึงควรเท่ากับ

${\displaystyle {\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}}$ 

ผลลัพธ์ดังกล่าวเป็นที่รู้จักในชื่อสัมประสิทธิ์ทวินาม ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$  เพราะว่ามันเป็นสัมประสิทธิ์ของพจน์ X^k ในการกระจาย (1 + X)ⁿ

• แฟกทอเรียลปรากฏในพีชคณิตด้วยเหตุผลหลายประการ ตัวอย่างเช่นสัมประสิทธิ์ของสูตรทวินามดังที่กล่าวแล้ว หรือการเฉลี่ยบนการเรียงสับเปลี่ยนเพื่อการทำให้สมมาตร (symmetrization) ของการดำเนินการเฉพาะอย่าง
• แฟกทอเรียลก็มีใช้ในแคลคูลัส ตัวอย่างเช่นตัวส่วนของพจน์ในอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series) เพื่อชดเชยข้อเท็จจริงโดยพื้นฐานว่าอนุพันธ์ชั้นที่ n ของ xⁿ คือ n!
• แฟกทอเรียลก็มีใช้อย่างกว้างขวางในทฤษฎีความน่าจะเป็น
• แฟกทอเรียลมีประโยชน์ทำให้การจัดดำเนินการนิพจน์สะดวกขึ้น ตัวอย่างเช่นจำนวนวิธีของการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ k สิ่งจากวัตถุ n สิ่ง สามารถเขียนได้เป็น

${\displaystyle n^{\underline {k}}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$ 

มันอาจถูกใช้เพื่อพิสูจน์สมบัติสมมาตรของสัมประสิทธิ์ทวินาม ในกรณีที่ไม่มีประสิทธิภาพเพียงพอที่จะคำนวณจำนวนเช่นนั้นได้

${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!k!}}={\frac {n^{\underline {n-k}}}{(n-k)!}}={\binom {n}{n-k}}}$ 

ทฤษฎีจำนวน

แฟกทอเรียลมีการใช้งานหลายอย่างในทฤษฎีจำนวน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง n! สามารถหารด้วยจำนวนเฉพาะทั้งหมดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n ได้ลงตัว ผลสรุปที่ตามมาคือ n > 5 จะเป็นจำนวนประกอบก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0{\pmod {n}}}$ 

ทฤษฎีของวิลสัน (Wilson's theorem) ได้กล่าวถึงผลสรุปที่เคร่งครัดมากกว่าดังนี้

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}$ 

ก็ต่อเมื่อ p เป็นจำนวนเฉพาะ

อาเดรียง-มารี เลอฌ็องดร์ (Adrien-Marie Legendre) พบว่าการคูณของจำนวนเฉพาะ p ที่ปรากฏในการแยกตัวประกอบเฉพาะของ n! สามารถแสดงได้อย่างแม่นยำเป็น

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\left\lfloor {\frac {n}{p^{i}}}\right\rfloor }$ 

ข้อเท็จจริงนี้มีพื้นฐานบนการนับจำนวนตัวประกอบ p ของจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง n; จำนวนพหุคูณของ p ในจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง n สามารถพิจารณาได้จากสูตร ${\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor }$  อย่างไรก็ตามสูตรนี้จะนับตัวประกอบ p เพียงครั้งเดียว ยังคงมีตัวประกอบจำนวน ${\displaystyle \textstyle \left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor }$  ตัวของ p ที่จะต้องนับอีก และยังมีที่คล้ายกันอีกในกำลังสาม สี่ ห้า จนถึงอนันต์ ผลรวมดังกล่าวเป็นจำนวนจำกัดเนื่องจาก pⁱ สามารถมีค่าได้แค่น้อยกว่าหรือเท่ากับ n สำหรับ i หลายค่าอย่างจำกัด และฟังก์ชันพื้นจะให้ผลลัพธ์เป็น 0 เมื่อใช้กับ pⁱ > n

แฟกทอเรียลที่เป็นจำนวนเฉพาะด้วยมีจำนวนเดียวคือ 2 แต่ก็มีจำนวนเฉพาะจำนวนมากที่อยู่ในรูปแบบ n! ± 1 เรียกว่าจำนวนเฉพาะเชิงแฟกทอเรียล (factorial prime)

แฟกทอเรียลที่มากกว่า 0! และ 1! เป็นจำนวนคู่ทั้งหมด เพราะว่าเป็นพหุคูณของ 2 นอกจากนี้แฟกทอเรียลที่มากกว่า 5! ก็เป็นพหุคูณของ 10 (และทำให้มีศูนย์ลงท้ายในหลักสุดท้ายเป็นต้นไป) เนื่องจากเป็นพหุคูณของ 5 กับ 2

อนุกรมที่มีแต่ละพจน์เป็นส่วนกลับของแฟกทอเรียล ทำให้เกิดอนุกรมลู่เข้าและมีค่าเท่ากับ e

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\ldots =e}$ 

อัตราการเติบโตและการประมาณเมื่อ n มีขนาดใหญ่

 

การลงจุดของลอการิทึมธรรมชาติของแฟกทอเรียล

เมื่อ n มีค่าเพิ่มขึ้น ค่า n! จะมีอัตราการเติบโตมากกว่าพหุนามและฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดที่มี n ประกอบอยู่ (แต่ก็ยังน้อยกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังสองชั้น)

การประมาณค่าที่ใกล้เคียงที่สุดของ n! ใช้พื้นฐานบนลอการิทึมธรรมชาติดังนี้

${\displaystyle \log n!=\sum _{x=1}^{n}\log x}$ 

กราฟของฟังก์ชัน f(n) = log n! แสดงไว้ในภาพด้านขวา ลักษณะของกราฟดูเหมือนเป็นเส้นตรง (ฟังก์ชันเชิงเส้น) สำหรับทุกค่าของ n ที่เป็นไปได้ แต่ความจริงมันไม่ใช่เส้นตรง เราอาจประมาณค่า log n! อย่างง่ายโดยกำหนดขอบเขตบนและล่างด้วยปริพันธ์

${\displaystyle \int _{1}^{n}\log x\,dx\leq \sum _{x=1}^{n}\log x\leq \int _{0}^{n}\log(x+1)\,dx}$ 

ซึ่งจะได้การประมาณค่าดังนี้

${\displaystyle n\log \left({\frac {n}{e}}\right)+1\leq \log n!\leq (n+1)\log \left({\frac {n+1}{e}}\right)+1}$ 

เนื่องจากการคำนวณ log n! มีประสิทธิภาพเป็น Θ(n log n) สิ่งนี้จึงมีบทบาทหลักในการวิเคราะห์ความซับซ้อนในการคำนวณของขั้นตอนวิธีการเรียงลำดับ (ดูเพิ่มที่การเรียงลำดับแบบเปรียบเทียบ)

จากขอบเขตของ log n! ที่ได้ สามารถลดรูปจนเหลือเพียง

${\displaystyle e\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\leq n!\leq e\left({\frac {n+1}{e}}\right)^{n+1}}$ 

การใช้สูตรดังกล่าวในทางปฏิบัติบางครั้งสามารถประมาณได้ง่ายกว่าแต่ไม่เคร่งครัด สูตรดังกล่าวสามารถแสดงให้เห็นได้ว่า สำหรับทุกค่าของ n จะได้ ${\displaystyle (n/3)^{n}<n!}$  และสำหรับ n ≥ 6 จะได้ ${\displaystyle n!<(n/2)^{n}}$  เป็นต้น

เมื่อ n เป็นจำนวนขนาดใหญ่ เรามีวิธีการประมาณค่า n! ที่ดีกว่าโดยใช้การประมาณของสเตอร์ลิง (Stirling's approximation)

${\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ 

ในความเป็นจริง สำหรับทุกค่าของ n สูตรดังกล่าวสามารถพิสูจน์ได้ว่า

${\displaystyle n!>{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ 

การประมาณค่า log n! ที่ดีกว่าอีกสูตรหนึ่ง กำหนดไว้โดย ศรีนิวาสะ รามานุจัน ดังนี้

${\displaystyle \log n!\approx n\log n-n+{\frac {\log(n(1+4n(1+2n)))}{6}}+{\frac {\log(\pi )}{2}}}$ 

การขยายแฟกทอเรียลไปยังอาร์กิวเมนต์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม

ฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันพาย

ดูบทความหลักที่: ฟังก์ชันแกมมา

 

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลที่วางนัยทั่วไปบนจำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ ตัวอย่าง 0! = 1! = 1, (−0.5)! = √π, (0.5)! = √π/2

นอกเหนือจากจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบแล้ว ฟังก์ชันแฟกทอเรียลสามารถนิยามให้กับค่าอื่นที่ไม่เป็นจำนวนเต็มได้ แต่การทำเช่นนี้จำเป็นต้องใช้เครื่องเครื่องมือขั้นสูงจากคณิตวิเคราะห์ ฟังก์ชันอันหนึ่งที่ "เติมเต็ม" ค่าต่าง ๆ ของแฟกทอเรียล (แต่มีค่าเลื่อนไป 1 ในอาร์กิวเมนต์) เรียกว่าฟังก์ชันแกมมา (Gamma function) เขียนแทนด้วย Γ(z) ซึ่งนิยามบนจำนวนเชิงซ้อน z ทุกจำนวนยกเว้นจำนวนเต็มลบ และส่วนจริงของ z เป็นจำนวนบวก ดังนี้

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$ 

ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันแกมมากับแฟกทอเรียลเมื่อ n เป็นจำนวนธรรมชาติ เป็นดังนี้

${\displaystyle n!=\Gamma (n+1)\,}$ 

สูตรดั้งเดิมของออยเลอร์สำหรับนิยามฟังก์ชันแกมมาคือ

${\displaystyle \Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{z}n!}{\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(z+k)}}}$ 

ยังมีสัญกรณ์อีกอย่างหนึ่งซึ่งเกาส์เป็นผู้คิดค้นและบางครั้งก็ถูกใช้เช่นกัน นั่นคือ ฟังก์ชันพาย (Pi function) เขียนแทนด้วย Π(z) นิยามไว้สำหรับจำนวนจริง z ที่ไม่น้อยกว่า 0 ดังนี้

${\displaystyle \Pi (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t}$ 

หากเทียบกับฟังก์ชันแกมมาจะได้ว่า

${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)\,}$ 

ฟังก์ชันพายเป็นการขยายแนวคิดแฟกทอเรียลอย่างแท้จริงดังนี้

${\displaystyle \Pi (n)=n!{\text{ for }}n\in \mathbf {N} \,}$ 

ยิ่งไปกว่านี้ ฟังก์ชันพายมีการเวียนเกิดเหมือนกับแฟกทอเรียล แต่ใช้กับจำนวนเชิงซ้อน z ทุกจำนวนที่นิยาม

${\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)\,}$ 

โดยข้อเท็จจริงความสัมพันธ์เวียนเกิดไม่มีอีกต่อไปแล้ว เว้นแต่ในสมการเชิงฟังก์ชัน เมื่อแสดงในพจน์ของฟังก์ชันแกมมา สมการดังกล่าวจะเปลี่ยนเป็น

${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)\,}$ 

เนื่องจากแฟกทอเรียลถูกขยายโดยฟังก์ชันพาย สำหรับจำนวนเชิงซ้อน z ทุกจำนวนที่นิยาม เราจึงสามารถเขียนว่า

${\displaystyle z!=\Pi (z)\,}$ 

ค่าของฟังก์ชันเหล่านี้ที่จำนวนเต็มครึ่ง (half-integer) สามารถพิจารณาได้จากสูตรต่อไปนี้ โดยพื้นฐานเราทราบว่า

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=\left(-{\frac {1}{2}}\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$ 

เมื่อ n เป็นจำนวนธรรมชาติ จะได้สูตร

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}+n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}+n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{2k-1 \over 2}={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={(2n-1)! \over 2^{2n-1}(n-1)!}{\sqrt {\pi }}}$ 

ตัวอย่าง

${\displaystyle \Gamma \left(4.5\right)=3.5!=\Pi \left(3.5\right)={1 \over 2}\cdot {3 \over 2}\cdot {5 \over 2}\cdot {7 \over 2}{\sqrt {\pi }}={8! \over 4^{4}4!}{\sqrt {\pi }}={7! \over 2^{7}3!}{\sqrt {\pi }}={105 \over 16}{\sqrt {\pi }}\approx 11.63}$ 

และอีกสูตรหนึ่ง

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)=\left(-{\frac {1}{2}}-n\right)!=\Pi \left(-{\frac {1}{2}}-n\right)={\sqrt {\pi }}\prod _{k=1}^{n}{2 \over 1-2k}={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}}$ 

ตัวอย่าง

${\displaystyle \Gamma \left(-2.5\right)=(-3.5)!=\Pi \left(-3.5\right)={2 \over -1}\cdot {2 \over -3}\cdot {2 \over -5}{\sqrt {\pi }}={(-4)^{3}3! \over 6!}{\sqrt {\pi }}=-{8 \over 15}{\sqrt {\pi }}\approx -0.9453}$ 

ฟังก์ชันพายไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่ขยายแฟกทอเรียล ไปเป็นฟังก์ชันสำหรับจำนวนเชิงซ้อนเกือบทุกจำนวน และไม่ได้เป็นเพียงฟังก์ชันเดียวที่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ (analytic function) เมื่อใดก็ตามที่มันถูกนิยาม แต่ไม่ว่าด้วยเหตุผลอันใด ฟังก์ชันพายมักเป็นตัวแทนโดยปริยายเมื่อต้องการหาค่าแฟกทอเรียลของจำนวนเชิงซ้อน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทบอร์-โมลเลอรัประบุว่า ฟังก์ชันแกมมาเป็นฟังก์ชันเดียวที่รับค่า 1 แล้วให้ผลลัพธ์เป็น 1, สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน Γ(n + 1) = nΓ(n), เป็นฟังก์ชันมีโรมอร์ฟิก (meromorphic function) บนจำนวนเชิงซ้อน, และเป็นฟังก์ชันคอนเวกซ์เชิงลอการิทึม (logarithmically convex function) บนแกนจำนวนจริงบวก เงื่อนไขที่คล้ายกันนี้ก็ปรากฏในฟังก์ชันพาย โดยเปลี่ยนสมการเชิงฟังก์ชันเป็น Π(n) = nΠ(n − 1)

