สมการจรวดซีออลคอฟสกี

สมการจรวดของซีออลคอฟสกี (อังกฤษ: Tsiolkovsky rocket equation) หรือ สมการจรวดอุดมคติ (อังกฤษ: ideal rocket equation) อธิบายถึงการเคลื่อนที่ของยานพาหนะที่เป็นไปตามหลักการพื้นฐานของจรวด: จรวดเป็นอุปกรณ์ที่สามารถประยุกต์ความเร่งของตัวมันเอง (แรงขับดัน) โดยการขับไล่ส่วนหนึ่งของมวลของมันด้วยความเร็วที่สูงออกมาและทำให้เกิดการเคลื่อนที่ไปได้เนื่องมาจากกฏการอนุรักษ์โมเมนตัม สมการนี้มีความเกี่ยวข้องสัมพันธ์กันโดยค่าเดลต้า-วี (การเปลี่ยนแปลงสูงสุดของความเร็วของจรวดถ้าไม่มีแรงภายนอกอื่น ๆ มากระทำ) กับประสิทธิภาพความเร็วไอเสียและมวลเมื่อเริ่มต้นและครั้งสุดท้ายของจรวด (หรือจะเป็นเครื่องยนต์แห่งแรงปฏิกิริยาอื่น ๆ ก็ตามแต่)

สมการคือ:

${\displaystyle \Delta v=v_{\text{e}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$

เมื่อ:

${\displaystyle m_{0}}$ คือ มวลรวมตอนเริ่มต้น, รวมทั้งมวลของเชื้อเพลิงจรวด,

${\displaystyle m_{1}}$ คือ มวลรวมตอนสุดท้าย,

${\displaystyle v_{\text{e}}}$ คือ ประสิทธิภาพความเร็วไอเสีย (${\displaystyle v_{\text{e}}=I_{\text{sp}}\cdot g_{0}}$ เมื่อ ${\displaystyle I_{\text{sp}}}$ คือ แรงดลจำเพาะ มีค่าตามช่วงเวลา, ${\displaystyle g_{0}}$ คือ ค่าความเร่งโน้มถ่วงมาตรฐาน),

${\displaystyle \Delta v\ }$ คือ เดลต้า-v - การเปลี่ยนแปลงสูงสุดของอัตราเร็วของยานพาหนะ, (เมื่อไม่มีแรงภายนอกมากระทำ),:${\displaystyle \ln }$ หมายถึงฟังก์ชันลอการิทึมธรรมชาติ,

หน่วยที่ใช้สำหรับมวลหรือความเร็วนั้นไม่สำคัญตราบเท่าที่พวกมันยังมีความสอดคล้องกัน

สมการถูกตั้งตามชื่อของคอนสแตนติน ซีออลคอฟสกี ซึ่งเป็นผู้ที่คิดขึ้นมาและผลงานของเขาได้รับการตีพิมพ์ในปี 1903

ประวัติ

สมการนี้มีที่มาอย่างอิสระโดย คอนสแตนติน ซีออลคอฟสกี (Konstantin Tsiolkovsky) ในช่วงปลายของศตวรรษที่ 19 และเป็นที่รู้จักกันอย่างกว้างขวางในนามภายใต้ชื่อของเขาหรือเป็น 'สมการจรวดในอุดมคติ' อย่างไรก็ดีหนังสือเล่มเล็ก ๆ ที่เพิ่งค้นพบเมื่อไม่นานมานี้คือ "ตำราเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจรวด" (A Treatise on the Motion of Rockets) โดยวิลเลียม มัวร์ (William Moore) ได้แสดงให้เห็นว่าแหล่งที่มาของสมการนี้ที่รู้จักกันเป็นครั้งแรกในข้อเท็จจริงคือมาจากโรงเรียนนายร้อยทหารบกแห่งวัลลิช (Royal Military Academy at Woolwich) ในประเทศอังกฤษในปี 1813, และได้ถูกนำมาใช้สำหรับการวิจัยอาวุธ

ที่มา

พิจารณาระบบดังต่อไปนี้:  

ในแหล่งที่มาดังต่อไปนี้ คำว่า "จรวด" จะถูกนำไปใช้ในความหมายว่า "จรวดและเชื้อเพลิงจรวดที่ยังไม่ถูกเผาไหม้ทั้งหมด"

กฎข้อที่สองของนิวตันของการเคลื่อนที่เกี่ยวข้องกับแรงภายนอก (${\displaystyle F_{i}\,}$ ) ไปสู่การเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมเชิงเส้นของระบบดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \sum F_{i}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {P_{2}-P_{1}}{\Delta t}}}$ 

