fbpx
วิกิพีเดีย

กลศาสตร์แบบลากรองจ์

กลศาสตร์แบบลากรองจ์ (อังกฤษ: Lagrangian Machanics) เป็นกลศาสตร์แบบหนึ่งที่อยู่ภายในขอบเขตของกลศาสตร์ดั้งเดิม (อังกฤษ: Classical Machanics)เช่นเดียวกับกฎของนิวตัน ซึ่งกฎข้อที่สองของนิวตันสามารถทำนายการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยมีหัวใจสำคัญ คือ การหาแรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุ และโดยทั่วไปปัญหาทางกลศาสตร์มีความซับซ้อนค้อนข้างมาก เช่นการเคลื่อนที่ของวัตถุบนผิวทรงกลม เมื่อการคำนวณหาแรงลัพธ์มีความยากลำบาก กลศาสตร์ของนิวตันจึงไม่เหมาะสมที่จะนำมาศึกษากลศาสตร์ที่มีความซับซ้อนได้ แนวคิดด้านกลศาสตร์แบบใหม่ที่เข้ามาอธิบายกลศาสตร์ที่มีความซับซ้อน คือ กลศาสตร์ลากรองจ์ ถูกเสนอในปี 1788 โดย นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส - อิตาลี โฌแซ็ฟ หลุยส์ ลากร็องฌ์ การคำนวณแบบกลศาสตร์ลากรองจ์สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบต่างๆ ที่มีความซับซ้อนและแก้ปัญหาด้วยกลศาสตร์นิวตันได้ยาก เช่น ปัญหาเพนดูลัมที่มีมวลมากกว่า 1 อัน ความง่ายของกลศาสตร์นี้ คือ ไม่ใช้แรงในการคำนวณ แต่จะใช้พิกัดทั่วไปและระบบพลังงานในการแก้ปัญหา เนื่องจากพลังงานเป็นปริมาณสเกลาร์การคำนวณจึงง่ายกว่าการแก้ปัญหาแบบเวกเตอร์ กลศาสตร์แบบลากรองจ์สามารถพัฒนารูปแบบสมการจนไปถึงสมการความหนาแน่นลากรองจ์ (Lagrangian density) การที่จะได้มาซึ่งกลศาสตร์ลากรองจ์มีอยู่ 3 วิธี 1) การพิสูจน์สมการลากรองจ์จากกฎข้อที่สองของนิวตัน (Newton’s second law) 2) การพิสูจน์สมการลากรองจ์จากหลักการดาล็องแบร์ (D’Alembert Principle) 3) พิสูจน์จากหลักการของฮามิลตัน (Hamilton’s Principle)


หลักการ

สมการลากรองจ์ เกิดจากผลต่างระหว่างพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ภายในระบบซึ่งมีรูปแบบดังนี้

 
เมื่อ   คือ ลากรางเจียน (Lagrangian)
  คือ พลังงานจลน์ทั้งหมดของระบบ
  คือ พลังงานศักย์ทั้งหมดของระบบ

สมการดังกล่าว มีความสัมพันธ์ตามสมการออยเลอร์-ลากรองจ์ (Euler-Lagrange Equation) ดังนี้

 
โดย   คือพิกัดทั่วไป (generalized coordinate) ของระบบ

จะเห็นสมการลากรองจ์ ซึ่งเกี่ยวข้องกับกฎอนุรักษ์พลังงานและเป็นสเกลาร์ แตกต่างจากสมการของนิวตันซึ่งเกี่ยวข้องกับแรงและเป็นปริมาณเวกเตอร์

ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อยๆ

 ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อยๆ อาศัยแนวคิดพื้นฐานมาจากสมการการเคลื่อนที่ของลากรองจ์ สมการการเคลื่อนที่ของฮามิลตัน อนุกรมเทย์เลอร์ และกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน โดยใช้เมตริกซ์เทนเซอร์ในการแก้ปัญหา เพื่อที่จะเข้าใจทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อยๆ เราจำเป็นต้องรู้ความสัมพันธ์ของพลังงานศักย์กับการสมดุล ว่าด้วยเงื่อนไขของการเสถียรของระบบ ซึ่งเป็นพื้นฐานที่จะเข้าในทฤษฎีนี้ ซึ่งสามารถประยุกต์ใช้กับการเคลื่อนที่แบบเสถียร เมื่อระบบสมดุลเราจะได้ว่า    --------- (1) 

สมการที่ (1) แสดงพลังงานศักย์ V มี extremun value ในระบบที่สมดุล สรุปได้ว่าภาวะสมดุลเสถียรเกิดขึ้น เมื่อระบบมีจุดสมดุลที่มีพลังงานศักย์ต่ำที่สุด สำหรับกรณี   จะมีจุดสมดุล   และ   ซึ่งจะมีจุดสมดุลดังนี้

1.สมดุลเสถียร (Stable Equilibrium) เป็นจุดต่ำสุดของฟังก์ชัน หรือเป็นตำแหน่งที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นบวก หมายความว่า ถ้าระบบอยู่ที่จุกสมดุลเสถียรแล้ว เมื่อทำการรบกวนระบบให้เคลื่อนที่ออกจากจุดสมดุลเพียงเล็กน้อย (Small Disturbance) ระบบเกิดการเคลื่อนแบบถูกกัก (Bounced Motion) รอบจุดสมดุลเมื่อ   โดยที่จุดสมดุลมี   น้อยที่สุด

2.สมดุลไม่เสถียร (Unstable Equilibrium) เป็นจุดสูงสุดของฟังก์ชัน หรือเป็นตำแหน่งที่อนุพันธ์อันดับสองมีค่าเป็นลบ หมายความว่า ถ้าระบบอยู่ที่จุดสมดุลไม่เสถียรแล้ว เมื่อทำการรบกวนระบบให้เคลื่อนที่ออกจากจุดสมดุลเพียงเล็กน้อย ระบบจะเกิดการเคลื่อนที่แบบไม่โดนกัก (Unbounced Motion) และไม่สามารถเคลื่อนที่กลับมาที่จุดสมดุลได้อีกเมื่อ   โดยที่จุดสมดุลได้   มากที่สุด

ถ้า   เราจะต้องพิจารณาอนุพันธ์ที่สูงขึ้นไป

 คือ 1.สมดุลเสถียร เมื่อ   ที่ n > 2 เป็นจำนวนคู่ 2.สมดุลไม่เสถียร เมื่อ  0 ที่ n > 2 เป็นจำนวนคี่ และ สมดุลไม่เสถียร เมื่อ   ที่ n > 0 และเป็นจำนวนคู่ 

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีการแกว่งกวัดเป็นมุมน้อยๆ สามารถนำไปอธิบายการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มที่ติดมวลมากกว่าหนึ่ง หรือวัตถุติดสปริง หรือวัตถุที่มีการสั่นเป็นแอมปลิจูดน้อยๆ

ทฤษฎีการสั่นอย่างเล็กน้อย(Small oscillation) ในการแก้ไขปัญหาบางปัญหาที่มีความซับซ้อนจนเราไม่สามารถหาผลเฉลยของสมการอนุพันธ์เพื่ออธิบายลักษณะการเคลื่อนที่ได้ จึงมีวิธีการที่จะประมาณลักษณะการเคลื่อนที่โดยพิจารณนาลักษณะการเคลื่อนที่รอบๆ จุดสมดุล(Equilibrium position) การเคลื่อนที่ในลักษณะนี้ เรียกว่า การสั่นอย่างเล็กน้อย(Small oscillation)

ทฤษฎีการสั่นอย่างเล็กน้อยพบตัวอย่างการใช้งานทางด้านกายภาพอย่างแพร่หลายในความรู้เรื่องเสียง(Acoustics) การแผ่รังสีของโมเลกุล(Molecular spectra) และวงจรคู่ควบ(Coupled electrical circuit)



จากกลศาสตร์นิวตันสู่กลศาสตร์ลากรองจ์


กฏของนิวตัน

 
Isaac Newton (1642—1727)

