ขั้นตอนวิธีแบบกรวย

ขั้นตอนวิธีแบบกรวย (อังกฤษ: Cone Algorithm) เป็นขั้นตอนวิธีที่รวดเร็ว ซึ่งสามารถระบุได้อย่างแม่นยำว่าอนุภาคใดบ้างที่อยู่บนพื้นผิวที่มีลักษณะเป็นก้อนเล็กๆ ใน 3 มิติ จากการคำนวณโดยทั่วไปทางเรขาคณิต แสดงให้เห็นว่าขั้นตอนวิธีแบบนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งกับวิทยาศาสตร์ที่ที่มีคำนวณหาพื้นที่ผิว และวิทยาศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับเรื่องของนาโนเทคโนโลยี

แนวคิดพื้นฐาน

 

ตัวอย่างของกลุ่มก้อนเล็กๆ ที่เราศึกษาในเรื่องขั้นตอนวิธีแบบกรวย เป็นดังรูปข้างบนนี้ วงกลมสีเขียวเป็นอนุภาคที่อยู่บนพื้นผิว และสีเหลืองคือ อนุภาคที่อยู่ภายใน

สำหรับกลุ่มก้อนสามมิติที่ให้มาในรูปด้านขวามือ ซึ่งประกอบด้วยชุดของอนุภาค เราจะบอกได้อย่างไรว่าอนุภาคใดบ้างอยู่บนพื้นผิว? เหมือนจะง่ายถ้ามองจากตาของมนุษย์ เกณฑ์การมองเห็นอาจถูกอธิบายได้ เช่นถ้าเรากำหนดว่า อนุภาคจะอยู่บนพื้นผิวได้ก็ต่อเมื่ออนุภาคนั้นไม่ได้ถูกล้อมรอบด้วยอนุภาคอื่นๆ ทุกทิศทาง หรือ เราจะบอกว่ามันเป็นอนุภาคพื้นผิวถ้ามันไม่ถูกฝั่งลงไปในของกลุ่มก้อนนั้น เกณฑ์เหล่านี้ทำให้เราสามารถตัดสินใจว่ามันเป็นอนุภาคพื้นผิวหรือไม่ แต่เพื่อที่จะบอกคอมพิวเตอร์ให้เก็บข้อมูลของอนุภาคที่อยู่พื้นผิว เช่นตำแหน่งของอนุภาคเหล่านั้น เราก็ใช้หลักการที่จะอธิบายเหมือนกับหลักเกณฑ์ที่กล่าวมาก่อนหน้านี้

 

อาณาเขตรูปกรวย

จุดหลายจุดที่เห็นในภาพด้านขวามือนั้นจะอยู่ในอนุภาค ซึ่งอนุภาคจะติดต่อกับอาณาเขตรูปกรวย ขอบเขตรูปกรวยนี้ถูกกำหนดขนาดพื้นที่ด้วยความยาว และมุมของมัน และเราเรียกอาณาเขตรูปกรวยที่ไม่มีอนุภาคใดๆ อยู่ภายในว่า "กรวยกลวง" (hollow cone) เรากำหนดให้อนุภาคอยู่บนพื้นผิวถ้าจุดอย่างน้อยหนึ่งจุดบนอนุภาคติดต่อกับกรวยกลวง

สำหรับกรวย เรามีตัวแปรที่เปลี่ยนแปลงได้ 2 ตัว คือ ความยาวของกรวย และขนาดของมุมกรวย ผลลัพธ์ที่แม่นยำหรือผลลัพธ์ที่น่าพอใจจะเกิดขึ้นได้ก็ขึ้นอยู่กับตัวแปร 2 ตัวนี้ ขั้นตอนวิธีแบบนี้สามารถปรับใช้ได้อย่างรวดเร็วกับสถานการณ์ที่มีโมเลกุลหลายโมเลกุลในโครงสร้าง หรือสถานการณ์ที่โมเลกุลนั้นมีรูอยู่ภายใน

การทำงาน

 

แบบจำลอง 2 มิติ ที่แสดงอนุภาคภายใน

ใช้วิธีการดัชนีเซลล์เพื่อเร่งให้เห็นอนุภาคข้างเคียง ความยาวด้านข้างของเซลล์กว้างกว่าความยาวด้านข้างของกรวยเล็กน้อย ซึ่งความยาวที่แตกต่างกันนี้จะถูกสังเกตและตัดออกไปในภายหลัง และอนุภาคข้างเคียงจะถูกระบุให้อยู่ภายในระยะที่ถูกตัดออกไปนั้น

ในการที่จะดูว่าอนุภาคที่เราสนใจมีกรวยกลวงหรือไม่ เราจะวนหาค่าผลรวมของอนุภาคข้างเคียง 3 อนุภาค เพื่อหาว่ามีอนุภาคข้างเคียงอื่นอยู่อีกหรือไม่ ผลรวมเชิงสเกล่าร์ของเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อกับอนุภาคต่างๆ เหล่านี้ถูกใช้ในการพิจารณาว่าถ้าอาณาเขตรูปกรวยขยายไป 3 ช่วงอนุภาคแล้ว จะมีพื้นที่กว้างพอที่จะใส่ตัวแปร 2 ตัวหรือไม่ และมีอนุภาคอื่นอยู่ในอาณาเขตเขตรูปกรวยหรือไม่

ในการที่จะหาอนุภาคพื้นผิว ก็เพียงแค่หาอนุภาคที่มีกรวยกลวงอยู่ แม้จะมีกรวยกลวงเพียงอันเดียวก็จะถือว่าเป็นอนุภาคพื้นผิว และการวนเพื่อหาคำตอบจะสิ้นสุดลง ในทางกลับกันเพื่อที่จะหาอนุภาคภายในพื้นผิวจำเป็นต้องค้นหาทุกๆ ค่าผลรวมของอนุภาคข้างเคียง 3 อนุภาค เพื่อที่จะยืนยันว่าไม่มีกรวยกลวงอยู่จริงๆ

แม้วิธีการง่ายๆ นี้จะเสร็จสมบูรณ์แต่เวลานั้นถูกใช้จนหมด ดังนั้นด้านล่างนี้จะกล่าวถึงวิธีอื่นๆ ที่ทำให้ความเร็วในการคำนวณของโปรแกรมดีขึ้นอย่างเห็นได้ชัด เพื่อจะลดเวลาการทำงานไม่ให้เวลาถูกใช้จนหมดไป

 

กลุ่มก้อนรูปทรงกลม จะมีโอกาสที่จะเจอกรวยกลวงได้มากขึ้น

• ในความเป็นจริง เราสามารถระบุหาตำแหน่งของอนุภาคภายในส่วนใหญ่ที่ห่างจากพื้นผิวได้อย่างง่ายดาย ตามนิยามที่ว่าพวกมันถูกล้อมรอบด้วยอนุภาคอื่นๆ จากรูปแสดงภาพจำลอง 2 มิติ เซลล์สีแดงเป็นอนุภาคภายใน เพราะถูกล้อมรอบด้วยเซลล์ข้างเคียง (สีน้ำเงิน) ถ้าเรามีจำนวนอนุภาคเยอะกว่านี้ต้องใช้แบบจำลอง 3 มิติในการพิจารณา
• อนุภาคพื้นผิวบางอนุภาคสามารถหาได้ง่ายโดยวิธีทางเรขาคณิตที่ใช้คำนวณกลุ่มก้อนที่เป็นรูปทรงกลม ตัวอย่างเช่น ถ้าสมมุติให้กลุ่มก้อนเป็นรูปทรงกลม จะมีโอกาสที่จะเจอกรวยกลวง ได้มากขึ้น โดยการเลือกเวอร์เตอร์จากศูนย์กลางของกลุ่มก้อนถึงอนุภาคที่เราสนใจ ตามกฎทางเรขาคณิตของกรวย

การเกิดชั้นย่อยของขั้นตอนวิธีแบบกรวย

 

การเกิดชั้นย่อยที่เกิดในกลุ่มก้อน

การเรียกใช้ขั้นตอนวิธีแบบกรวยหลายๆ ครั้งทำให้เกิดชั้นของพื้นผิวย่อยๆ ที่แตกต่างกันหลายชั้น โปรแกรมภาษาซีนั้นเป็นโปรแกรมที่ง่ายสำหรับการวิเคราะห์ชั้นพื้นผิวย่อยเหล่านี้ ซึ่งเกิดอยู่ในก้อนสีทองรูปหกเหลี่ยม (icosahedral gold cluster) ที่ประกอบด้วยอะตอม 2,624 อะตอม รูปนี้แสดงให้เห็นถึงชั้นย่อยของพื้นผิวในก้อนหกเหลี่ยม (แต่ละอะตอมในก้อนหกเหลี่ยมนี้เป็นอะตอมสีทองเหมือนกัน แต่ถูกระบายสีที่ต่างกันตามชั้นที่พวกมันสังกัดอยู่ )

การเขียนโปรแกรมของขั้นตอนวิธีแบบกรวย

แม้ว่าภาษาซี (ซึ่งมีโครงสร้างภาษาแบบเชิงวัตถุ) จะเป็นภาษาที่เหมาะจะใช้เขียนขั้นตอนวิธีแบบนี้ แต่การโปรแกรมนั้นสามารถใช้กับโครงสร้างภาษาได้หลากหลายมากกว่าโครงสร้างแบบเชิงวัตถุอย่างเดียวการเขียนโปรแกรมควรจะสามารถใชักับข้อมูลขาเข้าและขาออกที่มีมาตรฐานตั้งแต่น้อยๆไปจนมีมาตรฐานมากๆได้ source code ของโปรแกรมควรจะอ่านง่าย และควรจะคอมเมนต์ที่เพียงพอเพื่อที่จะทำให้อ่านเข้าใจ

รหัสในภาษาซี

การเรียกใช้ฟังก์ชัน

# include <iostream> # include <math.h> # include <stdlib.h> # include <libgen.h> # include "vector.h" using namespace std; 

การประกาศตัวแปรคลาส

double cosine; // cosine of the angle of the die cone double cutoff2; // =cutoff*cutoff, cutoff is the side length of the die cone double bin; // side length of cell = 1.0001 * cutoff int num; // number of particles Vector *q; // particle positions int *d; // d[i]: 1--surface, -1--internal, 0--undetermined int ***cell; // head particle of cell chain int ***curr; // current-position pointer of cell chain int nx, ny, nz; // cell numbers in 3 dimensions int *list; // single chain of the particle list int the cells, end with -1 const double TINY = 1.0e-20; // zero value void readConf(); void initCell(); void end(); void writeXYZ(); void markCell(); void markSurface(); int cmCheck( const int p, const int i, const int j, const int k ); int cmCone( const int p, const int np ); int cone( const Vector &v, const int p, const int np ); int realCheck( const int p, const int i, const int j, const int k ); bool realCone( const int p, const int np1, const int np2,  const int np3, const int *nbr, const int nnbr ); bool coneVector( const int p, const int np1, const int np2, const int np3,  Vector &v ); bool inLine( const int p, const int p1, const int p2 ); 

ฟังก์ชันต่างๆ

//---------------------------function readConf--------------------------

// Read one configuration of a molecule from the standard input.

// The input data should be in .xyz format.

void readConf(){  cin >> num;  char s[1024];  cin.getline( s, 1024 ); // comment line  cin.getline( s, 1024 );  d =new int[num];  list = new int[num];  for( int i=0; i<num; i++ ){  d[i] = 0;  list[i] = -1;  }  q = new Vector[num];  for( int i=0; i<num; i++ ) cin >> s >> q[i]; } 

//------------------------------function initCell--------------------------------

// Find the boundary of the simulation box and locate particles into cells.

void initCell(){  // Create cell array  Vector min( q[0].x, q[0].y, q[0].z );  Vector max( min );  for( int i=1; i<num; i++ ){  if( q[i].x < min.x ) min.x = q[i].x;  if( q[i].x > max.x ) max.x = q[i].x;  if( q[i].y < min.y ) min.y = q[i].y;  if( q[i].y > max.y ) max.y = q[i].y;  if( q[i].z < min.z ) min.z = q[i].z;  if( q[i].z > max.z ) max.z = q[i].z;  }  nx = (int)ceil( (max.x-min.x)/bin );  ny = (int)ceil( (max.y-min.y)/bin );  nz = (int)ceil( (max.z-min.z)/bin );  cell = new int **[nx];  curr = new int **[nx];  for( int i=0; i<nx; i++ ){  cell[i] = new int *[ny];  curr[i] = new int *[ny];  for( int j=0; j<ny; j++ ){  cell[i][j] = new int[nz];  curr[i][j] = new int[nz];  }  }  // Locate particles into cells  for( int i=0; i<nx; i++ )  for( int j=0; j<ny; j++ )  for( int k=0; k<nz; k++ ){  cell[i][j][k] = -1;  curr[i][j][k] = -1;  }  for( int i=0; i<num; i++ ){  Vector vi = (q[i] - min) / bin;  int x = (int)vi.x; int y = (int)vi.y; int z = (int)vi.z;  if( x>=nx || y>=ny || z>=nz ||x<0 || y<0 || z<0 ){  cerr << "Out of boundary: " << endl;  cerr << "ix=" << x << " iy=" << y << " iz=" << z << endl;  cerr << "bin=" << bin << endl;  cerr << "x[i]=" << q[i].x << " y[i]=" << q[i].y  << " z[i]=" << q[i].z << endl;  cerr << "xmin=" << min.x << " ymin=" << min.y  << " zmin=" << min.z << endl;  exit( 1 );  }  if( cell[x][y][z] == -1 ) { // add the head of the cell chain  cell[x][y][z] = curr[x][y][z] = i;  }  else { // add an element at the tail of the chain and move the pointer  list[ curr[x][y][z] ] = i;  curr[x][y][z] = i;  }  } } 

//------------------------- function end----------------------------

// Finishing job.

void end(){  delete []q; delete []d; delete []list;  for( int i=0; i<nx; i++ ){  for( int j=0; j<ny; j++ ) {  delete [](cell[i][j]);  delete [](curr[i][j]);  }  delete [](cell[i]);  delete [](curr[i]);  }  delete []cell;  delete []curr;  } 

//-------------------------- function writeXYZ---------------------------

// Write out the configuration with the surface particles as Cd, the internal

// particles as Au. If any particles left undermined, they are maked as Ag.

void writeXYZ(){  cout << num << endl << endl;  for( int i=0; i<num; i++ ){  if( d[i]== -1 ) cout << "Au ";  else if( d[i]==1 ) cout << "Cd ";  else cout << "Ag ";  cout << q[i] << endl;  } } 

//---------------------------function markCell--------------------------

// Mark the particles in the internal cells. If a cell is internal is

// determined by looking around the designated neighbor cells to see if

// they all contain particles. A batch way to find the most interior particles.

void markCell(){  for( int i=2; i<nx-2; i++ )  for( int j=2; j<ny-2; j++ )  for( int k=2; k<nz-2; k++ ){  if( cell[i][j][k] != -1 &&  cell[i-2][j][k] != -1 && cell[i+2][j][k] != -1 &&  cell[i][j-2][k] != -1 && cell[i][j+2][k] != -1 &&  cell[i][j][k-2] != -1 && cell[i][j][k+2] != -1 &&  cell[i-1][j-1][k-1] != -1 && cell[i-1][j-1][k+1] != -1 &&  cell[i-1][j+1][k-1] != -1 && cell[i-1][j+1][k+1] != -1 &&  cell[i+1][j-1][k-1] != -1 && cell[i+1][j-1][k+1] != -1 &&  cell[i+1][j+1][k-1] != -1 && cell[i+1][j+1][k+1] != -1 ){  // mark the particles in this cell to be internal  int p = cell[i][j][k];  while( p != -1 ){  d[ p ] = -1;  p = list[p];  }  // mark this cell to be checked to avoid further investigation  curr[i][j][k] = -1;  }  } } 

//---------------------------function markSurface--------------------------

// Mark the surface particles by looking at the bond angles with the neighbor

// particles and trying to find a hollow (without particles) cone region with

// angle larger than the designated threshold.

void markSurface(){  // First round quick check for surface particles by center-of-mass normal  // vector criterion.  for( int i=0; i<nx; i++ )  for( int j=0; j<ny; j++ )  for( int k=0; k<nz; k++ ) {  if( curr[i][j][k] != -1 ){ // -1 means either no particles or checked  // to be all internal  int p = cell[i][j][k];  while( p != -1 ) {  d[p] = cmCheck( p, i, j, k );  p = list[ p ];  }  }  }  // Complete searching for a satisfied cone region to vanish all the  // undetermined particles.  for( int i=0; i<nx; i++ )  for( int j=0; j<ny; j++ )  for( int k=0; k<nz; k++ ){  if( curr[i][j][k] != -1 ){ // -1 means either no particles or checked  // to be all internal  int p = cell[i][j][k];  while( p != -1 ){  if( d[p] == 0 ) { // undermined particles  d[p] = realCheck( p, i, j, k );  }  p = list[ p ];  }  curr[i][j][k] = -1; // this cell finished  }  } } 

//-------------------------function cmCheck----------------------------

// Check if a given particle is on the surface by cmCone().

int cmCheck( const int p, const int i, const int j, const int k ){ // Loop over all particles in this cell and the neighboring cells  for( int ni=i-1; ni<=i+1; ni++ ){  if( ni<0 || ni>=nx ) continue;  for( int nj=j-1; nj<=j+1; nj++ ){  if( nj<0 || nj>=ny ) continue;  for( int nk=k-1; nk<=k+1; nk++ ){  if( nk<0 || nk>=nz ) continue;  // internal particles are definitely out of the cone region  if( curr[ni][nj][nk] == -1 ) continue;  int np = cell[ni][nj][nk];  while( np != -1 ){  if( cmCone( p, np ) == 1 ) return 0;  np = list[ np ];  }  }  }  }  return 1; // surface particle } 

//--------------------------- function cmCone--------------------------

// Check if np is in the cone region of p with the vector from center of mass

// to p and angle by cosine. If so, return true. Otherwise, return false.

// A quick way to pick up some surface particles before complete searching algorithm.

int cmCone( const int p, const int np ){  return cone( q[p].normalize(), p, np ); } 

//-------------------------- function cone---------------------------

// Check if a given particle np is in the cone region centered at particle p // with center vector of (nx,ny,nz) and cone angle theta // with cos(theta)=cosine. Cone center vector must be normalized. // Return 0 if the particle is not inside the region(s), 1 if in the cone // region, -1 if in the inverse cone region.

int cone( const Vector &v, const int p, const int np ){  Vector d = (q[np] - q[p]).normalize();  double s = v*d;  if( s > cosine ) return 1; // less than the angle  else if( s<-cosine ) return -1;  else return 0; } 

//-------------------------- function realCheck---------------------------

// Check if the given particle is a surface particle without ambiguity by complete

// searching for a cone region larger than the die.

int realCheck( const int p, const int i, const int j, const int k ){  int *nbr = new int[1000]; // list of neighboring particles  int nnbr=0; // number of neighbor particles  int *snbr = new int[1000]; // neighboring surface particles  int snnbr = 0;  int *unbr = new int[1000]; // neighboring undetermined particles  int unnbr = 0;  // Loop over all particles in this cell and the neighboring cells to make  // a list of neighboring particles.  for( int ni=i-1; ni<=i+1; ni++ ) {  if( ni<0 || ni>=nx ) continue;  for( int nj=j-1; nj<=j+1; nj++ ){  if( nj<0 || nj>=ny ) continue;  for( int nk=k-1; nk<=k+1; nk++ ){  if( nk<0 || nk>=nz ) continue;  int np = cell[ni][nj][nk];  while( np != -1 ){  if( np != p ) {  // check if np is inside the cutoff region  Vector v = q[np] - q[p];  if( v.r2() < cutoff2 ) {  nnbr++;  nbr[ nnbr-1 ] = np;  if( d[np] == 1 ) { // surface particle  snnbr++;  snbr[ snnbr-1 ] = np;  }  else if( d[np] == 0 ) // undertermined particle  {  unnbr++;  unbr[ unnbr-1 ] = np;  }  }  }  np = list[ np ];  }  }  }  }  if( nnbr <= 3 ) return 1; // surface particle  // Check the combinations of 3 neighboring particles to see if they span  // a hollow cone region.  // Internal particles are excluded from the loop of the combinations.  // Combinations made by surface particles are checked first to improve the  // chance of hitting a target earlier.  // 3 surface particles  for( int i=0; i<snnbr-2; i++ )  for( int j=i+1; j<snnbr-1; j++ )  for( int k=j+1; k<snnbr; k++ )  if( realCone( p, snbr[i], snbr[j], snbr[k], nbr, nnbr ) ){ // hollow  delete []nbr; delete []snbr; delete []unbr;  return 1; // surface particle  }  // 2 surface particles, 1 undetermined particle  for( int i=0; i<snnbr-1; i++ )  for( int j=i+1; j<snnbr; j++ )  for( int k=0; k<unnbr; k++ ){  if( realCone( p, snbr[i], snbr[j], unbr[k], nbr, nnbr ) ){  delete []nbr; delete []snbr; delete []unbr;  return 1;  }  }  // 1 surface particle, 2 undetermined particles  for( int i=0; i<snnbr; i++ )  for( int j=0; j<unnbr-1; j++ )  for( int k=j+1; k<unnbr; k++ ){  if( realCone( p, snbr[i], unbr[j], unbr[k], nbr, nnbr ) ){  delete []nbr; delete []snbr; delete []unbr;  return 1;  }  }  // 3 undetermined particles  for( int i=0; i<unnbr-2; i++ )  for( int j=i+1; j<unnbr-1; j++ )  for( int k=j+1; k<unnbr; k++ )  if( realCone( p, unbr[i], unbr[j], unbr[k], nbr, nnbr ) ) {// hollow  delete []nbr; delete []snbr; delete []unbr;  return 1; // surface particle  }  delete []nbr; delete []snbr; delete []unbr;  return -1; // internal particle } 

//-------------------------- function realCone---------------------------

// Real cone searching to find out if the cone region defined by

// (np1-p), (np2-p), (np3-p) or its inverse is hollow.

// Return true if at least one is hollow.

bool realCone( const int p, const int np1, const int np2,  const int np3, const int *nbr, const int nnbr ){  Vector v;  // Find the center vector of the cone spanned by ( np1, np2, np3 )  // centered at p.  if( !coneVector( p, np1, np2, np3, v ) ) return false;  // If any particles inside the cone region and the inverse cone region.  bool has = false;  bool hasInv = false;  for( int m=0; m<nnbr; m++ ){  int nn = nbr[m];  if( nn==np1 || nn==np2 || nn==np3 ) continue;  int h = cone( v, p, nn );  if( h == 1 ) {  has = true;  if( hasInv ) break;  }  else if( h==-1 ) {  hasInv = true;  if( has ) break;  }  }  if( !has || !hasInv ) return true; // there is a hollow cone  else return false; } 

//--------------------------function coneVector---------------------------

// Find the center vector of the cone defined by the three vectors

// (np1-p), (np2-p), (np3-p).

// Return false if any error or the angle spanned is not big enough.

bool coneVector( const int p, const int np1, const int np2, const int np3,  Vector &v ){  const Vector v1 = (q[np1] - q[p]).normalize();  const Vector v2 = (q[np2] - q[p]).normalize();  const Vector v3 = (q[np3] - q[p]).normalize();  // it's the normal vector of plane spanned by v1, v2 and v3  v = (v1-v2)^(v2-v3);  // check if three points are on one line  double r = sqrt( v.r2() );  if( r < TINY ) return false;  v = v/r;  if( fabs( v*v1 ) > cosine ) // smaller angle  return false;  return true; } 

การเรียกใช้ฟังก์ชันหลัก

int main( int argc, char *argv[] ){  if( argc < 3 ){  cerr << "Usage: " << basename( argv[0] ) << " cutoff cosine" << endl;  exit(0);  }  double cutoff = atof( argv[1] );  cutoff2 = cutoff*cutoff;  bin = 1.0001 * cutoff;  cosine = atof( argv[2] );  readConf();  initCell();  markCell();  markSurface();  writeXYZ();  end();  return 0; } 

อ้างอิง

• Cone Algorithm By Yanting Wang