เมทริกซ์เอกลักษณ์

ในพีชคณิตเชิงเส้น เมทริกซ์เอกลักษณ์ หรือ เมทริกซ์หน่วย คือเมทริกซ์จัตุรัส (หรือเมทริกซ์ทแยงมุม) ที่มีตัวเลขบนเส้นทแยงมุมเป็น 1 ซึ่งสมมติให้เส้นทแยงมุมนั้นลากจากสมาชิกบนซ้ายไปยังสมาชิกขวาล่าง (เฉียงลง) ส่วนสมาชิกที่เหลือเป็น 0 ทั้งหมด เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ${\displaystyle I_{n}}$ หรือเพียงแค่ I (ไอ) ส่วนทางกลศาสตร์ควอนตัมจะเขียน 1 ด้วยตัวหนาแทน ตัวอย่างเมทริกซ์เอกลักษณ์เช่น

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}$

ตำราคณิตศาสตร์บางเล่มก็ใช้ U หรือ E เขียนแทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ (ซึ่งมาจาก unit matrix และ elementary matrix ตามลำดับ) ถึงแม้ว่า I จะเป็นที่นิยมใช้มากกว่าก็ตาม

คุณสมบัติสำคัญของ I_n อยู่ที่การคูณเมทริกซ์ ได้แก่

${\displaystyle AI_{n}=A\,}$ และ ${\displaystyle I_{n}B=B\,}$

เมื่อใดก็ตามที่การคูณเมทริกซ์นั้นได้นิยามไว้แล้ว โดยเฉพาะเมทริกซ์เอกลักษณ์ ถือเป็นเมทริกซ์หน่วยของริงของเมทริกซ์ขนาด n×n และถือเป็นสมาชิกเอกลักษณ์ของกรุปเชิงเส้นทั่วไป GL(n) ที่ประกอบด้วยเมทริกซ์ที่หาตัวผกผันได้ (เมทริกซ์เอกลักษณ์นั้นสามารถผกผันได้ผลลัพธ์เป็นตัวมันเอง)

หากเมทริกซ์มิติ n×n ถูกใช้เป็นการนำเสนอการแปลงเชิงเส้น จากปริภูมิเวกเตอร์ n มิติไปยังปริภูมิเดิม ${\displaystyle I_{n}}$ จะเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ โดยไม่ต้องคำนึงถึงฐานหลัก (basis)

หลักที่ i ในเมทริกซ์เอกลักษณ์คือเวกเตอร์หน่วย ${\displaystyle e_{i}}$ และเวกเตอร์หน่วยเหล่านั้นก็เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (eigenvector) ของเมทริกซ์เอกลักษณ์ ซึ่งมีค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) เท่ากับ 1 เหมือนกันทั้งหมดเพียงค่าเดียว และมีภาวะรากซ้ำเป็น n ทำให้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เอกลักษณ์เท่ากับ 1 และรอยเมทริกซ์ (trace) เท่ากับ n

เราสามารถใช้สัญกรณ์ของเมทริกซ์ทแยงมุมเพื่อเขียนเมทริกซ์เอกลักษณ์ได้ดังนี้

${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1)}$

และเขียนให้อยู่ในรูปของเดลตาโครเนกเกอร์ (Kronecker delta) ได้ดังนี้

${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}\,}$

แหล่งข้อมูลอื่น

• Identity matrix on PlanetMath