ผลพวงเชิงตรรกะ

"ดังนั้น" และ "เพราะฉะนั้น" เปลี่ยนทางมาที่นี่ สำหรับสัญลักษณ์ ∴ ดูที่เครื่องหมายดังนั้น.

"⊧" เปลี่ยนทาง มาที่นี่ สำหรับสัญลักษณ์ ดูที่ เทิร์นสไตล์คู่

ผลพวงเชิงตรรกะ (อังกฤษ: Logical consequence หรือ entailment) เป็นแนวคิด (concept) พื้นฐานในวิชาตรรกศาสตร์ซึ่งอธิบายความสัมพันธ์ซึ่งเป็นจริงระหว่างข้อความเมื่อข้อความหนึ่งเป็นผลมาจากข้อความอื่นหนึ่งข้อขึ้นไป การอ้างเหตุผลซึ่งมีตรรกะที่สมเหตุสมผลเป็นการอ้างเหตุผลซึ่งข้อสรุป (consequent) เป็นผลมาจากข้อตั้งเพราะข้อสรุปเป็นผลพวงมาจากข้อตั้ง การวิเคราะห์ (philosophical analysis) ผลพวงเชิงตรรกะในเชิงปรัชญาประกอบไปด้วยการตั้งคำถามเช่น: ข้อสรุปเป็นผลมาจากข้อนำในแง่อะไรไหน? และการที่ข้อสรุปเป็นผลพวงจากข้อนำหมายความว่าอะไร? ทั้งหมดทั้งมวลของตรรกศาสตร์เชิงปรัชญา (Philosophical logic) ตั้งใจที่จะอธิบายธรรมชาติของผลพวงและความจริงเชิงตรรกะ (logical truth)

ผลพวงเชิงตรรกะจำเป็นและเป็นรูปนัย (formalism (philosophy of mathematics)) ตามตัวอย่างที่อธิบายโดยการพิสูจน์เชิงรูปนัย (formal proof) และตัวแบบการตีความ (interpretation (logic)) ประโยคหนึ่งเป็นผลพวงเชิงตรรกะของเซตของประโยคในภาษา (formal language) ที่กำหนดภาษาหนึ่งก็ต่อเมื่อประโยคนั้นจะเป็นจริงเมื่อประโยคทุกประโยคในเซตนั้นเป็นจริงโดยวิธีการทางตรรกะเท่านั้น (ไม่สนใจการตีความส่วนตัว)

นักตรรกวิทยาให้คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะว่าด้วยภาษา ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ที่กำหนดอย่างละเอียด ไม่ว่าด้วยการสร้างระบบนิรนัย (deductive system) สำหรับ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ หรือด้วยการตีความที่ตั้งใจ (intended interpretation) เชิงรูปนัยสำหรับภาษา ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ นักตรรกวิทยาชาวโปแลนด์ อัลเฟรด ทาร์สกี (Alfred Tarski) ได้ระบุลักษณะเฉพาะสามลักษณะของผลพวงเชิงตรรกะ: (1) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับรูปตรรกะ (logical form) ของประโยค (2) ความสัมพันธ์เป็นแบบก่อนประสบการณ์ (a priori and a posteriori) นั่นคือมันสามารถถูกระบุได้โดยไม่จำเป็นต้องใช้หลักฐานเชิงประสบการณ์ (หลักฐานจากประสาทสัมผัส) และ (3) ความสัมพันธ์แบบผลพวงเชิงตรรกะมีส่วนประกอบอัญรูป (modal logic)

คำอธิบายเชิงรูปนัย

มุมมองเรื่องการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายที่สุดคือด้วยการอาศัยรูปแบบ นั่นหมายความว่าข้อความหนึ่งจะเป็นผลมาจากอีกข้อความหนึ่งหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับโครงสร้างหรือรูปตรรกะของข้อความนั้นโดยไม่สนใจถึงเนื้อหาซึ่งอยู่ในรูปนั้น

คำอธิบายเชิงวากยสัมพันธ์ของผลพวงเชิงตรรกะขึ้นอยู่กับเค้าร่างซึ่งใช้กฎการอนุมาน (inference rule) ตัวอย่างเช่นเราสามารถแสดงรูปตรรกะของการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลได้ว่า

ทุก X เป็น Y

ทุก Y เป็น Z

เพราะฉะนั้น ทุก X เป็น Z.

การอ้างเหตุผลอันนี้สมเหตุสมผลแบบรูปนัยเนื่องจากกรณี (Substitution (logic)) ของการอ้างเหตุผลซึ่งใช้เค้าร่างเช่นนี้ทุกกรณีนั้นสมเหตุสมผล

ซึ่งนี่ตรงกันข้ามกับการอ้างเหตุผลเช่น "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์ เพราะฉะนั้นสมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เพราะการอ้างเหตุผลแบบนี้ขึ้นอยู่กับความหมายของคำว่า "พี่ชาย" "ลูก" และ "หลาน" ข้อความ "สมชายเป็นหลานของสมพงษ์" เป็นสิ่งที่เรียกว่าผลพวงเชิงเนื้อหา (material consequence) ของ "สมชายเป็นลูกของพี่ชายของสมพงษ์" และไม่ใช่ผลพวงรูปนัย (formal consequence) ผลพวงรูปนัยจำเป็นต้องเป็นจริงในทุกกรณี แต่ทว่านี่คือนิยามของผลพวงรูปนัยที่ไม่สมบูรณ์เพราะแม้การอ้างเหตุผลว่า "P เป็นลูกของพี่ชายของ Q เพราะฉะนั้น P เป็นหลานของ Q" จะเป็นจริงในทุกกรณีก็ตามที แต่ก็ยังไม่ใช่การอ้างเหตุผลรูปนัย

คุณสมบัติก่อนประสบการณ์ของผลพวงเชิงตรรกะ

เมื่อเรารู้ว่า ${\displaystyle Q}$  เป็นผลโดยตรรกะมาจาก ${\displaystyle P}$  แล้วความหมายของ ${\displaystyle P}$  หรือ ${\displaystyle Q}$  ที่เป็นไปได้อันใดก็ตามจะไม่ส่งผลใด ๆ ต่อความเป็นผลโดยตรรกะระหว่างทั้งสองที่เรารู้ ไม่มีความรู้เชิงประจักษ์ (A priori and a posteriori) ใดที่สามารถมีอิทธิพลต่อความรู้ของเราว่า ${\displaystyle Q}$  เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ ${\displaystyle P}$  เราสามารถรู้ว่าการอ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผลแบบนิรนัยได้โดยไม่พึ่งประสบการณ์และจึงต้องสามารถรู้ได้ก่อนประสบการณ์ (a priori) อย่างไรก็ตามเราไม่สามารถรับประกันได้ว่าผลพวงเชิงตรรกะไม่ได้รับอิทธิพลจากความรู้เชิงประจักษ์ได้ด้วยเพียงรูปแบบหรือความเป็นรูปนัย (formality) คุณสมบัติก่อนประสบการณ์ของผลพวงเชิงตรรกะจึงได้ถือว่าเป็นอิสระจากรูปแบบ

การพิสูจน์และตัวแบบ

เทคนิคการอธิบายผลพวงเชิงตรรกะที่แพร่หลายสองแบบคือการแสดงแนวคิดในแง่ของการพิสูจน์ (proof) และผ่านตัวแบบ (model) ทฤษฎีการพิสูจน์ (proof theory) คือการศึกษาถึงผลพวงทางไวยากรณ์ (ของตรรกะอันหนึ่ง) ในขณะที่การศึกษาถึงผลพวงทางอรรถศาสตร์หรือทางความหมาย (ของตรรกะอันหนึ่ง) คือทฤษฎีตัวแบบ (model theory)

ผลพวงทางไวยากรณ์

ดูเพิ่มเติมที่: ∴ และ ⊢

สูตรหรือ formula ${\displaystyle A}$  เป็นผลพวงทางไวยากรณ์ (อังกฤษ: syntactic consequence) ของเซตของสูตร ${\displaystyle \Gamma }$  ในระบบรูปนัย ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$  (formal system) ระบบหนึ่ง เมื่อมีการสืบสมุฏฐาน (formal proof) ${\displaystyle A}$  จากเซตของ ${\displaystyle \Gamma }$  ใน ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$ 