เมื่อ ${\displaystyle P_{1}\,}$  คือ โมเมนตัมของจรวดที่เวลา t=0:

${\displaystyle P_{1}=\left({m+\Delta m}\right)V}$ 

และ ${\displaystyle P_{2}\,}$  คือ โมเมนตัมของจรวดและโมเมนตัมของมวลไอเสียที่เวลา ${\displaystyle t=\Delta t\,}$ :

${\displaystyle P_{2}=m\left(V+\Delta V\right)+\Delta mV_{e}}$ 

และเมื่อเทียบกับผู้สังเกต:

${\displaystyle V\,}$  คือ ความเร็วของจรวดที่เวลา t=0

${\displaystyle V+\Delta V\,}$  คือ ความเร็วของจรวดที่เวลา ${\displaystyle t=\Delta t\,}$

${\displaystyle V_{e}\,}$  คือ ความเร็วของมวลที่เพิ่มขึ้นให้กับไอเสีย (และมวลที่สูญเสียไปของจรวด) ในระหว่างช่วงเวลา ${\displaystyle \Delta t\,}$

${\displaystyle m+\Delta m\,}$  คือ มวลของจรวดที่เวลา t=0

${\displaystyle m\,}$  คือ มวลของจรวดที่เวลา ${\displaystyle t=\Delta t\,}$

ความเร็วของไอเสีย ${\displaystyle V_{e}}$  อยู่ในกรอบของผู้สังเกตการณ์ที่สัมพันธ์กับความเร็วของไอเสีย ${\displaystyle v_{e}}$  ในกรอบของจรวดโดย (เนื่องจากความเร็วของไอเสียเป็นไปในทิศทางที่เป็นลบ)

${\displaystyle V_{e}=V-v_{e}}$ 

ดังนั้น จะได้

${\displaystyle P_{2}-P_{1}=m\Delta V-v_{e}\Delta m\,}$ 

และ, โดยใช้ ${\displaystyle dm=-\Delta m}$ , เนื่องจากขณะดันออก เป็นบวก ${\displaystyle \Delta m}$  จึงส่งผลให้เกิดการลดลงของมวล,

${\displaystyle \sum F_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v_{e}{\frac {dm}{dt}}}$ 

ถ้าไม่มีแรงภายนอกแล้ว ${\displaystyle \sum F_{i}=0}$  และ

${\displaystyle m{\frac {dV}{dt}}=-v_{e}{\frac {dm}{dt}}}$ 

สมมติว่า ${\displaystyle v_{e}\,}$  เป็นค่าคงที่, นี่อาจจะทำการอินทิเกรทให้ได้ผลเป็น:

${\displaystyle \Delta V\ =v_{e}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$ 

หรือสมมูลกับ

${\displaystyle m_{1}=m_{0}e^{-\Delta V\ /v_{e}}}$       หรือ      ${\displaystyle m_{0}=m_{1}e^{\Delta V\ /v_{e}}}$       หรือ      ${\displaystyle m_{0}-m_{1}=m_{1}(e^{\Delta V\ /v_{e}}-1)}$ 

เมื่อ ${\displaystyle m_{0}}$  คือ มวลรวมเริ่มต้นรวมทั้งเชื้อเพลิงจรวด, ${\displaystyle m_{1}}$  คือ มวลรวมสุดท้าย และ ${\displaystyle v_{e}}$  คือ ความเร็วของไอเสียจรวดส่วนที่เกี่ยวกับจรวด (แรงดลจำเพาะ, หรือหากวัดในเวลาจะคูณด้วยอัตราเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก)

ค่า ${\displaystyle m_{0}-m_{1}}$  เป็นมวลรวมของเชื้อเพลิงจรวดที่ถูกใช้, และด้วยเหตุนี้:

${\displaystyle M_{f}=1-{\frac {m_{1}}{m_{0}}}=1-e^{-\Delta V\ /v_{\text{e}}}}$ 

เมื่อ ${\displaystyle M_{f}}$  เป็นเศษส่วนมวลของเชื้อเพลิงจรวด (ส่วนหนึ่งของมวลรวมเริ่มต้นที่ใช้เป็นมวลปฏิกิริยา)

(เดลต้า v) คือการอินทิเกรทในช่วงเวลาของขนาดของความเร่งที่ผลิตโดยใช้เครื่องยนต์จรวด (สิ่งที่จะเป็นความเร่งที่เกิดขึ้นจริงถ้าแรงจากภายนอกไม่มี) ในพื้นที่ว่าง (หรือ อวกาศอิสระ), สำหรับกรณีของความเร่งในทิศทางของความเร็ว, นี้คือการเพิ่มขึ้นของความเร็ว ในกรณีที่มีความเร่งในทิศทางตรงข้าม (ชะลอความเร็วลง) มันคือการลดลงของอัตราเร็ว แน่นอนว่าแรงโน้มถ่วงและแรงฉุดก็คือตัวทำให้เกิดความเร่งต่อจรวด, และสามารถเพิ่มหรือลดลงได้ในการเพื่อที่จะเปลี่ยนแปลงความเร็วของมันโดยการได้รับประสบการณ์จากการควบคุมอากาศยานลำนั้น ๆ นั่นเอง ดังนั้น เดลต้า-v มักจะไม่ได้มีการเปลี่ยนแปลงที่เกิดขึ้นจริงในอัตราเร็วหรือความเร็วของอากาศยาน

ถ้าทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษถูกนำมาพิจารณา, สมการดังต่อไปนี้จะสามารถได้มาจากการเคลื่อนที่แบบจรวดเชิงสัมพัทธ (relativistic rocket), ด้วย ${\displaystyle \Delta v}$  อีกครั้งโดยถูกกำหนดให้เป็นความเร็วสุดท้ายของจรวด (หลังจากการเผาไหม้เชื้อเพลิงออกไปหมดและมีการลดลงของมวลส่วนที่เหลือ ${\displaystyle m_{1}}$ ) ในกรอบอ้างอิงเฉื่อยเมื่อจรวดเริ่มต้นเคลื่อนที่ที่จุดหยุดนิ่ง (ที่มีมวลส่วนที่เหลือรวมทั้งเชื้อเพลิงที่เป็น ${\displaystyle m_{0}}$  ในตอนเริ่มต้น) และ ${\displaystyle c}$  ถูกกำหนดให้เป็นค่าสำหรับอัตราเร็วของแสงในสูญญากาศ:

${\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}=\left[{\frac {1+{\frac {\Delta v}{c}}}{1-{\frac {\Delta v}{c}}}}\right]^{\frac {c}{2v_{e}}}}$ 

การเขียน ${\displaystyle {\frac {m_{0}}{m_{1}}}}$  ให้เป็น ${\displaystyle R}$ , ด้วยพีชคณิตเล็ก ๆ น้อย ๆ แบบนี้จะช่วยทำให้สมการนี้ได้รับการปรับปรุงใหม่เป็น

${\displaystyle {\frac {\Delta v}{c}}={\frac {R^{\frac {2v_{e}}{c}}-1}{R^{\frac {2v_{e}}{c}}+1}}}$ 

จากนั้นใช้เอกลักษณ์ ${\displaystyle R^{\frac {2v_{e}}{c}}=\exp \left[{\frac {2v_{e}}{c}}\ln R\right]}$  (ในที่นี่ "exp" หมายถึงฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (exponential function); ดูเพิ่มเติม ลอการิทึมธรรมชาติ มีค่าเช่นเดียวกับ "ยกกำลัง" ของเอกลักษณ์ของเอกลักษณ์ลอการิทึม (Logarithmic identities) และเอกลักษณ์ ${\displaystyle \tanh x={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}$  (ดู ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก (Hyperbolic function)) นี้จะเทียบเท่ากับ

${\displaystyle \Delta v=c\cdot \tanh \left({\frac {v_{e}}{c}}\ln {\frac {m_{0}}{m_{1}}}\right)}$ 

ดูเพิ่ม

• Delta-v
• Delta-v budget
• Oberth effect
• Specific impulse
• Spacecraft propulsion
• Mass ratio
• Working mass
• Relativistic rocket
• Reversibility of orbits
• Variable-mass systems

อ้างอิง

1. К. Э. Циолковский, Исследование мировых пространств реактивными приборами, 1903. It is available online here in a RARed PDF
2. Moore, William; of the Military Academy at Woolwich (1813). A Treatise on the Motion of Rockets. To which is added, An Essay on Naval Gunnery. London: G. and S. Robinson.
3. Johnson, W. (1995). "Contents and commentary on William Moore's a treatise on the motion of rockets and an essay on naval gunnery". International Journal of Impact Engineering. 16 (3): 499–521. doi:10.1016/0734-743X(94)00052-X. ISSN 0734-743X.
4. Forward, Robert L. "A Transparent Derivation of the Relativistic Rocket Equation" (see the right side of equation 15 on the last page, with R as the ratio of initial to final mass and w as the exhaust velocity, corresponding to v_e in the notation of this article)