ในคณิตศาสตร์ ตัวหาร (อังกฤษ: divisor) ของจำนวนเต็ม n หรือเรียกว่า ตัวประกอบ (factor) ของ n คือจำนวนเต็มที่หาร n ได้โดยไม่มีเศษเหลือ
ตัวอย่างเช่น 7 เป็นตัวหารของ 42 เพราะว่า 42 ÷ 7 = 6 เราจะเรียกว่า 42 หารด้วย 7 ลงตัว หรือ 42 เป็นพหุคูณของ 7 หรือ 7 หาร 42 ลงตัว และเราจะเขียนว่า 7 | 42 ตัวหารสามารถเป็นจำนวนบวกหรือจำนวนลบได้ ตัวหารที่เป็นบวกของ 42 คือ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
ในกรณีทั่วไป เรากล่าวว่า m | n (อ่านว่า m หาร n ลงตัว) สำหรับจำนวนเต็ม m และ n ที่ไม่เท่ากับ 0 ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม k ที่ทำให้ n = km
กรณีพิเศษ: 1 และ −1 เป็นตัวหารของจำนวนเต็มทุกจำนวน และจำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นตัวหารของ 0 จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัวเรียกว่า จำนวนคู่ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนคู่เรียกว่าจำนวนคี่
สำหรับชื่อของการหารในเลขคณิต ถ้า a ÷ b = c แล้ว a คือตัวตั้งหาร, b คือตัวหาร และ c คือผลหาร
หลักเกณฑ์ของตัวหารที่มีค่าน้อย มีหลักเกณฑ์ที่ช่วยให้หาตัวหารที่มีค่าน้อยๆของจำนวน โดยดูจากเลขโดดได้
หลักเกณฑ์การหารคือหลักที่ช่วยในการหาว่าจำนวนนี้หารด้วยจำนวนอื่นๆลงตัวหรือไม่ ในเลขฐานสิบ มีหลักเกณฑ์การหารคือ:
- จำนวนหารด้วย 2 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้าย หารด้วย 2 ลงตัว
- จำนวนหารด้วย 3 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 3 ลงตัว
- จำนวนหารด้วย 4 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนที่เป็นเลขโดด 2 หลักสุดท้าย หารด้วย 4 ลงตัว
- จำนวนหารด้วย 5 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้ายคือ 0 หรือ 5
- จำนวนหารด้วย 6 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 2 และ 3 ลงตัว
- จำนวนหารด้วย 7 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลลัพธ์ของการนำ 2 เท่าของเลขโดดหลักสุดท้าย ไปลบจำนวนที่นำหลักสุดท้ายทิ้งไป หารด้วย 7 ลงตัว (เช่น 364 หารด้วย 7 ลงตัว เพราะ 36-2×4 = 28 หารด้วย 7 ลงตัว)
- จำนวนหารด้วย 8 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนที่เป็นเลขโดด 3 หลักสุดท้าย หารด้วย 8 ลงตัว
- จำนวนหารด้วย 9 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 9 ลงตัว
- จำนวนหารด้วย 10 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ เลขโดดหลักสุดท้ายคือ 0
- จำนวนหารด้วย 11 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกสลับของเลขโดดทุกหลัก หารด้วย 11 ลงตัว (เช่น 182919 หารด้วย 11 ลงตัวเพราะ 1-8+2-9+1-9 = -22 หารด้วย 11 ลงตัว)
- จำนวนหารด้วย 12 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 3 และ 4 ลงตัว
- จำนวนหารด้วย 13 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลลัพธ์ของการนำ 9 เท่าของเลขโดดหลักสุดท้าย ไปลบจำนวนที่ลบหลักสุดท้ายทิ้งไป หารด้วย 13 ลงตัว (เช่น 858 หารด้วย 13 ลงตัว เพราะ 85-9×8 = 13 หารด้วย 13 ลงตัว)
- จำนวนหารด้วย 14 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 2 และ 7 ลงตัว
- จำนวนหารด้วย 15 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ จำนวนนั้นหารด้วย 3 และ 5 ลงตัว
ข้อเท็จจริง หลักพื้นฐาน:
- ถ้า a | b และ a | c แล้ว a | (b + c)
- ถ้า a | b และ b | c แล้ว a | c
- ถ้า a | b และ b | a แล้ว a = ±b
- ถ้า a | bc และ ห.ร.ม. ของ a กับ b = 1 แล้ว a | c
เราเรียกจำนวนที่หาร n ลงตัวและมีค่าไม่เท่ากับ n ว่า "ตัวหารแท้" (proper divisor) ของ n
เราเรียกจำนวนที่มีค่ามากกว่า 1 และมี 1 เป็นตัวหารแท้เพียงตัวเดียวว่า "จำนวนเฉพาะ"
จากทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิต จำนวนเต็มใด ๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลคูณของกำลังของจำนวนเฉพาะได้
เราเรียกจำนวนใด ๆ ว่าเป็น "จำนวนสมบูรณ์" (perfect number) เมื่อจำนวนนั้นมีค่าเท่ากับผลบวกของตัวหารแท้ทั้งหมดของมัน จำนวนใด ๆ ที่ไม่สมบูรณ์มีความเป็นไปได้คือ "ขาด" (deficient) ไม่ก็ "เกิน" (abundant)
ฟังก์ชันหลายฟังก์ชันเกี่ยวกับการการหารจำนวนเต็มเป็นฟังก์ชันเชิงการคูณ (multiplicative function) ยกตัวอย่างเช่น
- ฟังก์ชัน กำหนดโดย d (n) = จำนวนของตัวหารบวกทั้งหมดของ n
- ฟังก์ชัน กำหนดโดย = ผลบวกของตัวหารบวกทั้งหมดของ n
ดูเพิ่ม วหาร, ในคณ, ตศาสตร, งกฤษ, divisor, ของจำนวนเต, หร, อเร, ยกว, วประกอบ, factor, ของ, อจำนวนเต, มท, หาร, ได, โดยไม, เศษเหล, เน, อหา, คำอธ, บาย, หล, กเกณฑ, ของท, าน, อย, อเท, จจร, เพ, มคำอธ, บาย, แก, ไขต, วอย, างเช, เป, นของ, เพราะว, เราจะเร, ยกว, หารด, วย, ลงต, ห. inkhnitsastr twhar xngkvs divisor khxngcanwnetm n hruxeriykwa twprakxb factor khxng n khuxcanwnetmthihar n idodyimmiessehlux enuxha 1 khaxthibay 2 hlkeknthkhxngtwharthimikhanxy 3 khxethccring 4 duephimkhaxthibay aekikhtwxyangechn 7 epntwharkhxng 42 ephraawa 42 7 6 eracaeriykwa 42 hardwy 7 lngtw hrux 42 epnphhukhunkhxng 7 hrux 7 har 42 lngtw aelaeracaekhiynwa 7 42 twharsamarthepncanwnbwkhruxcanwnlbid twharthiepnbwkkhxng 42 khux 1 2 3 6 7 14 21 42inkrnithwip eraklawwa m n xanwa m har n lngtw sahrbcanwnetm m aela n thiimethakb 0 ktxemux micanwnetm k thithaih n kmkrniphiess 1 aela 1 epntwharkhxngcanwnetmthukcanwn aelacanwnetmthukcanwnepntwharkhxng 0 canwnthihardwy 2 lngtweriykwa canwnkhu canwnthiimichcanwnkhueriykwacanwnkhisahrbchuxkhxngkarharinelkhkhnit tha a b c aelw a khuxtwtnghar b khuxtwhar aela c khuxphlharhlkeknthkhxngtwharthimikhanxy aekikhmihlkeknththichwyihhatwharthimikhanxykhxngcanwn odyducakelkhoddidhlkeknthkarharkhuxhlkthichwyinkarhawacanwnnihardwycanwnxunlngtwhruxim inelkhthansib mihlkeknthkarharkhux canwnhardwy 2 lngtw ktxemux elkhoddhlksudthay hardwy 2 lngtw canwnhardwy 3 lngtw ktxemux phlbwkkhxngelkhoddthukhlk hardwy 3 lngtw canwnhardwy 4 lngtw ktxemux canwnthiepnelkhodd 2 hlksudthay hardwy 4 lngtw canwnhardwy 5 lngtw ktxemux elkhoddhlksudthaykhux 0 hrux 5 canwnhardwy 6 lngtw ktxemux canwnnnhardwy 2 aela 3 lngtw canwnhardwy 7 lngtw ktxemux phllphthkhxngkarna 2 ethakhxngelkhoddhlksudthay iplbcanwnthinahlksudthaythingip hardwy 7 lngtw echn 364 hardwy 7 lngtw ephraa 36 2 4 28 hardwy 7 lngtw canwnhardwy 8 lngtw ktxemux canwnthiepnelkhodd 3 hlksudthay hardwy 8 lngtw canwnhardwy 9 lngtw ktxemux phlbwkkhxngelkhoddthukhlk hardwy 9 lngtw canwnhardwy 10 lngtw ktxemux elkhoddhlksudthaykhux 0 canwnhardwy 11 lngtw ktxemux phlbwkslbkhxngelkhoddthukhlk hardwy 11 lngtw echn 182919 hardwy 11 lngtwephraa 1 8 2 9 1 9 22 hardwy 11 lngtw canwnhardwy 12 lngtw ktxemux canwnnnhardwy 3 aela 4 lngtw canwnhardwy 13 lngtw ktxemux phllphthkhxngkarna 9 ethakhxngelkhoddhlksudthay iplbcanwnthilbhlksudthaythingip hardwy 13 lngtw echn 858 hardwy 13 lngtw ephraa 85 9 8 13 hardwy 13 lngtw canwnhardwy 14 lngtw ktxemux canwnnnhardwy 2 aela 7 lngtw canwnhardwy 15 lngtw ktxemux canwnnnhardwy 3 aela 5 lngtwkhxethccring aekikhhlkphunthan tha a b aela a c aelw a b c tha a b aela b c aelw a c tha a b aela b a aelw a b tha a bc aela h r m khxng a kb b 1 aelw a ceraeriykcanwnthihar n lngtwaelamikhaimethakb n wa twharaeth proper divisor khxng neraeriykcanwnthimikhamakkwa 1 aelami 1 epntwharaethephiyngtwediywwa canwnechphaa cakthvsdibthmulthankhxngelkhkhnit canwnetmid samarthekhiynihxyuinrupphlkhunkhxngkalngkhxngcanwnechphaaideraeriykcanwnid waepn canwnsmburn perfect number emuxcanwnnnmikhaethakbphlbwkkhxngtwharaeththnghmdkhxngmn canwnid thiimsmburnmikhwamepnipidkhux khad deficient imk ekin abundant fngkchnhlayfngkchnekiywkbkarkarharcanwnetmepnfngkchnechingkarkhun multiplicative function yktwxyangechn fngkchn d N N displaystyle d N rightarrow N kahndody d n canwnkhxngtwharbwkthnghmdkhxng n fngkchn s N N displaystyle sigma N rightarrow N kahndody s n displaystyle sigma n phlbwkkhxngtwharbwkthnghmdkhxng nduephim aekikhtarangtwprakxbechphaa tarangkhxngtwprakxbechphaatngaet 1 1000 tarangtwhar tarangkhxngtwharthiepncanwnechphaaaelaimepncanwnechphaatngaet 1 1000ekhathungcak https th wikipedia org w index php title twhar amp oldid 8140520, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,
บทความ
, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม