โคโดเมน

โคโดเมน (อังกฤษ: codomain) หรือ เซตเป้าหมาย (อังกฤษ: target set) ของฟังก์ชัน คือเซตซึ่งผลลัพธ์ที่ออกมาจากฟังก์ชันจะต้องตกไปอยู่ภายใต้เซตนั้น โคโดเมนของฟังก์ชัน f : X → Y คือเซต Y

โคโดเมนของฟังก์ชัน f : X → Y คือเซต Y (สีน้ำเงิน)

โคโดเมนเป็นส่วนหนึ่งของการนิยามฟังก์ชันรูปแบบใหม่เป็นสามสิ่งอันดับ (X, Y, F) ซึ่ง F คือเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียน X × Y เซตของสมาชิกทั้งหมดที่ทำให้เกิด f (x) โดยที่ x เป็นสมาชิกบางส่วนของ X จะเรียกว่าเป็นอิมเมจของ f ซึ่งอิมเมจของฟังก์ชันนี้จะเป็นเซตย่อยของโคโดเมน โดยไม่สำคัญว่าจะต้องมีขนาดเท่ากับโคโดเมน นั่นคือสำหรับฟังก์ชันที่ไม่เป็นฟังก์ชันทั่วถึง จะยังคงมีสมาชิก y เหลืออยู่ในโคโดเมน ซึ่งทำให้สมการ f (x) = y ไม่มีคำตอบ

รูปแบบการนิยามฟังก์ชันแบบเก่าที่ไม่ได้ระบุโคโดเมนลงไปก็ยังเป็นที่นิยมอยู่ ตัวอย่างเช่นในทฤษฎีเซต สามารถกำหนดได้ว่าโดเมนของฟังก์ชันคือคลาสแท้ X ซึ่งในกรณีดังกล่าวจะไม่มีสิ่งใดที่เหมือนสามสิ่งอันดับ (X, Y, F) และนิยามของฟังก์ชันนั้นจะไม่มีโคโดเมน ถึงแม้ว่าผู้แต่งตำราบางท่านยังคงใช้การนิยามฟังก์ชันในรูปแบบ f : X → Y อยู่เช่นเดิม

ตัวอย่าง

สำหรับฟังก์ชัน f : R → R ที่นิยามโดย f : x ↦ x² หรือเทียบเท่ากับ f (x) = x² โคโดเมนของ f คือ R แต่ f ไม่ได้ให้ผลลัพธ์เป็นจำนวนลบใด ๆ เลย ดังนั้นอิมเมจของ f คือเซต R₀⁺ นั่นคือช่วง [0, ∞)

กำหนดอีกฟังก์ชันเป็น g : R → R₀⁺ โดยที่ g : x ↦ x² ถึงแม้ว่า f และ g จะมีค่าที่ป้อนเข้าและให้ผลลัพธ์เหมือนกัน แต่ฟังก์ชันทั้งสองนี้ก็ไม่จัดว่าเหมือนกันในมุมมองแบบใหม่ เพราะต่างกันตรงที่โคโดเมนของ g คือ R₀⁺

กำหนดฟังก์ชันที่สาม h : x ↦ √x ฟังก์ชันนี้ต้องนิยามโดเมนให้เป็น R₀⁺ จึงจะสามารถใช้ได้ นั่นคือ h : R₀⁺ → R

สมมติว่าฟังก์ชันประกอบ h ∘ f กับ h ∘ g ได้ถูกนิยามขึ้นแล้ว ฟังก์ชัน h ∘ f จะไม่มีประโยชน์อันใด เพราะถ้าหากไม่นิยามให้ดีแล้ว เราจะไม่ทราบว่าอิมเมจของ f คืออะไร ทราบเพียงว่าเป็นเซตย่อยของ R นั่นคืออาจมีความเป็นไปได้ว่าเมื่อใส่อาร์กิวเมนต์บางค่าลงใน h ∘ f แล้วจะไม่ให้ผลลัพธ์ใดออกมาเลย เช่นสมาชิกจำนวนลบสามารถใส่ได้ใน f แต่ไม่นิยามใน h ฟังก์ชันประกอบจะมีประโยชน์เมื่อโคโดเมน (ไม่ใช่อิมเมจ) ของฟังก์ชันข้างขวา เป็นเซตเดียวกับโดเมนของฟังก์ชันข้างซ้าย (โคโดเมนของ f คือ R แต่โดเมนของ h คือ R₀⁺)

อ้างอิง

1. Forster, Thomas (2003), Logic, Induction and Sets, Cambridge University Press, p. 10–11, ISBN 9780521533614
2. Eccles, Peter J. (1997), An Introduction to Mathematical Reasoning: Numbers, Sets, and Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521597180; quote 1, quote 2
3. Mac Lane, Saunders (1998), Categories for the working mathematician (2nd ed.), Springer, p. 8, ISBN 978-0387984032
4. Scott, Dana S.; Jech, Thomas J. (1967), Axiomatic set theory, Symposium in Pure Mathematics, American Mathematical Society, p. 232, ISBN 978-0821802458
5. Sharma, A.K. (2004), Introduction To Set Theory, Discovery Publishing House, p. 91, ISBN 978-8171418770
6. Stewart, Ian; Tall, David Orme (1977), The foundations of mathematics, Oxford University Press, p. 89, ISBN 978-0198531654