รากที่สองของสอง

รากที่ 2 ของ 2 หรือที่รู้จักในชื่อ ค่าคงตัวของพีทาโกรัส เขียนแทนด้วย √2 เป็นจำนวนจริงบวกที่เมื่อคูณกับตัวเองแล้วจะมีค่าเท่ากับ 2 มีค่าประมาณ 1.414213562373095

ในทางเรขาคณิต รากที่สองของสองคือความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 1 หน่วย ความยาวนี้เป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งรากที่สองของสองนี้ถือเป็นจำนวนอตรรกยะจำนวนแรกที่เป็นที่รู้จัก

ประวัติ

จากหลักฐานบันทึกบนก้อนโคลนของชาวบาบิโลนเผยให้เห็นค่าประมาณของ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  ในรูปผลบวกของเลขพหุคูณของ ${\displaystyle {\frac {1}{60}}}$  จำนวน 4 พจน์ ซึ่งมีค่าใกล้เคียงถึงทศนิยมตำแหน่งที่หก

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}=1.41421{\overline {296}}.}$ 

บันทึกในหนังสือ Sulbasutras ของชาวอินเดียโบราณ (800-200 ปีก่อนคริสตกาล) ได้กล่าวถึงค่าประมาณของรากที่สองไว้คือ เป็นการเพิ่มความยาว (ของด้าน) ด้วยหนึ่งในสามเท่าของค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสี่เท่าของหนึ่งในสามเท่าค่านั้น แล้วเพิ่มด้วยหนึ่งในสามสิบสี่เท่าของค่าหนึ่งในสี่เท่าค่านั้น:-

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}-{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 34}}={\frac {577}{408}}\approx 1.414215686.}$ 

การค้นพบจำนวนอตรรกยะนี้ ถือเป็นผลงานที่สำคัญของฮิปปาซุส (ศิษย์ในสำนักของพีทาโกรัส) ซึ่งเป็นผู้ที่พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของรากที่สองของสอง เป็นที่เชื่อกันตามคำกล่าวว่าพีทาโกรัสเชื่อในความสมบูรณ์แบบของจำนวนและทำให้ไม่ยอมรับในการค้นพบจำนวนอตรรกยะ ถึงแม้ว่าพีทาโกรัสจะไม่สามารถพิสูจน์ความไม่มีอยู่ของจำนวนอตรรกยะได้ แต่เขาก็ได้สั่งลงโทษประหารฮิปปาซุสโดยการกดน้ำ ตำนานอื่นเล่าว่าเขาถูกฆ่ากดน้ำโดยศิษย์คนอื่นของพีทาโกรัส หรืออาจถูกขับออกจากสำนัก

วิธีการทำ

นักคณิตศาสตร์ได้ค้นหาวิธีการคำนวณรากที่สองของสองในรูปแบบต่างๆ กันเพื่อเขียนค่าประมาณใกล้เคียงของรากที่สองของสองออกมาในรูปของอัตราส่วนของจำนวนเต็มหรือเลขทศนิยม หนึ่งในวิธีการที่ถือว่าเป็นเบื้องต้นที่สุดคือขั้นตอนวิธีของบาบิโลเนียเพื่อคำนวณรากที่สองของสอง ซึ่งถือเป็นพื้นฐานการคำนวณของคอมพิวเตอร์และเครื่องคิดเลข ขั้นตอนวิธีเพื่อหารากที่สอง (อาจใช้เพื่อหารากที่สองของจำนวนใดๆ ไม่เฉพาะของสอง) ดังกล่าวสามารถทำได้ดังนี้

• เลือก a₀ >0 ค่า a₀ ที่เลือกนี้จะมีผลกระทบต่อความเร็วในการลู่เข้าสู่ค่าของ √2 ในระดับความแม่นยำหนึ่งเท่านั้น
• ใช้ฟังก์ชันเรียกตัวเองเพื่อคำนวณ a₁, a₂, a₃, ..., a_n
  

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}}$ 

• ตัวอย่างการคำนวณโดยเลือก a₀=1 ได้ผลดังนี้

a0			=	1
a1	=	3/2	=	1.5
a2	=	17/12	=	1.416...
a3	=	577/408	=	1.414215...
a4	=	665857/470832	=	1.4142135623746...

ในปี ค.ศ.1997 ทีมของยาซูมาสะ คานาดะได้คำนวณค่าของ √2 แม่นยำถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 137,438,953,444

เดือนกุมภาพันธ์ปี ค.ศ.2006 ความท้าทายในการคำนวณค่าของ √2 ได้ถูกทำให้หมดไปด้วยการใช้คอมพิวเตอร์บ้าน ชิเกรุ คอนโดได้คำนวณค่าประมาณใกล้เคียงของ √2 ถึงทศนิยมตำแหน่งที่ 200,000,000,000 ในเวลา 13 วัน 14 ชั่วโมง โดยใช้เครื่องคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลขนาด 3.6 GHz และหน่วยความจำ 16 Gb

อย่างไรก็ดี เป็นที่ยอมรับกันทั่วไปว่าในจำนวนค่าคงตัวอตรรกยะทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่ถือเป็นความท้าทายต่อนักคณิตศาสตร์ที่จะเขียนในรูปของทศนิยมไม่รู้จบ ค่า π ดูจะเป็นจำนวนที่ถูกประมาณได้แม่นยำละเอียดสูงสุด

การพิสูจน์ความเป็นอตรรกยะ

√2 สามารถพิสูจน์ว่าเป็นอตรรกยะได้ผ่านการพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง:

1. สมมุติว่า √2 เป็นจำนวนตรรกยะ แสดงว่า √2 สามารถเขียนเป็นเศษส่วนที่มีเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็ม และเป็นเศษส่วนอย่างต่ำได้ สมมุติว่าเศษส่วนนี้คือ a/b ดังนั้น a และ b จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่ไม่มีตัวประกอบร่วม
2. จาก √2 = a/b จะได้ √2 b = a ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้ 2b² = a²
3. จาก 2b² = a² แสดงว่า a² เป็นจำนวนคู่
4. ดังนั้น a เป็นจำนวนคู่ (เพราะถ้า a เป็นจำนวนคี่ a² จะเป็นคี่) นั่นคือ a = 2k สำหรับบางจำนวนเต็ม k
5. แทน a = 2k ในข้อ 3 จะได้ 2b² = (2k)² = 4k² ดังนั้น b² = 2k² และ b² เป็นจำนวนคู่
6. ดังนั้น b ก็เป็นจำนวนคู่ ซึ่งขัดแย้งกับข้อสมมุติในตอนแรก เพราะ a และ b มี 2 เป็นตัวประกอบร่วม

ดังนั้นข้อสมมุติว่า √2 เป็นจำนวนตรรกยะ นำไปสู่ข้อขัดแย้ง √2 จึงต้องเป็นจำนวนอตรรกยะ

ขนาดกระดาษ

√2 ถูกใช้เป็นค่าสัดส่วนของการผลิตกระดาษตามมาตรฐาน ISO 216 (A4,A3,A0,ฯลฯ)สัดส่วนนี้ถูกตั้งขึ้นเพื่อให้แน่ใจว่าทุกครั้งที่ทำการตัดครึ่งตามขวางกระดาษที่มีสัดส่วนเท่ากับ √2 กระดาษที่ถูกตัดจะยังคงมีสัดส่วนยาว:กว้างคงที่ คือ เป็น√2 เท่าเดิม

ความสับสนในภาษาไทย

คำว่า ราก ในทางคณิตศาสตร์นั้น มีความหมายในเชิงผลลัพธ์ที่ได้จากการแก้สมการทางคณิตศาสตร์ การกล่าวถึง รากที่สองของสอง จึงมีความหมายเดียวกับผลลัพธ์ของสมการ x²=2 นั่นคือ +√2 และ -√2

เครื่องหมาย กรณฑ์ ในทางคณิตศาสตร์ ใช้เพื่อเรียกเครื่องหมาย square root หรือ √ การกล่าวถึง กรณฑ์ที่สองของสอง จึงเป็นการหมายถึง รากที่สองที่เป็นบวกของสอง นั่นคือ +√2 เท่านั้น

อย่างไรก็ดีในปัจจุบัน การเรียก รากที่สองของสอง แต่ไม่ได้หมายความว่าเป็นรากที่สองอย่างเดียว แต่เป็นรากที่ 8 ด้วย ถูกเข้าใจกันโดยทั่วไปว่าหมายถึงรากที่สองที่เป็นบวกของสองแต่เพียงอย่างเดียว เพื่อป้องกันความเข้าใจที่คลาดเคลื่อนจึงจำเป็นต้องอาศัยบริบทในการพิจารณา

อ้างอิง

1. Fowler and Robson, p. 368.
   Photograph, illustration, and description of the root (2) tablet from the Yale Babylonian Collection
   High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root (2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
2. Henderson.
3. Washingtonpost.com: The Mystery Of The Aleph: Mathematics, the Kabbalah, and the Search for Infinity
4. Hippasus of Metapontum (ca. 500 BC) - from Eric Weisstein's World of Scientific Biography
5. Although the term "Babylonian method" is common in modern usage, there is no direct evidence showing how the Babylonians computed the approximation of √2 seen on tablet YBC 7289. Fowler and Robson offer informed and detailed conjectures.
   Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.
6. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/Records.html Constants and Records of Computation
7. Number of known digits
8. Rudin, Walter (1976). "Chapter 1: The Real and Complex Number Systems". Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). p. 2.