เพื่อความเรียบง่าย กฎของนิวตันสามารถอธิบายสำหรับอนุภาคหนึ่ง ๆ โดยที่ไม่มีการสูญเสียมวลมากนัก (สำหรับระบบของอนุภาค N สมการเหล่านี้ใช้กับอนุภาคแต่ละตัวในระบบ)
สมการการเคลื่อนที่ของอนุภาคของมวล m คือกฎข้อที่สองของ Newton ในปี ค.ศ. 1687 ซึ่งเป็นการใช้สัญกรณ์เวกเตอร์สมัยใหม่ ณ ขณะนั้น

 

เมื่อ a คือความเร่ง และ F คือแรงลัพธ์ ที่กระทำกับระบบ ซึ่งอยู่ในระบบ 3 มิติ แล้วระบบนี้จะรวมกับสมการเชิงอนุพันธ์สามัญเพื่อใช้ในการแก้ปัญหา เนื่องจากมีสมการเวคเตอร์ทั้งสามตัวเป็นองค์ประกอบ การแก้ปัญหาคือ ตำแหน่งของเวคเตอร์ r ของอนุภาคในเวลา t การแก้ปัญหาที่มี R เป็นเวกเตอร์ตำแหน่งของอนุภาคที่เวลา t ภายใต้เงื่อนไขเริ่มต้นของ r และ v เมื่อ t = 0
กฎของนิวตันเป็นเรื่องง่ายที่จะทำมาพิจารณาใช้ในพิกัดคาร์ทีเซียน แต่พิกัดคาร์ทีเซียนก็ไม่สะดวกเสมอไป และสำหรับระบบพิกัดอื่น ๆ การใช้สมการการเคลื่อนที่ของนิวตันจะกลายเป็นเรื่องซับซ้อน ในชุดของ พิกัดเชิงเส้นโค้ง (curvilinear coordinates) ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) กฎในดรรชนีเทนเซอร์ (tensor) คือฟอร์มแบบลากรองจ์

 


ในกรณีที่ Fa เป็นส่วนประกอบความไม่แปรผัน ของแรงที่เกิดขึ้นกับอนุภาค, Γabc เป็นสัญลักษณ์ Christoffel ของชนิดที่สอง,

 


เป็นพลังงานจลน์ของอนุภาค และ gbc เป็นส่วนประกอบที่แปรปรวนของเมตริกซ์เทนเซอร์ของระบบพิกัดแบบโค้ง ดัชนีทั้งหมด a, b, c แต่ละค่าจะมีค่า 1, 2, 3 ซึ่งพิกัดเส้นโค้งไม่เหมือนกันกับพิกัดทั่วไป
มันอาจจะดูเหมือนเป็นเรื่องที่เกิดขึ้นมากเกินไปที่จะโยนกฎหมายของนิวตันในรูปแบบนี้ แต่ก็มีข้อได้เปรียบ
ส่วนประกอบของการเร่งในแง่ของสัญลักษณ์ Christoffel สามารถหลีกเลี่ยงได้ โดยการประเมินอนุพันธ์ของพลังงานจลน์แทน
ถ้าไม่มีแรงที่เกิดขึ้นกับอนุภาค คือ F = 0 จะไม่เกิดการเร่ง แต่จะเคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่เป็นเส้นตรง ในทางคณิตศาสตร์การแก้ปัญหาของสมการเชิงอนุพันธ์คือ geodesics นั่นคือเส้นโค้งของความยาวสุดขีดระหว่างจุดสองจุดในพื้นที่ (ซึ่งอาจจะน้อยที่สุด ดังนั้นคือเส้นทางที่สั้นที่สุด แต่ก็ไม่จำเป็น) ในพื้นที่จริงที่ว่างเปล่า แบบ 3D geodesics จะเป็นเส้นตรงเท่านั้น
ดังนั้นสำหรับอนุภาคอิสระ กฎข้อที่สองของนิวตันจึงเกิดขึ้นพร้อมกับสมการเชิง geodesic และระบุอนุภาคอิสระตาม geodesics ซึ่งเป็นวิถีขีดสุดที่สามารถเคลื่อนที่ไปได้ ถ้าอนุภาคตกอยู่ภายใต้แรงที่ F ≠ 0 อนุภาคจะมีความเร่งขึ้นเนื่องจากแรงที่กระทำต่อมัน และจะออกไปจาก geodesics ที่จะปฏิบัติตามถ้าเป็นอิสระ ด้วยความเหมาะสมของปริมาณที่กำหนดไว้ในที่ราบแบบแบนด์เวิร์ค 3 มิติ จนถึงกาลอวกาศโค้ง 4 มิติ รูปแบบข้างต้นของกฎนิวตันจะนำมาสู่ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปของไอน์สไตน์ซึ่งในกรณีนี้อนุภาคอิสระจะตาม geodesics ในส่วนโค้ง space-time ซึ่งไม่มี "เส้นตรง" กรณีสามัญ

อย่างไรก็ตามเรายังจำเป็นต้องทราบผลรวมของแรง F ที่กระทำกับอนุภาค ซึ่งจะต้องใช้แรงที่ไม่มีข้อจำกัด บวกกับแรงที่มีข้อจำกัด C,

 


แรงข้อจำกัด อาจมีความซับซ้อน เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วจะขึ้นอยู่กับเวลา นอกจากนี้ถ้ามีข้อจำกัด ขอบเขตพิกัดไม่ได้เป็นอิสระ แต่เกี่ยวขึ้นกับสมการข้อจำกัดอย่างน้อยหนึ่งข้อ
แรงข้อจำกัด สามารถถูกกำจัดออกจากสมการของการเคลื่อนที่ จึงทำให้ แรงที่ไม่มีข้อจำกัดจะคงอยู่ หรือรวมอยู่ในสมการ ข้อจำกัดของสมการการเคลื่อนที่

  1. สุธี บุญช่วย. 2556. กลศาสตร์คลาสสิก. พิมครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์. [สุธี บุญช่วย. 2556. กลศาสตร์คลาสสิก. พิมครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์.]
  2. สุธี บุญช่วย. 2556. กลศาสตร์คลาสสิก. พิมครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์. [สุธี บุญช่วย. 2556. กลศาสตร์คลาสสิก. พิมครั้งที่ 1. กรุงเทพฯ: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์.]
  3. Schuam 1988, p. 156
  4. Synge & Schild 1949, p. 150–152

