ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส

ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส (Apollonius' Theorem) เป็นทฤษฎีบททางเรขาคณิต ที่เกี่ยวข้องกับความยาวของเส้นมัธยฐานและความยาวด้านข้างของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งกล่าวว่า "ผลรวมค่ากำลังสองของด้านสองด้านใดๆ ของรูปสามเหลี่ยม เท่ากับ สองเท่าของผลบวกของครึ่งหนึ่งของความยาวด้านที่สามยกกำลังสองกับความยาวของเส้นมัธยฐานยกกำลังสอง"

พื้นที่สีเขียวรวมกับพื้นที่สีน้ำเงิน = พื้นที่สีแดง

กำหนดให้ รูปสามเหลี่ยม ${\displaystyle ABC}$ เป็นรูปสามเหลี่ยมใด ๆ ถ้า ${\displaystyle AD}$ เป็นเส้นมัธยฐาน แล้ว

$${\displaystyle |AB|^{2}+|AC|^{2}=2\left(|AD|^{2}+|BD|^{2}\right)}$$

ทฤษฎีบทนี้เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของสจ๊วต (Stewart's Theorem) ในกรณีที่สามเหลี่ยม ${\displaystyle ABC}$ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ ${\displaystyle |AB|=|AC|}$ แล้วเส้นมัธยฐาน ${\displaystyle AD}$ จะตั้งฉากกับ ${\displaystyle BC}$ ในกรณีดังกล่าวทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียสจะกลายเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส

กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานสมมูลกับทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส ผ่านความจริงที่ว่าเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งออกเป็นสองส่วน

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการตั้งชื่อตาม Apollonius of Perga ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของอะพอลโลเนียส (Apollonius' Theorem)

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: พื้นที่สีเขียว = พื้นที่สีแดง

พิสูจน์ทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทนี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของสจ๊วต และ สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้เวกเตอร์ (ดูกฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) ต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์โดยใช้กฎของโคไซน์

ให้สามเหลี่ยมมีด้าน ${\displaystyle a,b,c}$  โดยมีเส้นมัธยฐาน ${\displaystyle d}$  ลากไปด้าน ${\displaystyle a}$  ให้ ${\displaystyle m}$  คือความยาวส่วนของด้าน ${\displaystyle a}$  ที่ถูกแบ่งครึ่งโดยเส้นมัธยฐาน ดังนั้น ${\displaystyle m}$  คือครึ่งหนึ่งของ ${\displaystyle a}$  ให้มุมที่เกิดขึ้นระหว่างด้าน ${\displaystyle a}$  และเส้นมัธยฐาน ${\displaystyle d}$  เป็น ${\displaystyle \theta }$  และ ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$  ตามลำดับ โดยที่ ${\displaystyle \theta }$  อยู่ในฝั่งที่มีด้าน ${\displaystyle b}$  และ ${\displaystyle \theta ^{\prime }}$  อยู่ในฝั่งที่มีด้าน ${\displaystyle c}$  ดังนั้น ${\displaystyle \theta +\theta '}$  มีค่าเท่ากับ 180 องศา และ ${\displaystyle \cos \theta ^{\prime }=-\cos \theta }$ 

จากกฎของโคไซน์จะได้

${\displaystyle b^{2}=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta }$ 

${\displaystyle c^{2}=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta '}$ ${\displaystyle =m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta }$ 

นำสองสมการมาบวกกัน จะได้ ${\displaystyle b^{2}+c^{2}=2(m^{2}+d^{2})}$ 

อ้างอิง

1. Godfrey, Charles; Siddons, Arthur Warry (1908). Modern Geometry. University Press. p. 20.