รายการสัญลักษณ์ที่ใช้กับตรรกศาสตร์

สำหรับคณิตศาสตร์ สาขาตรรกศาสตร์แล้ว จะใช้สัญลักษณ์แทนสิ่งต่างๆ ซึ่งเป็นตัวเชื่อม/เงื่อนไขของประพจน์หรือประโยคเปิดนั้นๆ โดยแถวแรก จะเป็นสัญลักษณ์ แถวที่สอง จะเป็นเรื่องชื่อสัญลักษณ์/คำอ่านหมวดหมู่ และแถวที่สาม จะเป็นคำอธิบาย ส่วนแถวสุดท้าย จะเป็นการแสดงตัวอย่าง

สัญลักษณ์พื้นฐาน

สัญลักษณ์	ชื่อ	คำอธิบาย	ตัวอย่าง
	คำอ่าน
	หมวดหมู่
${\displaystyle \Rightarrow }$  ${\displaystyle \rightarrow }$  ${\displaystyle \supset }$	เงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์	${\displaystyle \mathrm {A} \Rightarrow \mathrm {B} }$ จะเป็นเท็จได้ ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \mathrm {A} }$ เป็นจริง และ ${\displaystyle \mathrm {B} }$ เป็นเท็จเท่านั้น ${\displaystyle \rightarrow }$ อาจมีความหมายเหมือนกับ ${\displaystyle \Rightarrow }$  (สัญลักษณ์นี้อาจะแสดงถึงโดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชันใดๆ ดูเพิ่มที่รายการสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์) หรือเขียน ${\displaystyle \supset }$ แทน ${\displaystyle \Rightarrow }$ ก็ได้ (อาจหมายถึงซูเปอร์เซต)	${\displaystyle {\displaystyle x=2\Rightarrow x^{2}=4}}$ เป็นจริง แต่ ${\displaystyle {\displaystyle x^{2}=4\Rightarrow x=2}}$ เป็นเท็จ เพราะ ${\displaystyle x}$ เป็น ${\displaystyle -2}$ ได้
	ถ้า...แล้ว...
	แคลคูลัสเชิงประพจน์, พีชคณิตเฮย์ทิง
${\displaystyle \Leftrightarrow }$  ${\displaystyle \equiv }$  ${\displaystyle \leftrightarrow }$	ก็ต่อเมื่อ	${\displaystyle \mathrm {A} \Leftrightarrow \mathrm {B} }$ จะเป็นจริงได้ ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \mathrm {A} }$ และ${\displaystyle \mathrm {B} }$ มีค่าความจริงเหมือนกัน	${\displaystyle {\displaystyle x+5=y+2\Leftrightarrow x+3=y}}$
	...ก็ต่อเมื่อ...
	แคลคูลัสเชิงประพจน์
${\displaystyle \neg }$  ${\displaystyle ~\sim }$  ${\displaystyle !}$	นิเสธ	${\displaystyle \neg \mathrm {A} }$ จะเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \mathrm {A} }$ เป็นเท็จ	${\displaystyle {\displaystyle \neg (\neg A)\Leftrightarrow A}}$  ${\displaystyle {\displaystyle x\neq y\Leftrightarrow \neg (x=y)}}$
	นิเสธ, น็อท
	แคลคูลัสเชิงประพจน์
${\displaystyle \land }$  ${\displaystyle \And }$  ${\displaystyle \cdot }$	การเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์	${\displaystyle \mathrm {A} \land \mathrm {B} }$ จะเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \mathrm {A} }$ และ ${\displaystyle \mathrm {B} }$ เป็นจริงเท่านั้น	${\displaystyle n=4\land n>2\Leftrightarrow n=3|n\in \mathbb {N} }$
	...และ...
	แคลคูลัสเชิงประพจน์, พีชคณิตแบบบูล
${\displaystyle \lor }$  ${\displaystyle +}$  ${\displaystyle ||}$	การเลือกเชิงตรรกศาสตร์	${\displaystyle \mathrm {A} \lor \mathrm {B} }$ จะเป็นเท็จ ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \mathrm {A} }$ และ${\displaystyle \mathrm {B} }$ เป็นเท็จเท่านั้น	${\displaystyle n\geq 4\lor n\leq 2\Leftrightarrow n\neq 3|n\in \mathbb {N} }$
	หรือ
	แคลคูลัสเชิงประพจน์, พีชคณิตแบบบูล
${\displaystyle \oplus }$  ${\displaystyle \veebar }$	เฉพาะ หรือ	${\displaystyle \mathrm {A} \oplus \mathrm {B} }$ จะเป็นจริง ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \mathrm {A} }$ หรือ ${\displaystyle \mathrm {B} }$ อย่างใดอย่างหนึ่งเป็นจริงเท่านั้น ใช้ ${\displaystyle \mathrm {A} \veebar \mathrm {B} }$ ก็ได้	${\displaystyle (\neg \mathrm {A} )\oplus \mathrm {A} }$ เป็นจริงเสมอ แต่ ${\displaystyle \mathrm {A} \oplus \mathrm {A} }$ เป็นเท็จเสมอ
	เฉพาะ/หรือ
	แคลคูลัสเชิงประพจน์, พีชคณิตแบบบูล
${\displaystyle \top }$  ${\displaystyle \mathrm {T} }$  ${\displaystyle 1}$	สัจนิรันดร์	${\displaystyle \top \mathrm {A} }$  แล้ว ${\displaystyle \mathrm {A} }$ จะเป็นจริงเสมอ	${\displaystyle \mathrm {A} \Rightarrow T}$  เป็นจริงเสมอ
	สัจนิรันดร์
	แคลคูลัสเชิงประพจน์, พีชคณิตแบบบูล
${\displaystyle \bot }$  ${\displaystyle \mathrm {F} }$  ${\displaystyle 0}$	ความขัดแย้ง	${\displaystyle \bot \mathrm {A} }$ แล้ว ${\displaystyle \mathrm {A} }$ จะเป็นเท็จเสมอ	${\displaystyle \bot \Rightarrow \mathrm {A} }$ เป็นจริงเสมอ
	ขัดแย้ง
	แคลคูลัสเชิงประพจน์, พีชคณิตแบบบูล
${\displaystyle \forall }$  ${\displaystyle ()}$	ตัวบ่งปริมาณ (ทั้งหมด)	${\displaystyle \forall x:P(x)}$ หรือ ${\displaystyle (x):P(x)}$ หมายความว่า ${\displaystyle P(x)}$ เป็นจริง สำหรับ ${\displaystyle x}$ ทุกตัว	${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :n^{2}\geq n}$
	สำหรับ...แต่ละตัว, สำหรับ...ใดๆ, ฟอร์ออล...
	First-Order Logic
${\displaystyle \exists }$	ตัวบ่งปริมาณ (บางตัว)	${\displaystyle \exists x:P(x)}$ หมายความว่า ${\displaystyle P(x)}$ เป็นจริงสำหรับ ${\displaystyle x}$ บางตัว	${\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle :n}$ เป็นจำนวนคู่
	มี...อยู่บางตัว, ฟอร์ซัม...
	First-Order Logic
${\displaystyle \exists !}$	ตัวบ่งปริมาณ (หนึ่งตัว)	${\displaystyle \exists !x:P(x)}$ หมายความว่า ${\displaystyle P(x)}$ เป็นจริงสำหรับ ${\displaystyle x}$ หนึ่งตัว	${\displaystyle \exists !n\in \mathbb {N} :n+5=2n}$
	มี...หนึ่งตัว
	First-Order Logic
${\displaystyle :=}$  ${\displaystyle \equiv }$  ${\displaystyle :\Leftrightarrow }$	บทนิยาม	${\displaystyle P\equiv Q}$ หมายความว่า P เป็นนิยามของ/สมมูลกับ Q	${\displaystyle \mathrm {cosh} x:={\frac {1}{2}}(\mathrm {exp} x+\mathrm {exp} (-x))}$ ${\displaystyle A\oplus B:\Leftrightarrow (A\lor B)\land \neg (A\land B)}$
	บทนิยามของ, สมมูลกับ
	ลำดับการดำเนินการ
	นขลิขิต, วงเล็บ
	ใช้ในทุกหมวดหมู่
	ใช้ในทุกหมวดหมู่
${\displaystyle \vdash }$	พิสูจน์ได้	${\displaystyle x\vdash y}$ หมายความว่า y พิสูจน์ได้จาก x	${\displaystyle A\rightarrow B\vdash \neg B\rightarrow \neg A}$
	พิสูจน์ได้จาก
	แคลคูลัสเชิงประพจน์, First-Order Logic
${\displaystyle \vDash }$	หมายความว่า	${\displaystyle x\vDash y}$  หมายความว่า x มีความหมายเดียวกับ y	${\displaystyle A\rightarrow B\vDash \neg B\rightarrow \neg A}$
	หมายความว่า
	แคลคูลัสเชิงประพจน์, First-Order Logic