${\displaystyle \Gamma \vdash _{\mathcal {FS}}A}$ 

ผลพวงทางไวยากรณ์ไม่ขึ้นอยู่กับการตีความระบบรูปนัยในแบบใด ๆ

ผลพวงทางความหมาย

ดูเพิ่มเติมที่: ⊨

สูตรหรือ formula ${\displaystyle A}$  เป็นผลพวงทางความหมาย (อังกฤษ: semantic consequence) ของเซตของข้อความ ${\displaystyle \Gamma }$  ในระบบรูปนัย ${\displaystyle {\mathcal {FS}}}$  ระบบหนึ่ง

${\displaystyle \Gamma \models _{\mathcal {FS}}A,}$ 

ก็ต่อเมื่อไม่มีตัวแบบ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$  ใด ๆ ที่ในนั้นสมาชิกของ ${\displaystyle \Gamma }$  เป็นจริงแต่ ${\displaystyle A}$  จะเป็นเท็จ หรือพูดอีกแบบหนึ่งคือ เซตของการตีความสมาชิกใน ${\displaystyle \Gamma }$  ที่ทำให้ทั้งหมดเป็นจริงนั้นเป็นเซตย่อยของเซตของการตีความที่ทำให้ ${\displaystyle A}$  เป็นจริง

คำอธิบายเชิงอัญรูป

คำอธิบายผลพวงเชิงตรรกะทางอัญรูป (modal logic) เป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:

${\displaystyle \Gamma }$  ${\displaystyle \vdash }$  ${\displaystyle A}$  เป็นจริงก็ต่อเมื่อมันจำเป็น ที่หากสมาชิกของ ${\displaystyle \Gamma }$  ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว ${\displaystyle A}$  เป็นจริง

ในทางกลับกัน (หรือคนส่วนใหญ่จะบอกว่าในทางเดียวกัน):

${\displaystyle \Gamma }$  ${\displaystyle \vdash }$  ${\displaystyle A}$  เป็นจริงก็ต่อเมื่อมันเป็นไปไม่ได้ ที่สมาชิกของ ${\displaystyle \Gamma }$  ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว ${\displaystyle A}$  เป็นเท็จ

คำอธิบายแบบนี้เป็น "เชิงอัญรูป" เพราะมันอาศัยความจำเป็นเชิงตรรกะ (logical truth) และความเป็นไปได้เชิงตรรกะ (logical possibility) ซึ่งเป็นแนวคิดเชิงอัญรูป 'มันจำเป็นที่' เป็นวลีที่มักถูกแสดงเป็นตัวบ่งปริมาณทั้งหมดบนโลกที่เป็นไปได้ (possible world) คำอธิบายด้านบนจึงสามารถแปลได้เป็น:

${\displaystyle \Gamma }$  ${\displaystyle \vdash }$  ${\displaystyle A}$  เป็นจริงก็ต่อเมื่อไม่มีโลกที่เป็นไปได้ที่สมาชิกของ ${\displaystyle \Gamma }$  ทั้งหมดเป็นจริง แล้ว ${\displaystyle A}$  เป็นเท็จ (ไม่จริง)

พิจารณาคำอธิบายเชิงอัญรูปในรูปของการให้เหตุผลซึ่งได้ให้ตัวอย่างไว้ด้านบน:

กบทุกตัวสีเขียว

เคอร์มิตเป็นกบ

เพราะฉะนั้น เคอร์มิตตัวสีเขียว

ข้อสรุปเป็นผลพวงเชิงตรรกะของข้อตั้งเพราะเราไม่สามารถจินตนาการถึงโลกที่เป็นไปได้ใด ๆ เลยที่ (ก) กบทุกตัวสีเขียว (ข) เคอร์มิตเป็นกบ แล้ว (ค) เคอร์มิตตัวสีไม่เขียว

คำอธิบายเชิงอัญรูป-รูปนัย

คำอธิบายเชิงอัญรูป-รูปนัยรวมเอาคำอธิบายแบบรูปนัยและอัญรูปเข้าด้วยกันและให้ผลออกมาเป็นรูปแปรผันของใจความพื้นฐานดังนี้:

