ลำดับพรือเฟอร์

ลำดับพรือเฟอร์ (อังกฤษ: Prüfer sequence, Prüfer code หรือ Prüfer numbers) เป็นหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์เชิงการจัด, ลำดับพรือเฟอร์ ของต้นไม้ คือลำดับการเข้าร่วมกับต้นไม้ ลำดับพรือเฟอร์ สำหรับต้นไม้ที่มี n จุดยอด จะมีขนาด n-2 ตัว เสมอ และสามารถสร้างต้นไม้ได้โดยใช้ขั้นตอนวิธีที่จะกล่าวในส่วนต่อไป ลำดับพรือเฟอร์ ถูกใช้ครั้งแรกสำหรับการพิสูจน์ Cayley's formula โดยไฮนซ์ พรือเฟอร์ (Heinz Prüfer) ใน ค.ศ. 1918

นิยาม

ลำดับพรือเฟอร์ n ลำดับ คือลำดับของเลขจำนวนเต็ม (integers) :

( a1,a2,…,an−2) 

 ดังนั้น ∀i : 1 ≤ i ≤ n−2 : 1 ≤ ai ≤n

 ซึ่งจะเป็นลำดับที่มีขนาด n−2 ตัวและมีค่าระหว่าง 1 ถึง n

 แนวคิดนี้กำหนดไว้เพื่อจุดประสงค์ในการพิสูจน์ Cayley's formula 

ขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแปลงต้นไม้ไปเป็นลำดับพรือเฟอร์

กำหนด ต้นไม้ T ซึ่งสามารถนำมาสร้าง ลำดับพรือเฟอร์ ที่สามารถใช้แทนกันได้

ต้นไม้ T มี n จุดยอด ซึ่งแต่ละจุดยอดจะมีค่า 1 ถึง n ไม่ซ้ำกันในแต่ละจุดยอด

1. ถ้าต้นไม้ T มีจุดยอดทั้งหมดน้อยกว่าหรือเท่ากับ 2 ( n ≤ 2 ) จะหยุดการทำงาน ,ถ้าไม่ใช่ ทำขึ้นตอนที่ 2
2. เลือกใบของต้นไม้ที่มีค่าต่ำที่สุด
3. นำค่าจากใบที่ติดกับใบที่เราเลือกใส่ลงใน ลำดับพรือเฟอร์
4. ลบใบที่เราเลือกออกจากต้นไม้ แล้ววนกลับไปทำขั้นตอนที่ 1 ใหม่

• ความจำกัด (อังกฤษ: Finiteness) : ทุกครั้งที่ผ่านขั้นตอนที่ 4 จุดยอดจะหายไป 1 จุดเสมอ เมื่อผ่านไป n-2 รอบ จะเหลือจุดยอดเพียง 2 จุด ขั้นตอนวิธีก็จะหยุดทำงาน
  
• ข้อมูลนำเข้า (อังกฤษ: Inputs) : ต้นไม้ T
  
• ข้อมูลนำออก (อังกฤษ: Outputs) : ลำดับพรือเฟอร์ ซึ่งมีขนาด n-2 ตัว
  

ขั้นตอนวิธีที่ใช้ในการแปลงลำดับพรือเฟอร์ไปเป็นต้นไม้

Pseudocode

กำหนด ลำดับพรือเฟอร์ ขนาด n ตัว {a[1], a[2], ..., a[n]} จะแปลงได้ต้นไม้ที่มีจุดยอด n+2 จุด

 Convert-Prüfer-to-Tree (a) 1 n ← length[a] 2 T ← a graph with n + 2 isolated nodes, numbered 1 to n + 2 3 degree ← an array of integers 4 for each node i in T 5 do degree[i] ← 1 6 for each value i in a 7 do degree[i] ← degree[i] + 1 

ทำการสร้างเส้นเชื่อม (edge) ระหว่างจุดยอดโดยเลือกจากใบที่อยู่ล่างสุดของ tree

 8 for each value i in a 9 for each node j in T 10 if degree[j] = 1 11  then Insert edge[i, j] into T 12  degree[i] ← degree[i] - 1 13  degree[j] ← degree[j] - 1 14  break 

ทำการสร้างเส้นเชื่อม (edge) กับจุดยอดที่เหลืออันสุดท้ายเข้ากับต้นไม้

15 u ← v ← 0 16 for each node i in T 17 if degree[i] = 1 18 then if u = 0 19  then u ← i 20  else v ← i 21  break 22 Insert edge[u, v] into T 22 degree[u] ← degree[u] - 1 23 degree[v] ← degree[v] - 1 24 return T 

Cayley's formula

ลำดับพรือเฟอร์ ของต้นไม้ที่มี n จุดยอดนั้น จะชัดเจนแล้วว่าลำดับพรือเฟอร์ จะมีขนาด n − 2 และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n แต่สิ่งที่ชัดเจนน้อยกว่าคือ ถ้าให้ลำดับพรือเฟอร์ ขนาด n-2 ช่อง และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n จะมีต้นไม้ที่แปลงจาก ลำดับพรือเฟอร์ นั้นออกมาเป็นต้นไม้ได้ ผลที่ได้ตามมาก็คือ ลำดับพรือเฟอร์ ให้ bijection ระหว่าง กลุ่มของต้นไม้ที่มี n จุดยอด กับ กลุ่มของลำดับพรือเฟอร์ ที่มีขนาด n-2 ตัว และค่าในแต่ละลำดับจะอยู่ระหว่าง 1 ถึง n ซึ่งในกลุ่มของลำดับพรือเฟอร์ มีขนาด n^n-2 ดังนั้นการมี bijection นี้แสดงถึงการพิสูจน์ Cayley's formula เช่น จะมีต้นไม้ที่มี n จุดยอด n^n-2 ต้น

ตัวอย่างการประยุกต์ใช้

• Cayley's formula สามารถนำไปพิสูจน์เรื่องต่อไปนี้: จำนวน spanning tree ใน complete graph K_n ที่มีชั้น d₁,d₂,...,d_n จะเท่ากับ (n-2) !/ (d1-1) ! (d2-1) !... (dn-1) ! การพิสูจน์จะเห็นได้ว่าในลำดับพรือเฟอร์ ลำดับที่ i จะปรากฏตรงกับ (d_i − 1) ครั้ง
• Cayley's formula ทั่วไป : ต้นไม้ที่เป็น spanning tree ใน complete graph โดยจำกัดการนับ ลำดับพรือเฟอร์ ซึ่งวิธีการคล้ายกับการหาจำนวน spanning tree ของ complete bipartite graph ถ้ากราฟ G เป็น complete bipartite graph ที่มีจุดยอด 1 ถึง n₁ ในส่วนแรก และ n₁+1 ถึง n ในส่วนที่สอง แล้ว จำนวนของ spanning tree ของกราฟ G เท่ากับ n₁^n₂-1n₂^n₁-1 เมื่อ n=n₁+n₂

อื่นๆ

• ตัวอย่าง ลำดับพรือเฟอร์ จาก ต้นไม้
• ตัวอย่าง ต้นไม้ จากลำดับพรือเฟอร์

อ้างอิง

• ขั้นที่ใช้ในการแปลงต้นไม้ไปเป็นลำดับพรือเฟอร์ http://www.proofwiki.org/wiki/Pr%C3%BCfer_Sequence_from_Labeled_Tree#Finiteness
• bijection ระหว่างลำดับพรือเฟอร์กับต้นไม้ http://www.proofwiki.org/wiki/Bijection_between_Pr%C3%BCfer_Sequences_and_Labeled_Trees
• นิยามของลำดับพรือเฟอร์ http://www.proofwiki.org/wiki/Definition:Pr%C3%BCfer_Sequence
• Prüfer, H. (1918). "Neuer Beweis eines Satzes über Permutationen". Arch. Math. Phys. 27: 742–744.
• Jens Gottlieb, Bryant A. Julstrom, Günther R. Raidl, and Franz Rothlauf. (2001). "Prüfer numbers: A poor representation of spanning trees for evolutionary search". Proceedings of the Genetic and Evolutionary Computation Conference (GECCO-2001) : 343–350.