สัญลักษณ์ขั้นสูงและไม่ค่อยมีการใช้งาน

สัญลักษณ์พวกนี้จัดเรียงตามลำดับค่ายูนิโคด

• u+00B7 : · จุดกึ่งกลาง ใช้แทน "และ"
• U+22C5 : ${\displaystyle {\bar {\cdot }}}$ จุดกึ่งกลางมีขีดข้างบน ใช้แทน "นิเสธของและ (NAND)"
• U+0305 : ${\displaystyle {\bar {}}}$ ขีดด้านบน ใช้แสดงถึงทฤษฎีตัวเลขไทโปกราฟิเชียล (Typographical Number Theory) เช่น 4̅ ใช้แทน SSSS0
  • ใช้แสดงถึงจำนวนเกอเดิล เช่น ${\displaystyle {\overline {\mathrm {A} \lor \mathrm {B} }}}$ คือจำนวนเกอเดิลของ A V B
  • ใช้แสดงถึงการนิเสธ เช่น ${\displaystyle {\overline {\mathrm {A} \lor \mathrm {B} }}}$  คือ ${\displaystyle \neg (\mathrm {A} \lor \mathrm {B} )}$ 
• U+2191 : ↑ ลูกศรชี้ขึ้น หรือ U+007C : | เส้นตรง : เส้นตรงเชฟเฟอร์ สัญลักษณ์ของนิเสธของและ (NAND)
• U+2193 : ↓ ลูกศรคว่ำหัว ลูกศรเพียร์ซ แสดงถึงการดำเนินการปฏิเสธแบบร่วม
• U+2201 : ∁ ส่วนเติมเต็ม
• U+2204 : ∄ ไม่มีเลย มีความหมายตรงกันกับ ¬∃
• U+22A8 : ⊨ เป็นจริงต่อ
• U+22AC : ⊬ พิสูจน์ไม่ได้ด้วย ตัวอย่างเช่น T ⊬ P หมายความว่า P ไม่ใช่นิยามของ T
• U+22AD : ⊭ เป็นนิเสธกับ
• U+22BC : ⊼ ตัวดำเนินการนิเสธของและ (NAND) (ในภาษา HTML)
• U+22BD : ⊽ การปฏิเสธแบบร่วม (ในภาษา HTML)
• U+25C7 : ◇ ข้าวหลามตัดโปร่ง "เป็นไปได้ว่า" "ไม่จำเป็นต้องไม่" หรือที่พบน้อยมากๆ "ไม่ได้พิสูจน์ได้ว่าไม่" (ตรรกศาสตร์โมเดลนิยามตัวนี้โดยใช้ ¬◻¬"
• U+22C6 : ⋆ ตัวดำเนินการเฉพาะ (Ad-Hoc Operators)
• U+22A5 : ⊥ ที่มีความหมายเดียวกับ ↓
• U+2310 : ⌐ ตัวผกผันของนิเสธ
• U+231C : ⌜ มุมซ้ายบน และ ⌝ มุมขวาบน หรือเรียกสองตัวนี้รวมกันว่า ไควน์โควท (Quine Quote) (อาจใช้แทนตัวแปรที่ไม่กำหนดค่าได้
  • อาจใช้ในการแสดงถึงจำนวนเกอเดิล
  • (อนึ่ง ฟอนต์บางตัว มุมซ้ายและขวาบนจะไม่เท่ากัน หรือฟอนต์บางตัว (Arial เป็นต้น) จะเป็น ⌈ และ ⌉ ไปเลย หรือในโหมดซูเปอร์สคริปต์ จะใช้ตัวนิเสธและตัวผกผันการนิเสธ (⌐ ¬) ไปเลย)
• U+25FB : ◻ กล่องสี่เหลี่ยมขาว ใช้แทนว่า "จำเป็นต้อง" ในตรรกศาสตร์เชิงโมเดล (Model Logic)
  • ใช้แทนคำว่า พิสูจน์ได้ว่า ในตรรกศาสตร์เชิงการพิสูจน์ (Provaility Logic)
  • ใช้แทนคำว่า จะเห็นได้ว่า ในตรรกศาสตร์การสังเกต (Deontic Logic)
  • ใช้แทนคำว่า เชื่อได้ว่า ในตรรกศาสตร์มโนทัศน์ (Doxastic Logic)
  • ใช้แทนประโยคว่าง (หรือ ${\displaystyle {\displaystyle \emptyset }}$ และ ⊥)

สัญลักษณ์ต่อไปนี้ จะเป็นสัญลักษณ์ที่อาจจะไม่แสดงผลในคอมพิวเตอร์บางท่าน ซึ่งการที่จะแสดงผลได้ จำเป็นต้องมีฟอนต์ที่จำเป็นสำหรับหน้าเว็บเพจต่างๆ

• U+27E2 : ⟢ ข้าวหลามตัดเบี่ยงซ้าย ใช้แทนการดำเนินการโมเดลว่า "ไม่เคย"
• U+27E3 : ⟣ ข้าวหลามตัดเบี่ยงขวา ใช้แทนการดำเนินการโมเดลว่า "จะไม่เป็น"
• U+27E4 : ⟤ กล่องโปร่งขีดซ้าย ใช้แทนการดำเนินการโมเดลว่า "เสมอมา"
• U+27E5 : ⟥ กล่องโปร่งขีดขวา ใช้แทนการดำเนินการโมเดลว่า "เสมอไป"
• U+297D : ⥽ หางปลาเบี่ยงซ้าย ใช้แทนความสัมพันธ์แบบตัวดำเนินการเฉพาะ (Ad-hoc) (ตัวอย่างเช่น การแสดงว่า "เป็นประจักษ์" ในงานของ รอสเซอร์ส ทริก) โดย ซี.ไอ. เลวิส ได้นำมาทำการนิยามให้เจาะจงขึ้น คือ ${\displaystyle {\displaystyle p}\prec {\displaystyle q\equiv \Box (p\rightarrow q)}}$ โดยในรหัส LaTeX เป็น \strictif ดูที่นี่ สำหรับรูปของหางปลาเบี่ยงซ้าย สัญลักษณ์นี้ถูกเพิ่มมาในยูนิโคด 3.2.0
• U+2A07 : ⨇ การดำเนินการและแบบซ้อน

การใช้ในประเทศต่างๆ

• โปแลนด์และเยอรมนี

ในปี 2014 โปแลนด์ ได้ใช้ ${\displaystyle \land }$ แทน ${\displaystyle \forall }$  และ ${\displaystyle \lor }$ แทน ${\displaystyle \exists }$ 

• ญี่ปุ่น

ในญี่ปุ่น บางทีมีการใช้ตัว แทนคำว่า "สรุปได้ว่า" หรือ "ผลก็คือ" เช่น "เราได้ทำการตรวจสอบแล้วว่าจะทำการขายสินค้าอะไรดี ⇒ เราจะไม่ขายอะไรทั้งนั้น" ส่วน แทนคำว่า "เปลี่ยนเป็น" เช่น "อัตราความสนใจเปลี่ยนไป คือ มีนาคม 20% → เมษายน 21%"

ดูเพิ่ม

• ตารางค่าความจริง
• รายการสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

อ่านเพิ่ม

• Józef Maria Bocheński (1959), A Précis of Mathematical Logic, trans., Otto Bird, from the French and German editions, Dordrecht, South Holland: D. Reidel

อ้างอิง

1. https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_logic_symbols#cite_note-4
2. https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_logic_symbols#cite_note-5
3. https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_logic_symbols#cite_note-6