ระยะทางแบบยุคลิด

ระยะทางแบบยุคลิด (อังกฤษ: Euclidean distance, Euclidean metric) คือระยะทางปกติระหว่างจุดสองจุดในแนวเส้นตรง ซึ่งอาจสามารถวัดได้ด้วยไม้บรรทัด มีที่มาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เหตุที่เรียกว่า แบบยุคลิด เนื่องจากเป็นการวัดระยะทางในปริภูมิแบบยุคลิด (หรือแม้แต่ปริภูมิผลคูณภายใน) คือไม่มีความโค้งและไม่สามารถทำให้โค้งงอ และการใช้สูตรนี้วัดระยะทางทำให้กลายเป็นปริภูมิอิงระยะทาง ค่าประจำ (norm) ที่เกี่ยวข้องก็จะเรียกว่าเป็น ค่าประจำแบบยุคลิด (Euclidean norm) เช่นกัน (งานเขียนสมัยก่อนเรียกการวัดอย่างนี้ว่า ระยะทางแบบพีทาโกรัส)

นิยาม

ระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุดสองจุด p และ q คือความยาวของส่วนของเส้นตรง pq ถ้า p = (p₁, p₂, …, p_n) และ q = (q₁, q₂, …, q_n) ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน เป็นจุดสองจุดบนปริภูมิยุคลิด n มิติ ระยะทางระหว่างจุด p กับ q คำนวณได้จาก

${\displaystyle \mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(p_{i}-q_{i})^{2}}}}$ 

ค่าประจำแบบยุคลิด คือระยะทางจากจุดหนึ่งจุด p ไปยังจุดกำเนิด (0, 0, …, 0) บนปริภูมิยุคลิด

${\displaystyle \|\mathbf {p} \|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}}$ 

ซึ่งสมการตัวหลังเกี่ยวข้องกับผลคูณจุด เป็นขนาดของเวกเตอร์ p จากจุดกำเนิด ระยะทางแบบยุคลิดจึงอาจนิยามได้อีกแบบหนึ่งดังนี้

${\displaystyle \|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|={\sqrt {(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\cdot (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}}={\sqrt {\|\mathbf {p} \|^{2}+\|\mathbf {q} \|^{2}-2\mathbf {p} \cdot \mathbf {q} }}}$ 

กรณีพิเศษ

ในหนึ่งมิติ ระยะทางระหว่างจุดสองจุดบนเส้นจำนวนจริงคือค่าสัมบูรณ์ของผลต่างของสองค่านั้น ดังนั้นถ้าให้ p และ q เป็นจุดสองจุด (หรือจำนวนสองจำนวน) บนเส้นจำนวนจริงแล้ว ระยะทางระหว่าง p และ q จึงคำนวณได้จาก

${\displaystyle \mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p-q)^{2}}}=|p-q|}$ 

ในสองมิติแบบยุคลิด ถ้า p = (p₁, p₂) และ q = (q₁, q₂) แล้ว ระยะทางระหว่าง p และ q สามารถคำนวณได้ดังนี้ ซึ่งมีสูตรเหมือนกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส

${\displaystyle \mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}}$ 

จากนิยามแบบที่สองของระยะทางแบบยุคลิด ถ้าหาก p = (r₁, θ₁) และ q = (r₂, θ₂) ในระบบพิกัดเชิงขั้ว จะสามารถคำนวณระยะทางได้จากสูตรนี้

${\displaystyle \|\mathbf {p} -\mathbf {q} \|={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}}$ 

ในสามมิติแบบยุคลิด ระยะทางระหว่าง p และ q ก็คือ

${\displaystyle \mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}}$ 

เมื่อมิติเพิ่มขึ้น พจน์ภายในก็เพิ่มขึ้นตามจำนวนมิติ เช่นนี้เรื่อยไป

ดูเพิ่ม

• ระยะทางแมนฮัตตัน
• ระยะทางเชบีเชฟ