${\displaystyle \Gamma }$  ${\displaystyle \vdash }$  ${\displaystyle A}$  ก็ต่อเมื่อหากมันเป็นไปไม่ได้ที่การอ้างเหตุผลซึ่งมีรูปตรรกะเดียวกันกับ ${\displaystyle \Gamma }$ /${\displaystyle A}$  จะมีข้อตั้งที่เป็นจริงและข้อสรุปที่เป็นเท็จ

คำอธิบายบนเหตุผลสนับสนุน

คำอธิบายซึ่งได้พิจารณาไว้ด้านบนทั้งหมดเป็นแบบ "ถนอมความจริง" (truth-preservational) ซึ่งหมายความว่าเป็นคำอธิบายที่ถือว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปเท็จที่มาจากข้อตั้งที่เป็นจริง แต่ในอีกทางหนึ่งคำอธิบายแบบ "ถนอมเหตุผลสนับสนุน" (warrant-preservational) ก็ถูกนำเสนอมาโดยบอกว่าคุณลักษณะของการอนุมานที่ดีคือการอนุมานที่ไม่ยอมให้มีข้อสรุปที่ไม่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ซึ่งมาจากข้อตั้งที่สามารถยืนยันด้วยเหตุผลสนับสนุนได้ และคำอธิบายนี้เป็นแบบที่นิยมโดยนักสหัชญาณนิยม (intuitionism) เช่น ไมเคิล ดัมเม็ตต์ (Michael Dummett)

ผลพวงเชิงตรรกะไม่เป็นทางเดียว

ดูเพิ่มเติมที่: ตรรกศาสตร์ไม่เป็นทางเดียว

คำอธิบายซึ่งถูกพิจารณาด้านบนทั้งหมดให้ผลเป็นความสัมพันธ์แบบผลพวงทางเดียว (Monotonicity of entailment) หรือก็คือแบบที่ถ้า ${\displaystyle A}$  เป็นผลพวงของ ${\displaystyle \Gamma }$  แล้ว ${\displaystyle A}$  จะเป็นผลพวงของซูเปอร์เซตใด ๆ ของ ${\displaystyle \Gamma }$  ด้วย เราสามารถระบุความสัมพันธ์แบบผลพวงไม่เป็นทางเดียว (Non-monotonic logic) เพื่อแสดงให้ดูว่าข้อความเช่น 'เจ้าขุนทองบินได้' เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ

{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก}

แต่ไม่เป็นผลพวงเชิงตรรกะของ

{นกโดยปกติแล้วบินได้, เจ้าขุนทองเป็นนก, เจ้าขุนทองเป็นนกเพนกวิน}.

ดูเพิ่ม

• Ampheck
• การให้เหตุผลแบบนิรนัย
• กฎของเพิร์ซ (Peirce's law)
• กราฟเชิงตรรกะ (Logical graph)
• เครื่องหมายดังนั้น (Therefore sign)
• แคลคูลัสเชิงประพจน์
• ความสมเหตุสมผล (Validity (logic))
• เงื่อนไขเข้มงวด (Strict conditional)
• โดเมนแบบบูล
• ตรรกศาสตร์เชิงน่าจะเป็น (Probabilistic logic)
• ตรรกศาสตร์เชิงพีชคณิตนามธรรม (Abstract algebraic logic)
• เทิร์นสไตล์ (Turnstile (symbol))
• เทิร์นสไตล์คู่ (Double turnstile)
• ประตูสัญญาณตรรกะ
• ผลพวงเชิงสัจนิรันดร์ (Tautological consequence)
• พีชคณิตแบบบูล
• ฟังก์ชันแบบบูล (Boolean function)
• สัจนิรันดร์ (Tautology (logic))
• เหตุภาพ

อ้างอิง

1. Beall, JC and Restall, Greg, Logical Consequence The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2009 Edition), Edward N. Zalta (ed.).
2. Quine, Willard Van Orman, Philosophy of Logic.
3. McKeon, Matthew, Logical Consequence Internet Encyclopedia of Philosophy.
4. Kosta Dosen (1996). "Logical consequence: a turn in style". ใน Maria Luisa Dalla Chiara; Kees Doets; Daniele Mundici; Johan van Benthem (บ.ก.). Logic and Scientific Methods: Volume One of the Tenth International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science, Florence, August 1995. Springer. p. 292. ISBN 978-0-7923-4383-7.
5. Dummett, Michael (1993) Frege: philosophy of language Harvard University Press, p.82ff
6. Lear, Jonathan (1986) Aristotle and Logical Theory Cambridge University Press, 136p.
7. Creath, Richard, and Friedman, Michael (2007) The Cambridge companion to Carnap Cambridge University Press, 371p.
8. FOLDOC: "syntactic consequence" 2013-04-03 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน
9. Hunter, Geoffrey, Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic, University of California Pres, 1971, p. 75.
10. Etchemendy, John, Logical consequence, The Cambridge Dictionary of Philosophy

บรรณานุกรม

• Anderson, A.R.; Belnap, N.D., Jr. (1975), Entailment, 1, Princeton, NJ: Princeton.
• Augusto, Luis M. (2017), Logical consequences. Theory and applications: An introduction. London: College Publications. Series: Mathematical logic and foundations.
• Barwise, Jon; Etchemendy, John (2008), Language, Proof and Logic, Stanford: CSLI Publications.
• Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY, 2003.
• Davis, Martin, (editor) (1965), The Undecidable, Basic Papers on Undecidable Propositions, Unsolvable Problems And Computable Functions, New York: Raven Press, ISBN 9780486432281CS1 maint: extra text: authors list (link). Papers include those by Gödel, Church, Rosser, Kleene, and Post.
• Dummett, Michael (1991), The Logical Basis of Metaphysics, Harvard University Press, ISBN 9780674537866.
• Edgington, Dorothy (2001), Conditionals, Blackwell in Lou Goble (ed.), The Blackwell Guide to Philosophical Logic.
• Edgington, Dorothy (2006), "Indicative Conditionals", Conditionals, Metaphysics Research Lab, Stanford University in Edward N. Zalta (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Etchemendy, John (1990), The Concept of Logical Consequence, Harvard University Press.
• Goble, Lou, ed. (2001), The Blackwell Guide to Philosophical Logic, BlackwellCS1 maint: extra text: authors list (link).
• Hanson, William H (1997), "The concept of logical consequence", The Philosophical Review, 106 (3): 365–409, doi:10.2307/2998398, JSTOR 2998398 365–409.
• Hendricks, Vincent F. (2005), Thought 2 Talk: A Crash Course in Reflection and Expression, New York: Automatic Press / VIP, ISBN 978-87-991013-7-5
• Planchette, P. A. (2001), Logical Consequence in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
• Quine, W.V. (1982), Methods of Logic, Cambridge, MA: Harvard University Press (1st ed. 1950), (2nd ed. 1959), (3rd ed. 1972), (4th edition, 1982).
• Shapiro, Stewart (2002), Necessity, meaning, and rationality: the notion of logical consequence in D. Jacquette, ed., A Companion to Philosophical Logic. Blackwell.
• Tarski, Alfred (1936), On the concept of logical consequence Reprinted in Tarski, A., 1983. Logic, Semantics, Metamathematics, 2nd ed. Oxford University Press. Originally published in Polish and German.
• Ryszard Wójcicki (1988). Theory of Logical Calculi: Basic Theory of Consequence Operations. Springer. ISBN 978-90-277-2785-5.
• A paper on 'implication' from math.niu.edu, Implication
• A definition of 'implicant' AllWords

แหล่งข้อมูลอื่น

• Beall, Jc; Restall, Greg (2013-11-19). "Logical Consequence". ใน Zalta, Edward N. (บ.ก.). Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2016 ed.).
• "Logical consequence". Internet Encyclopedia of Philosophy.
• Logical consequence ที่ Indiana Philosophy Ontology Project
• Logical consequence and entailment ที่ PhilPapers
• Hazewinkel, Michiel, บ.ก. (2001), "Implication", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4