fbpx
วิกิพีเดีย

บทตั้งของซอร์น

บทตั้งของซอร์น (อังกฤษ: Zorn's lemma) หรือ บทตั้งของซอร์น-กูราตอฟสกี เป็นบทตั้งสำคัญบทหนึ่งในวิชาทฤษฎีเซต ซึ่งกล่าวว่า "เซตจัดอันดับบางส่วนที่ทุกโซ่มีขอบเขตบน จะมีสมาชิกใหญ่สุด" บทตั้งนี้มีชื่อตาม มักซ์ ซอร์น และ กาซีมีแยช กูราตอฟสกี

มักซ์ ซอร์น
กาซีมีแยช กูราตอฟสกี

บทตั้งนี้สามารถใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทอื่น ๆ ที่มีความสำคัญในคณิตศาสตร์ในสาขาหลากหลาย เช่น บทพิสูจน์ที่ว่าทุกปริภูมิเวกเตอร์จะมีฐาน ทฤษฎีบทฮาห์น-บานาคในสาขาการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ทฤษฎีบทของไทโคนอฟในสาขาทอพอโลยี ทฤษฎีบทว่าทุกฟีลด์มีการปิดเชิงพีชคณิต และทฤษฎีบทที่ว่าทุกไอดีลแท้ของริงมีเอกลักษณ์จะเป็นสับเซตของไอดีลใหญ่สุด

บทตั้งของซอร์นสมมูลกันกับหลักการจัดอันดับดีและสัจพจน์ของการเลือก นั่นคือเพียงแค่ทฤษฎีเซตแซร์เมโล-แฟรงเคิลร่วมกับข้อความใดข้อความหนึ่งจากทั้งข้อความข้างต้น จะสามารถพิสูจน์ข้อความที่เหลือได้ นอกจากนี้ยังมีหลักการความใหญ่สุดของเฮาส์ดอร์ฟเป็นข้อความหนึ่งที่สมมูลกับบทตั้งของซอร์น

ประวัติ

เฟลิกซ์ เฮาส์ดอร์ฟได้พิสูจน์หลักการความใหญ่สุดของเฮาส์ดอร์ฟในปี ค.ศ. 1914 ซึ่งถือว่าเป็นรูปแบบแรก ๆ ของบทตั้งของซอร์น กาซีมีแยช กูราตอฟสกีได้เสนอรูปแบบหนึ่งของบทตั้งนี้ในปี ค.ศ. 1922 ที่ใกล้เคียงกับแบบที่เราใช้ในปัจจุบัน มักซ์ ซอร์นค้นพบบทตั้งนี้อีกครั้งหนึ่งแยกจากของกูราตอฟสกี และตีพิมพ์ในปี ค.ศ. 1935

เนื้อความของบทตั้ง

บทตั้งของซอร์น — ถ้าเซตอันดับบางส่วน P มีสมบัติว่าทุกโซ่ใน P มีขอบเขตบนใน P แล้วจะได้ว่าเซต P มีสมาชิกใหญ่สุดอย่างน้อยหนึ่งตัว.

โซ่ใน P คือสับเซตของ P ที่เป็นเซตอันดับทุกส่วน

ข้อความที่สมมูลกัน

มีข้อความจำนวนมากที่สมมูลกับบทตั้งของซอร์น ข้อความที่เป็นที่รู้จักกันทั่วไปได้แก่

  1. สัจพจน์การเลือก
  2. หลักการจัดอันดับดี
  3. หลักการความใหญ่สุดของเฮาส์ดอร์ฟ

นอกจากนี้บทตั้งของซอร์นยังใช้พิสูจน์ทฤษฎีบทสำคัญอื่น ๆ ในคณิตศาสตร์ บางครั้งผลลัพธ์ดังกล่าวยังสมมูลกับบทตั้งของซอร์นอีกด้วย ได้แก่

  1. ทฤษฎีบทฮาห์น-บานาค
  2. ทุกปริภูมิเวกเตอร์มีฐาน (ซึ่งสมมูลกับบทตั้งของซอร์น)
  3. ทุกริงสลับที่มีหนึ่งจะมีไอดีลใหญ่สุด
  4. ทฤษฎีบทของไทโคนอฟในทอพอโลยี (สมมูลกับบทตั้งของซอร์น)
  5. ทฤษฎีบทอุลตราฟิลเตอร์ ที่ว่าทุก ๆ ฟิลเตอร์แท้บทเซต X จะสามารถขยายไปเป็นอุลตราฟิลเตอร์บทเซต X ได้
  6. จากทฤษฎีบทอุลตราฟิลเตอร์ (นั่นคือจากบทตั้งของซอร์น) จะสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทความบริบูรณ์ของตรรกศาสตร์อันดับหนึ่งได้

รายการอ้างอิง

  1. Jänich, Klaus. Topology. Springer-Verlag. p. 167-170.
  2. Moore, Gregory H. Zermelo's Axiom of Choice : Its Origins, Development, and Influence. New York, NY: Springer New York. ISBN 978-1-4613-9480-8.
  3. Kuratowski, Casimir (1922). "Une méthode d'élimination des nombres transfinis des raisonnements mathématiques". Fundamenta Mathematicae. 3: 76–108. doi:10.4064/fm-3-1-76-108.
  4. Zorn, Max (1935). "A remark on method in transfinite algebra". Bulletin of the American Mathematical Society. 41 (10): 667–670. doi:10.1090/S0002-9904-1935-06166-X.
  5. Brézis, H. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. New York: Springer. p. 1-3. ISBN 978-0-387-70913-0.
  6. Blass, Andreas (1984). "Existence of bases implies the Axiom of Choice". Axiomatic Set Theory. Contemp. Math. Contemporary Mathematics. 31. pp. 31–33. doi:10.1090/conm/031/763890. ISBN 9780821850268.
  7. Kelley, John L. (1950). "The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice". Fundamenta Mathematicae. 37: 75–76. doi:10.4064/fm-37-1-75-76.
  8. "Ultrafilter theorem". nLab. สืบค้นเมื่อ 7 February 2021.
  9. J.L. Bell & A.B. Slomson (1969). Models and Ultraproducts. North Holland Publishing Company.

ดูเพิ่ม

  • Johnstone, P. T. Notes on logic and set theory. Cambridge: Cambridge University Press. p. 78-87. ISBN 9781139172066.
  • The Axiom of Choice ใน The Stanford Encyclopedia of Philosophy อธิบายประเด็นทางปรัชญาของสัจพจน์การเลือกและประวัติศาสตร์ของบทตั้งของซอร์น
  • บทตั้งของซอร์นใน nLab

บทต, งของซอร, งกฤษ, zorn, lemma, หร, ราตอฟสก, เป, นบทต, งสำค, ญบทหน, งในว, ชาทฤษฎ, เซต, งกล, าวว, เซตจ, ดอ, นด, บบางส, วนท, กโซ, ขอบเขตบน, จะม, สมาช, กใหญ, บทต, งน, อตาม, กซ, ซอร, และ, กาซ, แยช, ราตอฟสก, กซ, ซอร, นกาซ, แยช, ราตอฟสก, บทต, งน, สามารถใช, ในการพ, . bthtngkhxngsxrn xngkvs Zorn s lemma hrux bthtngkhxngsxrn kuratxfski epnbthtngsakhybthhnunginwichathvsdiest sungklawwa estcdxndbbangswnthithukosmikhxbekhtbn camismachikihysud bthtngnimichuxtam mks sxrn aela kasimiaeych kuratxfskimks sxrnkasimiaeych kuratxfski bthtngnisamarthichinkarphisucnthvsdibthxun thimikhwamsakhyinkhnitsastrinsakhahlakhlay echn bthphisucnthiwathukpriphumiewketxrcamithan thvsdibthhahn banakhinsakhakarwiekhraahechingfngkchn thvsdibthkhxngithokhnxfinsakhathxphxolyi 1 thvsdibthwathukfildmikarpidechingphichkhnit aelathvsdibththiwathukixdilaethkhxngringmiexklksncaepnsbestkhxngixdilihysudbthtngkhxngsxrnsmmulknkbhlkkarcdxndbdiaelascphcnkhxngkareluxk nnkhuxephiyngaekhthvsdiestaesremol aefrngekhilrwmkbkhxkhwamidkhxkhwamhnungcakthngkhxkhwamkhangtn casamarthphisucnkhxkhwamthiehluxid nxkcakniyngmihlkkarkhwamihysudkhxngehasdxrfepnkhxkhwamhnungthismmulkbbthtngkhxngsxrn enuxha 1 prawti 2 enuxkhwamkhxngbthtng 3 khxkhwamthismmulkn 4 raykarxangxing 5 duephimprawti aekikhefliks ehasdxrfidphisucnhlkkarkhwamihysudkhxngehasdxrfinpi kh s 1914 sungthuxwaepnrupaebbaerk khxngbthtngkhxngsxrn 2 kasimiaeych kuratxfskiidesnxrupaebbhnungkhxngbthtngniinpi kh s 1922 thiiklekhiyngkbaebbthieraichinpccubn 3 mks sxrnkhnphbbthtngnixikkhrnghnungaeykcakkhxngkuratxfski aelatiphimphinpi kh s 1935 4 enuxkhwamkhxngbthtng aekikhbthtngkhxngsxrn thaestxndbbangswn P mismbtiwathukosin P mikhxbekhtbnin P aelwcaidwaest P mismachikihysudxyangnxyhnungtw osin P khuxsbestkhxng P thiepnestxndbthukswnkhxkhwamthismmulkn aekikhmikhxkhwamcanwnmakthismmulkbbthtngkhxngsxrn khxkhwamthiepnthiruckknthwipidaek scphcnkareluxk hlkkarcdxndbdi hlkkarkhwamihysudkhxngehasdxrfnxkcaknibthtngkhxngsxrnyngichphisucnthvsdibthsakhyxun inkhnitsastr bangkhrngphllphthdngklawyngsmmulkbbthtngkhxngsxrnxikdwy idaek thvsdibthhahn banakh 5 thukpriphumiewketxrmithan sungsmmulkbbthtngkhxngsxrn 6 thukringslbthimihnungcamiixdilihysud thvsdibthkhxngithokhnxfinthxphxolyi smmulkbbthtngkhxngsxrn 7 thvsdibthxultrafiletxr thiwathuk filetxraethbthest X casamarthkhyayipepnxultrafiletxrbthest X id 8 cakthvsdibthxultrafiletxr nnkhuxcakbthtngkhxngsxrn casamarthphisucnthvsdibthkhwambriburnkhxngtrrksastrxndbhnungid 9 raykarxangxing aekikh Janich Klaus Topology Springer Verlag p 167 170 Moore Gregory H Zermelo s Axiom of Choice Its Origins Development and Influence New York NY Springer New York ISBN 978 1 4613 9480 8 Kuratowski Casimir 1922 Une methode d elimination des nombres transfinis des raisonnements mathematiques Fundamenta Mathematicae 3 76 108 doi 10 4064 fm 3 1 76 108 Zorn Max 1935 A remark on method in transfinite algebra Bulletin of the American Mathematical Society 41 10 667 670 doi 10 1090 S0002 9904 1935 06166 X Brezis H Functional analysis Sobolev spaces and partial differential equations New York Springer p 1 3 ISBN 978 0 387 70913 0 Blass Andreas 1984 Existence of bases implies the Axiom of Choice Axiomatic Set Theory Contemp Math Contemporary Mathematics 31 pp 31 33 doi 10 1090 conm 031 763890 ISBN 9780821850268 Kelley John L 1950 The Tychonoff product theorem implies the axiom of choice Fundamenta Mathematicae 37 75 76 doi 10 4064 fm 37 1 75 76 Ultrafilter theorem nLab subkhnemux 7 February 2021 J L Bell amp A B Slomson 1969 Models and Ultraproducts North Holland Publishing Company duephim aekikhJohnstone P T Notes on logic and set theory Cambridge Cambridge University Press p 78 87 ISBN 9781139172066 The Axiom of Choice in The Stanford Encyclopedia of Philosophy xthibaypraednthangprchyakhxngscphcnkareluxkaelaprawtisastrkhxngbthtngkhxngsxrn bthtngkhxngsxrnin nLabekhathungcak https th wikipedia org w index php title bthtngkhxngsxrn amp oldid 9251159, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม