fbpx
วิกิพีเดีย

ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม

ใน เรขาคณิต ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (อังกฤษ: Japanese theorem for cyclic quadrilaterals) คือทฤษฎีที่ระบุว่า จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่บรรจุในสามเหลี่ยมหนึ่งๆได้ (incircle of a triangle)[ค] และสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมที่อยู่ภายในรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม[ก] [ข] (Cyclic quadrilaterals) ได้อีกทีหนึ่ง จุดศูนย์กลางของวงกลมดังที่กล่าวมาจะเป็นคือจุดยอด (Vertex) ของสี่เหลี่ยมผืนผ้า

โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป หากแบ่ง ตามเส้นทแยงมุมของมัน เราจะได้รูปสามเหลี่ยมสี่รูปซ้อนกันอยู่ (เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นทำให้เกิดสามเหลี่ยมขึ้นมา 2 อัน นั้นคือ ) จะรูปจะเห็นว่าจุดศุนย์กลางของวงกลมที่อยู่บรรจุอยุ่ภายในสามเหลี่ยมทั้งสี่ เป็นจุดยอดของสีเหลี่ยมผื้นผ้าอีกทีหนึ่ง

พิสูจน์

 
รูปที่ใช้ในการอธิบายการพิสูจน์

โดยไม่เสียนัยยะทั่วไป กำหนดให้   คือรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (ดังภาพ) และกำหนดให้   เป็นวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านประกอบสามเหลี่ยมใดๆทั้งสามด้านได้ (ดังภาพ) ในที่นี้   คือวงกลมที่สอดคล้องกับสามเหลี่ยม   ตามลำดับ

จากรูปจะเห็นว่า   เพราะเป็นมุมด้านตรงข้ามส่วนของวงกลม AD อันเดียวกัน และกำหนดให้  
จาก   จะพบว่า  
จาก   จะพบว่า  
เนื่องจาก   ดังนั้น   เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ซึ่งในที่นี้คือวงกลมสีเขียว
เนื่องจาก   เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมแล้วดังนั้นจะได้ว่า   (มุมสีแดงทึบ) มีค่าเท่ากับ
 [ค] เพราะเป็นคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม
ในทำนองเดียวกัน   เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อมของวงกลมสีส้มดังรูป
เนื่องจาก   เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม แล้วดังนั้นจะได้ว่า   (มุมสีฟ้าทึบ) มีค่าเท่ากับ
  [ค] ด้วยเหตุผลเดียวกับที่อ้างข้างต้นกับมุม  
เนื่องจาก   เป็นรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม ดังนั้นมุมด้านของจุดยอดตรงข้ามกันมีผลรวมเป็น 180 องศา
 
จากข้อมูลทั้งหมดข้างต้นเราจะได้ว่ามุม   ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบ มีค่าเท่ากับ   ซึ่งจะได้ว่ามุม   ที่รวมทั้งมุมแดงทึบและมุมฟ้าทึบเป็นมุมฉาก
ในทำนองเดียวกับการพิสูจน์ข้างต้นเราจะพบว่า มุม  ,   และ   เป็นมุมฉากเช่นเดียวกัน
ดังนั้นแสดงว่า   เป็นสี่เหลี่ยมผื่นผ้า ซตพ.

หมายเหตุ

. ^ ศัพท์บัญญัติราชบัณฑิตยสถาน คณิตศาสตร์ ๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗
. ^ รูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม (Cyclic quadrilaterals) คือรูปสี่เหลี่ยมใดๆที่มีจุดยอดทั้งสีอยู่บนเส้นรอบวงของวงกลม
. ^ จุดศูนย์กลางของวงกลมที่ใหญ่ที่สุดที่สามารถสัมผัสด้านทั้งสามของสามเหลี่ยม (Incircle center) นั้นมีคุณสมบัติคือ
  • เป็นจุดเดียวกับจุดตัดของเส้นแบ่งมุมของสามเหลี่ยมแต่ละด้าน (Bisector)
  • จะอยู่ภายในสามเหลี่ยมที่วงกลมนั้นถูกบรรจุอยู่ตลอด


ดูเพิ่ม

  • Carnot's theorem
  • Sangaku
  • Wasan

อ้างอิง

  1. The Incenter of a triangle properties
  2. Incenters in Cyclic Quadrilateral: What is this about? A Mathematical Droodle
  3. An Old Japanese Theorem
  4. พิสูจน์ทฤษฎีบทญี่ปุ่นสำหรับรูปสี่เหลี่ยมวงกลมล้อม
  5. Cyclic Quadrilaterals Properties
  6. Incircle Properties
  7. Cyclic Quadrilateral
  8. The Incircle of a triangle Properies

ทฤษฎ, บทญ, นสำหร, บร, ปส, เหล, ยมวงกลมล, อม, งก, ามภาษา, ในบทความน, ไว, ให, านและผ, วมแก, ไขบทความศ, กษาเพ, มเต, มโดยสะดวก, เน, องจากว, เด, ยภาษาไทยย, งไม, บทความด, งกล, าว, กระน, ควรร, บสร, างเป, นบทความโดยเร, วท, ดใน, เรขาคณ, งกฤษ, japanese, theorem, cyclic,. lingkkhamphasa inbthkhwamni miiwihphuxanaelaphurwmaekikhbthkhwamsuksaephimetimodysadwk enuxngcakwikiphiediyphasaithyyngimmibthkhwamdngklaw krann khwrribsrangepnbthkhwamodyerwthisudin erkhakhnit thvsdibthyipunsahrbrupsiehliymwngklmlxm xngkvs Japanese theorem for cyclic quadrilaterals khuxthvsdithirabuwa cudsunyklangkhxngwngklmthiihythisudthibrrcuinsamehliymhnungid incircle of a triangle 1 kh aelasamehliymnnepnsamehliymthixyuphayinrupsiehliymwngklmlxm k kh Cyclic quadrilaterals idxikthihnung cudsunyklangkhxngwngklmdngthiklawmacaepnkhuxcudyxd Vertex khxngsiehliymphunpha 2 3 odyimesiynyyathwip hakaebng A B C D displaystyle square ABCD tamesnthaeyngmumkhxngmn eracaidrupsamehliymsirupsxnknxyu esnthaeyngmumaetlaesnthaihekidsamehliymkhunma 2 xn nnkhux A B D A B C B C D A C D displaystyle triangle ABD triangle ABC triangle BCD triangle ACD carupcaehnwacudsunyklangkhxngwngklmthixyubrrcuxyuphayinsamehliymthngsi epncudyxdkhxngsiehliymphunphaxikthihnung enuxha 1 phisucn 4 2 hmayehtu 3 duephim 4 xangxingphisucn 4 aekikh rupthiichinkarxthibaykarphisucn odyimesiynyyathwip kahndih A B C D displaystyle square ABCD khuxrupsiehliymwngklmlxm dngphaph aelakahndih M 1 M 2 M 3 M 4 displaystyle M 1 M 2 M 3 M 4 epnwngklmthiihythisudthisamarthsmphsdanprakxbsamehliymidthngsamdanid dngphaph inthini M 1 M 2 M 3 M 4 displaystyle M 1 M 2 M 3 M 4 khuxwngklmthisxdkhlxngkbsamehliym A B D A B C B C D A C D displaystyle triangle ABD triangle ABC triangle BCD triangle ACD tamladb cakrupcaehnwa A C D A B D displaystyle angle ACD angle ABD ephraaepnmumdantrngkhamswnkhxngwngklm AD xnediywkn aelakahndih C B a A D 2 displaystyle angle C angle B alpha frac AD 2 cak A C D displaystyle triangle ACD caphbwa A M 4 D 90 a 2 displaystyle angle AM 4 D 90 frac alpha 2 cak A D B displaystyle triangle ADB caphbwa A M 1 D 90 a 2 displaystyle angle AM 1 D 90 frac alpha 2 enuxngcak A M 4 D A M 1 D 90 a 2 displaystyle angle AM 4 D angle AM 1 D 90 frac alpha 2 dngnn A M 1 M 4 D displaystyle square AM 1 M 4 D epnrupsiehliymwngklmlxm sunginthinikhuxwngklmsiekhiywenuxngcak A M 1 M 4 D displaystyle square AM 1 M 4 D epnrupsiehliymwngklmlxmaelwdngnncaidwa M 1 displaystyle angle M 1 mumsiaedngthub mikhaethakb A D M 4 A D C 2 displaystyle angle ADM 4 angle frac ADC 2 kh ephraaepnkhunsmbtikhxngrupsiehliymwngklmlxm 5 inthanxngediywkn A M 1 M 2 B displaystyle square AM 1 M 2 B epnrupsiehliymwngklmlxmkhxngwngklmsismdngrupenuxngcak A M 1 M 2 B displaystyle square AM 1 M 2 B epnrupsiehliymwngklmlxm aelwdngnncaidwa M 1 displaystyle angle M 1 mumsifathub mikhaethakb A B M 2 A B C 2 displaystyle angle ABM 2 angle frac ABC 2 kh dwyehtuphlediywkbthixangkhangtnkbmum M 1 displaystyle angle M 1 enuxngcak A B C D displaystyle square ABCD epnrupsiehliymwngklmlxm dngnnmumdankhxngcudyxdtrngkhamknmiphlrwmepn 180 xngsa 6 A B C A D C 180 displaystyle angle ABC angle ADC 180 cakkhxmulthnghmdkhangtneracaidwamum M 1 displaystyle angle M 1 thirwmthngmumaedngthubaelamumfathub mikhaethakb A B M 2 A D M 4 A B C 2 A D C 2 A B C A D C 2 180 2 90 displaystyle angle ABM 2 angle ADM 4 angle frac ABC 2 angle frac ADC 2 frac angle ABC angle ADC 2 frac 180 2 90 sungcaidwamum M 1 displaystyle angle M 1 thirwmthngmumaedngthubaelamumfathubepnmumchakinthanxngediywkbkarphisucnkhangtneracaphbwa mum M 2 displaystyle angle M 2 M 3 displaystyle angle M 3 aela M 4 displaystyle angle M 4 epnmumchakechnediywkndngnnaesdngwa M 1 M 2 M 3 M 4 displaystyle square M 1 M 2 M 3 M 4 epnsiehliymphunpha stph hmayehtu aekikhk sphthbyytirachbnthitysthan khnitsastr 19 k kh 2547kh rupsiehliymwngklmlxm Cyclic quadrilaterals khuxrupsiehliymidthimicudyxdthngsixyubnesnrxbwngkhxngwngklm 7 kh cudsunyklangkhxngwngklmthiihythisudthisamarthsmphsdanthngsamkhxngsamehliym Incircle center nnmikhunsmbtikhux 6 epncudediywkbcudtdkhxngesnaebngmumkhxngsamehliymaetladan Bisector 8 caxyuphayinsamehliymthiwngklmnnthukbrrcuxyutlxdduephim aekikhCarnot s theorem Sangaku Wasanxangxing aekikh The Incenter of a triangle properties Incenters in Cyclic Quadrilateral What is this about A Mathematical Droodle An Old Japanese Theorem phisucnthvsdibthyipunsahrbrupsiehliymwngklmlxm Cyclic Quadrilaterals Properties 6 0 6 1 Incircle Properties Cyclic Quadrilateral The Incircle of a triangle Properiesekhathungcak https th wikipedia org w index php title thvsdibthyipunsahrbrupsiehliymwngklmlxm amp oldid 5311560, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม