ผลรวม

ในทางคณิตศาสตร์ ผลรวม (อังกฤษ: summation) หมายถึงการบวกของเซตของจำนวน ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น ผลบวก (sum, total) จำนวนที่กล่าวถึงอาจเป็นจำนวนธรรมชาติ จำนวนเชิงซ้อน เมตริกซ์ หรือวัตถุอื่นที่ซับซ้อนกว่านั้น ผลรวมไม่จำกัดของลำดับเรียกว่าเป็นอนุกรม

สัญกรณ์

ผลรวมของลำดับ 1, 2, 4 คือ 1 + 2 + 4 = 7 ดังนั้นผลบวกก็คือ 7 และเนื่องจากการบวกมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จึงไม่สำคัญที่จะแปลผล 1 + 2 + 4 ว่าเป็น (1 + 2) + 4 หรือ 1 + (2 + 4) เพราะถึงอย่างไรก็ให้ผลลัพธ์เหมือนกัน ดังนั้นเครื่องหมายวงเล็บจึงมักจะถูกละทิ้งในการเขียนผลรวม นอกจากนั้นการบวกจำนวนจำกัดมีสมบัติการสลับที่ จึงทำให้ลำดับในการบวกจำนวนก่อนหรือหลังก็ไม่ส่งผลต่อผลบวกสุดท้าย (สำหรับสมบัติการสลับที่ของการบวกจำนวนไม่จำกัด ดูเพิ่มที่การลู่เข้าสัมบูรณ์)

ถ้าหากผลรวมหนึ่งๆ มีพจน์มากเกินไปเกินกว่าจะเขียนให้แยกออกจากกัน มักจะย่อด้วยจุดไข่ปลาตรงตำแหน่งพจน์ที่หายไป ตัวอย่างเช่น ผลรวมของจำนวนธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 100 เขียนได้เป็น 1 + 2 + … + 99 + 100 = 5050

สัญกรณ์ซิกมาตัวใหญ่

คณิตศาสตร์มีสัญกรณ์พิเศษมาใช้เพื่อที่จะเขียนผลรวมให้กะทัดรัดมากขึ้น นั่นคือ สัญลักษณ์ผลรวม ∑ (U+2211) โดยยืมมาจากอักษรกรีกซิกมาตัวใหญ่ Σ ซึ่งนิยามการใช้ไว้ว่า

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}}$ 

ตัวห้อยที่อยู่ข้างล่าง i เป็นสัญลักษณ์แทนดัชนีของผลรวม m คือขอบเขตล่างของผลรวม และ n คือขอบเขตบนของผลรวม การที่กำหนดให้ i = m หมายความว่าดัชนี i เริ่มตั้งแต่ค่าที่เท่ากับ m พจน์ถัดไปจะถูกสร้างขึ้นโดยเพิ่มค่า i ขึ้นไปทีละหนึ่งของค่าก่อนหน้า และหยุดเมื่อ i = n เราสามารถใช้ตัวแปรอื่นแทน i ก็ได้ เช่น

${\displaystyle \sum _{k=2}^{6}k^{2}=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=90}$ 

ถึงแม้ว่าชื่อของตัวแปรดัชนีจะไม่มีความสำคัญ เรามักจะใช้อักษรละตินช่วงกลาง (i ไปถึง q) เพื่อใช้แสดงจำนวนเต็มถ้าหากเกิดความสับสนขึ้น

บางครั้งเราอาจพบการเขียนแบบไม่เป็นทางการ โดยการตัดดัชนีและขอบเขตของผลรวมออกไป เมื่อสิ่งเหล่านี้ได้อธิบายไว้อย่างชัดเจนแล้วในบริบท เช่น

${\displaystyle \sum x_{i}^{2}}$  จะมีความหมายเทียบเท่ากับ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}$ 

หรืออาจพบรูปแบบการใส่เงื่อนไขทางตรรกะลงไปแทน ซึ่งผลรวมนั้นตั้งใจที่จะบวกค่าที่ตรงตามเงื่อนไขเข้าด้วยกันทั้งหมด ตัวอย่างเช่น

${\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$ 

คือผลรวมของ f (k) บนทุกจำนวนเต็ม k ที่อยู่ในช่วงดังกล่าว

${\displaystyle \sum _{x\in S}f(x)}$ 

คือผลรวมของ f (x) บนทุกสมาชิก x ในเซต S และ

${\displaystyle \sum _{d|n}\;\mu (d)}$ 

คือผลรวมของ μ (d) บนทุกจำนวนเต็ม d ที่หาร n ได้ลงตัว เป็นต้น

นอกจากนี้ก็ยังมีอีกทางหนึ่งเพื่อนำเสนอแทนการใช้สัญลักษณ์ผลรวมจำนวนมาก เราอาจยุบเข้าด้วยกันได้ เช่น

${\displaystyle \sum _{\ell ,\ell '}}$  จะมีความหมายเหมือนกับ ${\displaystyle \sum _{\ell }\sum _{\ell '}}$ 

สัญกรณ์ภาษาโปรแกรม

ในภาษาโปรแกรมบางภาษาใช้สัญกรณ์อย่างย่อแทนผลรวมคล้ายกับสัญกรณ์คณิตศาสตร์ อย่างเช่นภาษาไพทอน

sum (x[m:n+1]) 

ภาษาฟอร์แทรนและแมตแล็บ

sum (x(m:n)) 

ภาษาเจ

+/x 

ส่วนในภาษาอื่นๆ ที่ไม่มีสัญกรณ์แทนผลรวม ก็ต้องเขียนเป็นการวนรอบแทน เช่นภาษาวิชวลเบสิก/วีบีสคริปต์

Sum = 0 For I = M To N Sum = Sum + X (I) Next I 

หรือภาษาซี/ซีพลัสพลัส/ซีชาร์ป/จาวา สมมติว่าตัวแปรที่เกี่ยวข้องถูกกำหนดค่าแล้ว

int i; int sum = 0; for (i = m; i <= n; i++) { sum += x[i]; } 

ในบางกรณี การวนรอบก็สามารถย่อให้สั้นลงได้ อย่างเช่นภาษาเพิร์ล

$sum = 0; $sum += $x[$_] for ($m..$n) ; 

ภาษารูบี

x[m..n].inject{|a,b| a+b} x[m..n].inject (0) {|a,b| a+b} 

สำหรับภาษาซีพลัสพลัส สามารถเรียกใช้ฟังก์ชันจากไลบรารีมาตรฐานได้

std::accumulate (&x[m], &x[n + 1], 0) 

สังเกตว่าตัวอย่างข้างต้นจะเริ่มต้นด้วยการกำหนดให้ตัวแปรผลบวกเป็น 0 ซึ่งเป็นสมาชิกเอกลักษณ์สำหรับการบวก แต่บางภาษาจะกำหนดให้โดยอัตโนมัติ และค่ากลับคืนของตัวอย่างทั้งหมดข้างต้น จะได้เป็นสเกลาร์ค่าหนึ่ง

กรณีพิเศษ

มีความเป็นไปได้ที่ผลรวมจะประกอบขึ้นจากสมาชิกน้อยกว่า 2 ตัว

• ถ้าผลรวมมีพจน์เดียวคือ x ดังนั้นผลบวกก็เท่ากับ x กรณีนี้จะเกิดเมื่อ m = n ตามนิยามข้างบน
• ถ้าผลรวมไม่มีพจน์ใดอยู่เลย ดังนั้นผลบวกก็เท่ากับ 0 เพราะว่า 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก ผลรวมชนิดนี้เรียกว่า ผลรวมว่าง กรณีนี้จะเกิดเมื่อ m > n หรือไม่มีสมาชิกใดตรงตามเงื่อนไขที่ระบุในผลรวม

การประมาณค่าด้วยปริพันธ์

การประมาณค่าของผลรวม สามารถคำนวณได้จากความสัมพันธ์ระหว่างผลรวมกับปริพันธ์ต่อไปนี้ สำหรับฟังก์ชันเพิ่ม f

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds}$ 

และฟังก์ชันลด f

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds}$ 

ส่วนการประมาณค่าแบบทั่วไป ดูได้ที่ สูตรออยเลอร์-แมคลอริน (Euler-Maclaurin formula)

สำหรับฟังก์ชัน f ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในช่วง [a, b] ค่าของปริพันธ์สามารถประมาณค่าได้ด้วยผลบวกรีมันน์ (Riemann sum) ตัวอย่างเช่น สูตรต่อไปนี้คือผลบวกรีมันน์ข้างซ้ายที่แบ่งช่วงเป็น n ส่วนเท่ากัน

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx}$ 

ซึ่งการประมาณค่านี้จะแม่นยำมากขึ้น เมื่อ n มีค่ามากขึ้น (ถูกแบ่งเป็นส่วนมากขึ้น) จนเข้าใกล้อนันต์

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)=\int _{a}^{b}f(x)\ dx}$ 

เอกลักษณ์

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นเอกลักษณ์ที่เกี่ยวกับผลรวมที่สำคัญ

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)}$  เมื่อ C เป็นค่าคงตัว (ดูเพิ่มที่การคูณสเกลาร์)

${\displaystyle \sum _{i=s}^{n}f(C)=(n-s+1)f(C)}$  เมื่อ C เป็นค่าคงตัว

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]}$ 

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)}$ 

${\displaystyle \sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(n)}$ 

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x=(n-m+1)x}$ 

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x=nx}$  เป็นนิยามของการคูณ เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นตัวคูณของ x

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}i={\frac {(n-m+1)(n+m)}{2}}}$  (ดูเพิ่มที่อนุกรมเลขคณิต)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {(n)(n+1)}{2}}}$  (กรณีพิเศษของอนุกรมเลขคณิต)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}}$ 

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]^{2}}$ 

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}}$ 

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1}}$  เมื่อ ${\displaystyle B_{k}}$  เป็นจำนวนแบร์นูลลีตัวที่ k

---

${\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-x^{m}}{x-1}}}$  (ดูเพิ่มที่อนุกรมเรขาคณิต)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}x^{i}={\frac {x^{n+1}-1}{x-1}}}$  (กรณีพิเศษของสูตรก่อนหน้านี้ เมื่อ m = 0)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i2^{i}=2+2^{n+1}(n-1)}$ 

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {i}{2^{i}}}={\frac {2^{n+1}-n-2}{2^{n}}}}$ 

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}ix^{i}={\frac {x}{(1-x)^{2}}}(x^{n}(n(x-1)-1)+1)}$ 

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}x^{i}={\frac {x}{(1-x)^{3}}}(1+x-(n+1)^{2}x^{n}+(2n^{2}+2n-1)x^{n+1}-n^{2}x^{n+2})}$ 

---

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}}$  (ดูเพิ่มที่สัมประสิทธิ์ทวินาม)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{i \choose k}={n \choose k+1}}$ 

${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}\right)\left(\sum _{j}b_{j}\right)=\sum _{i}\sum _{j}a_{i}b_{j}}$ 

---

${\displaystyle \left(\sum _{i}a_{i}\right)^{2}=2\sum _{i}\sum _{j<i}a_{i}a_{j}+\sum _{i}a_{i}^{2}}$ 

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=b}^{a}f(n)}$ 

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=-t}^{-s}f(-n)}$ 

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(2n)+\sum _{n=0}^{t}f(2n+1)=\sum _{n=0}^{2t+1}f(n)}$ 

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}f(z\cdot n+i)=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}f(n)}$ 

${\displaystyle {\widehat {b}}^{\left[\sum _{n=s}^{t}f(n)\right]}=\prod _{n=s}^{t}{\widehat {b}}^{f(n)}}$  (ดูเพิ่มที่ผลคูณของอนุกรม)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\ln f(n)=\ln \prod _{n=s}^{t}f(n)}$ 

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\sum _{n=a}^{t}f(n)=\sum _{n=a}^{\infty }f(n)}$  (ดูเพิ่มที่ลิมิตอนันต์)

${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}}$  สำหรับการกระจายทวินาม

${\displaystyle \sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b}{n^{2}-b^{2}}}=\sum _{n=1}^{2b}{\frac {1}{2n}}}$ 

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}f_{i}(x)\right)^{\prime }=\sum _{i=1}^{n}f_{i}^{\prime }(x)}$ 

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{i=0}^{n}f\left(a+{\frac {b-a}{n}}i\right)\cdot {\frac {b-a}{n}}=\int _{a}^{b}f(x)dx}$ 

อัตราการเติบโต

ตัวอย่างต่อไปนี้เป็นการประมาณค่าอัตราการเติบโต โดยใช้สัญกรณ์ทีตา

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}=\Theta (n^{c+1})}$  สำหรับจำนวนจริง c ที่มากกว่า −1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=\Theta (\log n)}$ 

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}=\Theta (c^{n})}$  สำหรับจำนวนจริง c ที่มากกว่า 1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}=\Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$  สำหรับจำนวนจริง c ที่ไม่เป็นลบ

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}=\Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$  สำหรับจำนวนจริง c, d ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}=\Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$  สำหรับจำนวนจริง b > 1, c, d ที่ไม่เป็นลบทั้งหมด

ดูเพิ่ม

• สัญกรณ์ไอน์สไตน์
• ผลรวมตรวจสอบ (checksum)
• ผลคูณ

แหล่งข้อมูลอื่น

• Nicholas J. Higham, "The accuracy of floating point summation", SIAM J. Scientific Computing 14 (4), 783–799 (1993).