เอกลักษณ์การบวก

ในทางคณิตศาสตร์ เอกลักษณ์การบวก ของเซตที่มีการดำเนินการของการบวก คือสมาชิกในเซตที่บวกกับสมาชิก x ใดๆ แล้วได้ x เอกลักษณ์การบวกตัวหนึ่งที่เป็นที่คุ้นเคยมากที่สุดคือจำนวน 0 จากคณิตศาสตร์มูลฐาน แต่เอกลักษณ์การบวกก็สามารถมีในโครงสร้างทางคณิตศาสตร์อื่นๆ ที่นิยามการบวกเอาไว้ เช่นในกรุปหรือริง

นิยามทั่วไป

ให้ N เป็นเซตที่มีคุณสมบัติปิดภายใต้การดำเนินการของการบวก ซึ่งเขียนแทนด้วยเครื่องหมาย +

เอกลักษณ์การบวกของ N คือ สมาชิก e ที่ทำให้เงื่อนไขนี้เป็นจริง สำหรับทุกสมาชิก n ในเซต N

e + n = n = n + e

ตัวอย่าง

• เอกลักษณ์การบวกในคณิตศาสตร์มูลฐานคือศูนย์ เขียนแทนด้วย 0 จะได้ว่า

0 + 5 = 5 = 5 + 0

• ในจำนวนธรรมชาติรวมไปถึงซูเปอร์เซต (เช่นจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน) มีเอกลักษณ์การบวกคือ 0 ดังนั้นสำหรับจำนวน n ใดๆ

0 + n = n = n + 0

• ในกรุปหนึ่งๆ เอกลักษณ์การบวกคือสมาชิกเอกลักษณ์ของกรุปนั้น ซึ่งมักจะแทนด้วย 0 และมีเพียงค่าเดียว (ดูการพิสูจน์ด้านล่าง)
• ในริงหรือฟีลด์หนึ่งๆ เป็นกรุปที่อยู่ภายใต้การดำเนินการของการบวก ดังนั้นริงหรือฟีลด์นั้นจึงมีเอกลักษณ์การบวกเป็น 0 เช่นกัน ซึ่งสิ่งนี้ถูกนิยามไว้ให้แตกต่างจากเอกลักษณ์การคูณ 1 เมื่อริง (หรือฟีลด์) นั้นมีสมาชิกมากกว่าหนึ่งตัว แต่ถ้าเอกลักษณ์การบวกกับเอกลักษณ์การคูณคือตัวเดียวกัน ริงนั้นจะเรียกว่ามีภาวะชัด (trivial) (ดูการพิสูจน์ด้านล่าง)
• ในกรุปของเมทริกซ์มิติ m×n เหนือกรุป G หรือเขียนแทนด้วย M_m×n(G) เอกลักษณ์การบวกจะเขียนแทนด้วย 0 และเมทริกซ์ที่ประกอบด้วยสมาชิกเอกลักษณ์ใน G ทั้งหมด (นั่นคือ 0) ดังตัวอย่าง ในเมทริกซ์มิติ 2×2 เหนือเซตของจำนวนเต็ม M_2×2(Z) เอกลักษณ์การบวกของเมทริกซ์นี้คือ

${\displaystyle \mathbf {0} ={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}}$ 

การพิสูจน์

เอกลักษณ์การบวกมีเพียงหนึ่งเดียวในกรุป

กำหนดให้ (G, +) เป็นกรุปหนึ่ง และให้ 0 กับ 0' ในเซต G เป็นตัวแทนของเอกลักษณ์การบวก ดังนั้นสำหรับสมาชิก g ใดๆ ในเซต G

0 + g = g = g + 0 และ

0' + g = g = g + 0'

ซึ่งสามารถทำให้

0 + (0') = (0') = (0') + 0

จะได้ว่า 0 = 0' นั่นคือ 0 กับ 0' คือค่าเดียวกัน

เอกลักษณ์การบวกและเอกลักษณ์การคูณ แตกต่างกันในริงที่ไม่อยู่ในภาวะชัด

กำหนดให้ R คือริงหนึ่ง และสมมติให้เอกลักษณ์การบวก 0 กับเอกลักษณ์การคูณ 1 มีค่าเท่ากัน นั่นคือ 0 = 1 ดังนั้นสำหรับสมาชิก r ใดๆ ในริง R

r = r × 1 = r × 0 = 0

พิสูจน์ได้ว่า R มีภาวะชัด (trivial) นั่นคือ R = {0} (มีสมาชิกเพียงตัวเดียวคือ 0) ในทางกลับกันจะได้ว่า เมื่อ R ไม่อยู่ในภาวะชัด ดังนั้น 0 จะไม่เท่ากับ 1 หมายความว่าเอกลักษณ์การบวกและเอกลักษณ์การคูณไม่เท่ากันนั่นเอง

อ้างอิง

• David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra, Wiley (3d ed.): 2003, ISBN 0-471-43334-9

ดูเพิ่ม

• ตัวผกผันการบวก (อินเวิร์สการบวก)
• สมาชิกเอกลักษณ์
• เอกลักษณ์การคูณ

แหล่งข้อมูลอื่น

• uniqueness of additive identity in a ring at PlanetMath
• Margherita Barile, "Additive Identity" จากแมทเวิลด์.