เวกเตอร์สี่มิติ

ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ เวกเตอร์สี่มิติ (four-vector) เป็นเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ของจำนวนจริงใน 4 มิติ ซึ่งปริภูมิเวกเตอร์ดังกล่าวรู้จักกันในนาม ปริภูมิมิงคอฟสกี (Minkowski space)

ภายใต้การแปลงพิกัด (coordinate transformation) เช่น การหมุนใน 3 มิติ (spatial rotations) และ การบูสต์ (boosts) (การเปลี่ยนจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยเดิมไปสู่กรอบอ้างอิงเฉื่อยใหม่ที่มีความเร็วคงที่สัมพัทธ์กัน) องค์ประกอบ (components) ของเวกเตอร์สี่มิติจะมีการแปลงเช่นเดียวกับพิกัดอวกาศและเวลา ${\displaystyle \left(t,x,y,z\right)}$

เซ็ตของการหมุนและการบูสต์ดังกล่าว เรียกรวมๆ ว่า การแปลงโลเร็นตซ์ (Lorentz transformations) ประกอบกันเป็น กรุ๊ปโลเร็นตซ์ (Lorentz group) และบรรยายโดยเมทริกซ์ ${\displaystyle 4\times 4}$

Vector 4 หรือ มิติที่สี่ จะมีกลิ่น

คณิตศาสตร์ของเวกเตอร์สี่มิติ

จุดในปริภูมิมิงคอฟสกีถูกเรียกว่า เหตุการณ์ (event) และถูกบรรยายด้วย เวกเตอร์ระบุตำแหน่งสี่มิติ (position four-vector) กำหนดโดย

${\displaystyle {\mathsf {x}}:=\left(x^{\mu }\right)=\left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=\left(ct,x,y,z\right)}$ 

สำหรับ ${\displaystyle \left.\mu =0,1,2,3\right.}$  เมื่อ ${\displaystyle \left.c\right.}$  เป็นอัตราเร็วแสงในสุญญากาศ (speed of light)

ผลคูณภายใน (inner product) ของเวกเตอร์สี่มิติ ${\displaystyle {\mathsf {x}}}$  กับ ${\displaystyle {\mathsf {y}}}$  ถูกกำหนดโดย (ใช้ Einstein notation)

${\displaystyle {\mathsf {x}}\cdot {\mathsf {y}}}$	${\displaystyle \equiv x^{\mu }\eta _{\mu \nu }y^{\nu }=\left({\begin{matrix}x^{0}&x^{1}&x^{2}&x^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}y^{0}\\y^{1}\\y^{2}\\y^{3}\end{matrix}}\right)}$
	${\displaystyle =\left.-x^{0}y^{0}+x^{1}y^{1}+x^{2}y^{2}+x^{3}y^{3}\right.}$

เมื่อ ${\displaystyle \left.\eta \right.}$  เป็น เมตริกมิงคอฟสกี (Minkowski metric) บางครั้งก็เรียกผลคูณภายในนี้ว่า ผลคูณภายในมิงคอฟสกี (Minkowski inner product)

เวกเตอร์สี่มิติอาจถูกจำแนกออกเป็น 3 ประเภทคือ สเปซไลค์ (spacelike) ไทม์ไลค์ (timelike) และ นัล (lightlike หรือ null)

โดยเวกเตอร์สี่มิติแบบ สเปซไลค์ (spacelike 4-vector) ไทม์ไลค์ (timelike 4-vector) และ นัล (lightlike 4-vector หรือ null 4-vector) จะมีผลคูณภายในมากกว่าศูนย์, น้อยกว่าศูนย์ และเท่ากับศูนย์ ตามลำดับ

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาพลศาสตร์

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{\gamma }}}$ 

เมื่อ ${\displaystyle \left.\gamma \right.}$  คือแฟกเตอร์แกมมา (gamma factor) ของทฤษฎีสัมพัทธภาพ บางทีก็เรียกว่าแฟกเตอร์โลเร็นตซ์ (Lorentz factor)

เวกเตอร์สี่มิติที่สำคัญๆ ในทฤษฎีสัมพัทธภาพ ก็เช่น เวกเตอร์ความเร็วสี่มิติ (four-velocity) ถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle {\mathsf {U}}:={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}{\mathsf {x}}={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\;{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\mathsf {x}}=\left(\gamma c,\gamma \mathbf {u} \right)}$ 

หรือ

${\displaystyle \left(U^{\mu }\right):={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left(x^{\mu }\right)={\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} \tau }}\;{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(x^{\mu }\right)=\left(\gamma c,\gamma u^{i}\right)}$ 

เมื่อ

${\displaystyle u^{i}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}}$ 

สำหรับ ${\displaystyle \left.i=1,2,3\right.}$  สังเกตว่า

${\displaystyle {\mathsf {U}}\cdot {\mathsf {U}}:=U^{\mu }U_{\mu }=-c^{2}}$ 

เวกเตอร์ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration) ถูกกำหนดโดย:

${\displaystyle {\mathsf {A}}:={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}{\mathsf {U}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}{\mathsf {x}}=\left(\gamma {\dot {\gamma }}c,\gamma {\dot {\gamma }}\mathbf {u} +\gamma ^{2}\mathbf {\dot {u}} \right)}$ 