อย่างไรก็ตาม ก็ยังมีฟังก์ชันเชิงซ้อนอื่นที่เรียบง่ายกว่าฟังก์ชันวิเคราะห์และสอดแทรกแฟกทอเรียลเข้าไป ตัวอย่างเช่น "ฟังก์ชันแกมมา" ของฌัก อาดามาร์ (Jacques Hadamard) ต่างจากฟังก์ชันแกมมาปรกติตรงที่มันเป็นฟังก์ชันทั่ว (entire function)

ออยเลอร์ยังได้สร้างสูตรสำหรับการประมาณค่าด้วยผลคูณลู่เข้าสำหรับแฟกทอเรียลที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม ซึ่งเทียบเท่ากับสูตรของฟังก์ชันแกมมาที่ได้กล่าวไว้แล้ว

${\displaystyle {\begin{aligned}n!=\Pi (n)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n}\!\!{\frac {k}{n+k}}\\&=\left[\left({\frac {2}{1}}\right)^{n}{\frac {1}{n+1}}\right]\left[\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}{\frac {2}{n+2}}\right]\left[\left({\frac {4}{3}}\right)^{n}{\frac {3}{n+3}}\right]\cdots \end{aligned}}}$ 

อย่างไรก็ดี สูตรนี้ไม่ได้ให้วิธีการคำนวณเชิงปฏิบัติของฟังก์ชันพายหรือฟังก์ชันแกมมา เนื่องด้วยอัตราการลู่เข้าของมันนั้นช้า

การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันแกมมา

ปริมาตรของทรงกลม n มิติที่มีรัศมี R หน่วย คำนวณได้จากสูตร

${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ((n/2)+1)}}R^{n}}$ 

ฟังก์ชันที่มีลักษณะคล้ายกับแฟกทอเรียล

มัลติแฟกทอเรียล

มัลติแฟกทอเรียล เป็นฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูปแบบ n!, n!! หรือมีเครื่องหมายแฟกทอเรียลมากกว่านั้น

n!! หมายถึง ดับเบิลแฟกทอเรียล ของ n ซึ่งนิยามโดย

${\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{if }}n=0{\mbox{ or }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{if }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}$ 

ตัวอย่างเช่น 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 and 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945 ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียล สำหรับ n = 0, 1, 2,... ได้แก่

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

จากนิยามดังกล่าวทำให้สามารถหาดับเบิลแฟกทอเรียลของจำนวนเต็มลบได้คือ

${\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}}$ 

ลำดับของดับเบิลแฟกทอเรียลสำหรับ n = -1, -3, -5, -7,... คือ

1, -1, 1/3, -1/15, ...

เอกลักษณ์ของดับเบิลแฟกทอเรียลได้แก่

${\displaystyle n!=n!!(n-1)!!\,}$ 

${\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!\,}$ 

${\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}$ 

${\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{(2n-1)!! \over 2^{n}}}$ 

${\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{n!! \over 2^{(n+1)/2}}}$ 

ฟังก์ชันมัลติแฟกทอเรียลอื่นๆ ที่มีเครื่องหมายแฟกทอเรียล k เครื่องหมาย มีนิยามโดย

${\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{if }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}$ 

ซูเปอร์แฟกทอเรียล

ซูเปอร์แฟกทอเรียล มีรูปแบบคือ

${\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}$ 

เช่น ซูเปอร์แฟกทอเรียลของ 4 คือ

${\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288\,}$ 

อ้างอิง

1. Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, p. 111
2. N. L. Biggs, The roots of combinatorics, Historia Math. 6 (1979) 109−136
3. Higgins, Peter (2008), Number Story: From Counting to Cryptography, New York: Copernicus, p. 12, ISBN 978-1-84800-000-1 says Krempe though.
4. Ramanujan, Srinivasa (1988), The lost notebook and other unpublished papers, Springer Berlin, p. 339, ISBN 354018726X
5. Hadamard, M. J. (1894), Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF) (ภาษาฝรั่งเศส), OEuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968
6. Peter Luschny, Hadamard versus Euler - Who found the better Gamma function?.