เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (อังกฤษ: conjugate transpose) ของเมทริกซ์ A มิติ m×n ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์ A ซึ่งเปลี่ยนสมาชิกทั้งหมดเป็นสังยุค เขียนแทนด้วยเมทริกซ์ A* หรือสามารถนิยามได้จาก

${\displaystyle (A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}}$

เมื่อ 1 ≤ i ≤ n และ 1 ≤ j ≤ m และขีดเส้นตรงหมายถึงสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (อาทิ สังยุคของ a + bi คือ a − bi เป็นต้น)

นิยามดังกล่าวสามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้

${\displaystyle A^{*}=({\overline {A}})^{\mathrm {T} }={\overline {A^{\mathrm {T} }}}}$

ซึ่ง ${\displaystyle A^{\mathrm {T} }\!}$ คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยน และ ${\displaystyle {\overline {A}}}$ คือเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นสังยุค

ชื่ออื่นๆ ของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคเช่น เมทริกซ์สลับเปลี่ยนเอร์มีเชียน (Hermitian transpose) เมทริกซ์สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugate) ทรานสจูเกต (transjugate) หรือแม้แต่ เมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix) ซึ่งคำสุดท้ายนี้อาจหมายถึงเมทริกซ์แอดจูเกต (adjugate matrix) ก็ได้ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ได้อีกหลายรูปแบบ เช่น

• ${\displaystyle A^{*}\!}$ หรือ ${\displaystyle A^{\mathrm {H} }\!}$ ใช้ในพีชคณิตเชิงเส้น
• ${\displaystyle A^{\dagger }}$ ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัม
• ${\displaystyle A^{+}\!}$ ใช้ในตัวผกผันเทียมมัวร์-เพนโรส (Moore-Penrose pseudoinverse)

ตัวอย่าง

กำหนดให้เมทริกซ์ A

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}3+i&5\\2-2i&i\\\end{bmatrix}}}$ 

เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A คือ

${\displaystyle A^{*}={\begin{bmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\\\end{bmatrix}}}$ 

คุณสมบัติ

• ${\displaystyle (A+B)^{*}=A^{*}+B^{*}\!}$  สำหรับเมทริกซ์ A และ B ใดๆ ที่มีมิติเท่ากัน
• ${\displaystyle (rA)^{*}=r^{*}A^{*}\!}$  สำหรับจำนวนเชิงซ้อน r และเมทริกซ์ A ใดๆ ${\displaystyle r^{*}}$  ในที่นี้หมายถึงสังยุคของ r
• ${\displaystyle (AB)^{*}=B^{*}A^{*}\!}$  สำหรับเมทริกซ์ A มิติ m×n และเมทริกซ์ B มิติ n×p (สามารถคูณกันได้)
• ${\displaystyle (A^{*})^{*}=A\!}$  สำหรับเมทริกซ์ A ใดๆ
• ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสแล้ว ${\displaystyle \det(A^{*})=(\det A)^{*}\!}$  และ ${\displaystyle \operatorname {tr} (A^{*})=(\operatorname {tr} A)^{*}\!}$  (ดูเพิ่มที่ดีเทอร์มิแนนต์และรอยเมทริกซ์)
• A* จะสามารถมีตัวผกผันได้ก็ต่อเมื่อ A มีตัวผกผัน ซึ่งในกรณีดังกล่าวเราจะได้ว่า ${\displaystyle (A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}\!}$ 
• ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) ของเมทริกซ์ A* คือสังยุคของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A

ดูเพิ่ม

• เมทริกซ์เอร์มีเชียน (Hermitian matrix)
• เมทริกซ์เอร์มีเชียนเสมือน (skew-Hermitian matrix)
• เมทริกซ์ปรกติ (normal matrix)
• เมทริกซ์ยูนิแทรี (unitary matrix)

แหล่งข้อมูลอื่น

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Conjugate Transpose" จากแมทเวิลด์.
• Conjugate transpose on PlanetMath