หรือ

${\displaystyle \left(A^{\mu }\right):={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left(U^{\mu }\right)={\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}\left(x^{\mu }\right)=\left(\gamma {\dot {\gamma }}c,\gamma {\dot {\gamma }}u^{i}+\gamma ^{2}{\dot {u}}^{i}\right)}$ 

สังเกตว่าเวกเตอร์ความเร่งสี่มิติตั้งฉากกับเวกเตอร์ความเร็วสี่มิติคือ ${\displaystyle {\mathsf {A}}\perp {\mathsf {U}}}$ 

${\displaystyle {\mathsf {A}}\cdot {\mathsf {U}}:=A^{\mu }U_{\mu }=0}$ 

เวกเตอร์โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum) ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle {\mathsf {P}}:=m{\mathsf {U}}=\left(\gamma mc,\gamma m\mathbf {u} \right)=\left(\gamma mc,\mathbf {p} \right)}$ 

หรือ

${\displaystyle \left(P^{\mu }\right):=m\left(U^{\mu }\right)=\left(\gamma mc,\gamma mu^{i}\right)=\left(\gamma mc,p^{i}\right)}$ 

เมื่อ ${\displaystyle \left.m\right.}$  คือมวลของอนุภาค และ ${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma m\mathbf {u} }$  คือโมเมนตัมของอนุภาค

เวกเตอร์แรงสี่มิติ (four-force) ถูกกำหนดโดย

${\displaystyle {\mathsf {F}}:={\frac {\mathrm {d} {\mathsf {P}}}{\mathrm {d} \tau }}=m{\mathsf {A}}=\left(\gamma {\dot {\gamma }}mc,\gamma \mathbf {f} \right)}$ 

หรือ

${\displaystyle \left(F^{\mu }\right):={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \tau }}\left(P^{\mu }\right)=m\left(A^{\mu }\right)=\left(\gamma {\dot {\gamma }}mc,\gamma \mathbf {f} \right)}$ 

เมื่อ

${\displaystyle \mathbf {f} \equiv m{\dot {\gamma }}\mathbf {u} +m\gamma \mathbf {\dot {u}} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\gamma m\mathbf {u} )={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$ 

เป็นแรงที่กระทำต่ออนุภาค

Deriving E = mc²

เราสามารถเขียนสมการของพลังงานทั้งหมดของอนุภาคได้ดังต่อไปนี้ พลังงานจลน์ (K) ของอนุภาคนิยามในแบบคลาสิกได้ดังนี้

${\displaystyle {\frac {dK}{dt}}=\mathbf {f} \cdot \mathbf {u} }$ 

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า

ตัวอย่างของเวกเตอร์สี่มิติในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า (Electromagnetism) เช่น

เวกเตอร์ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current) กำหนดโดย

${\displaystyle {\mathsf {J}}:=\left(J^{\mu }\right)=\left(\rho c,\mathbf {j} \right)}$ 

ซึ่งสร้างจาก ความหนาแน่นกระแส (current density) ${\displaystyle \mathbf {j} }$  และ ความหนาแน่นประจุ (charge density) ${\displaystyle \left.\rho \right.}$ 

เวกเตอร์ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential) กำหนดโดย

${\displaystyle {\mathsf {A}}:=\left(A^{\mu }\right)=\left({\frac {\varphi }{c}},\mathbf {A} \right)}$ 

ซึ่งสร้างจาก ศักย์เวกเตอร์ (vector potential) ${\displaystyle \mathbf {A} }$  และ ศักย์สเกลาร์ (scalar potential) ${\displaystyle \varphi }$ 

คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าระนาบ (plane electromagnetic wave) สามารถบรรยายได้โดย เวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) ดังนี้

${\displaystyle {\mathsf {N}}:=\left(N^{\mu }\right)=\left(\nu ,\nu {\hat {\mathbf {n} }}\right)}$ 

เมื่อ ${\displaystyle \left.\nu \right.}$  เป็นความถี่ (frequency) ของคลื่น และ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$  เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยซึ่งชี้ในทิศการเคลื่อนที่ของคลื่น สังเกตว่า

${\displaystyle {\mathsf {N}}\cdot {\mathsf {N}}:=N^{\mu }N_{\mu }=\nu ^{2}\left(n^{2}-1\right)=0}$ 

ดังนั้นเวกเตอร์ความถี่สี่มิติ (four-frequency) จะมีนอร์มเป็นศูนย์เสมอ เรียกเวกเตอร์สี่มิติแบบนี้ว่า null vector

อ้างอิง

• Four-vector, วิกิพีเดีย ภาษาอังกฤษ
• Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edn.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5
• ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและเอกภพวิทยา โดย ณฤทธิ์ ปิฎกรัชต์

ดูเพิ่ม

• ความเร็วสี่มิติ (four-velocity)
• ความเร่งสี่มิติ (four-acceleration)
• โมเมนตัมสี่มิติ (four-momentum)
• แรงสี่มิติ (four-force)
• ความหนาแน่นกระแสสี่มิติ (four-current)
• ศักย์แม่เหล็กไฟฟ้าสี่มิติ (electromagnetic four-potential)