กลศาสตร, แบบลากรองจ, งกฤษ, lagrangian, machanics, เป, นกลศาสตร, แบบหน, งท, อย, ภายในขอบเขตของกลศาสตร, งเด, งกฤษ, classical, machanics, เช, นเด, ยวก, บกฎของน, วต, งกฎข, อท, สองของน, วต, นสามารถทำนายการเคล, อนท, ของว, ตถ, โดยม, วใจสำค, การหาแรงล, พธ, กระทำต, อว,. klsastraebblakrxngc xngkvs Lagrangian Machanics epnklsastraebbhnungthixyuphayinkhxbekhtkhxngklsastrdngedim xngkvs Classical Machanics echnediywkbkdkhxngniwtn sungkdkhxthisxngkhxngniwtnsamarththanaykarekhluxnthikhxngwtthuodymihwicsakhy khux karhaaernglphththikrathatxwtthu aelaodythwippyhathangklsastrmikhwamsbsxnkhxnkhangmak echnkarekhluxnthikhxngwtthubnphiwthrngklm emuxkarkhanwnhaaernglphthmikhwamyaklabak klsastrkhxngniwtncungimehmaasmthicanamasuksaklsastrthimikhwamsbsxnid aenwkhiddanklsastraebbihmthiekhamaxthibayklsastrthimikhwamsbsxn khux klsastrlakrxngc thukesnxinpi 1788 ody nkkhnitsastrchawfrngess xitali ochaesf hluys lakrxngch karkhanwnaebbklsastrlakrxngcsamarthnaipprayuktichkbkarekhluxnthiaebbtang thimikhwamsbsxnaelaaekpyhadwyklsastrniwtnidyak echn pyhaephndulmthimimwlmakkwa 1 xn khwamngaykhxngklsastrni khux imichaernginkarkhanwn aetcaichphikdthwipaelarabbphlngnganinkaraekpyha enuxngcakphlngnganepnprimanseklarkarkhanwncungngaykwakaraekpyhaaebbewketxr klsastraebblakrxngcsamarthphthnarupaebbsmkarcnipthungsmkarkhwamhnaaennlakrxngc Lagrangian density karthicaidmasungklsastrlakrxngcmixyu 3 withi 1 karphisucnsmkarlakrxngccakkdkhxthisxngkhxngniwtn Newton s second law 2 karphisucnsmkarlakrxngccakhlkkardalxngaebr D Alembert Principle 3 phisucncakhlkkarkhxnghamiltn Hamilton s Principle 1 hlkkar aekikhsmkarlakrxngc ekidcakphltangrahwangphlngnganclnaelaphlngnganskyphayinrabbsungmirupaebbdngniL q q T q q V q displaystyle mathcal L q dot q T q dot q V q emux L displaystyle mathcal L khux lakrangeciyn Lagrangian T displaystyle T khux phlngnganclnthnghmdkhxngrabbV displaystyle V khux phlngnganskythnghmdkhxngrabbsmkardngklaw mikhwamsmphnthtamsmkarxxyelxr lakrxngc Euler Lagrange Equation dngni0 d d t L q j L q j displaystyle 0 frac d dt left frac partial mathcal L partial dot q j right frac partial mathcal L partial q j ody q j displaystyle q j khuxphikdthwip generalized coordinate khxngrabb caehnsmkarlakrxngc sungekiywkhxngkbkdxnurksphlngnganaelaepnseklar aetktangcaksmkarkhxngniwtnsungekiywkhxngkbaerngaelaepnprimanewketxrthvsdikaraekwngkwdepnmumnxy aekikhthvsdikaraekwngkwdepnmumnxy xasyaenwkhidphunthanmacaksmkarkarekhluxnthikhxnglakrxngc smkarkarekhluxnthikhxnghamiltn xnukrmethyelxr aelakdkarekhluxnthikhxngniwtn odyichemtriksethnesxrinkaraekpyha ephuxthicaekhaicthvsdikaraekwngkwdepnmumnxy eracaepntxngrukhwamsmphnthkhxngphlngnganskykbkarsmdul wadwyenguxnikhkhxngkaresthiyrkhxngrabb sungepnphunthanthicaekhainthvsdini sungsamarthprayuktichkbkarekhluxnthiaebbesthiyr emuxrabbsmduleracaidwa Q k V q k 0 displaystyle Q k frac partial mathbf V partial q k 0 1 smkarthi 1 aesdngphlngngansky V mi extremun value inrabbthismdul srupidwaphawasmdulesthiyrekidkhun emuxrabbmicudsmdulthimiphlngnganskytathisud sahrbkrni V V q displaystyle V V q camicudsmdul F d V d q 0 displaystyle mathbf F frac mathrm d mathbf V mathrm d q 0 aela V V 0 displaystyle V V 0 sungcamicudsmduldngni1 smdulesthiyr Stable Equilibrium epncudtasudkhxngfngkchn hruxepntaaehnngthixnuphnthxndbsxngmikhaepnbwk hmaykhwamwa tharabbxyuthicuksmdulesthiyraelw emuxthakarrbkwnrabbihekhluxnthixxkcakcudsmdulephiyngelknxy Small Disturbance rabbekidkarekhluxnaebbthukkk Bounced Motion rxbcudsmdulemux d 2 V d q 2 gt 0 displaystyle frac d 2 mathbf V dq 2 gt 0 odythicudsmdulmi V 0 displaystyle V 0 nxythisud2 smdulimesthiyr Unstable Equilibrium epncudsungsudkhxngfngkchn hruxepntaaehnngthixnuphnthxndbsxngmikhaepnlb hmaykhwamwa tharabbxyuthicudsmdulimesthiyraelw emuxthakarrbkwnrabbihekhluxnthixxkcakcudsmdulephiyngelknxy rabbcaekidkarekhluxnthiaebbimodnkk Unbounced Motion aelaimsamarthekhluxnthiklbmathicudsmdulidxikemux d 2 V d q 2 lt 0 displaystyle frac d 2 mathbf V dq 2 lt 0 odythicudsmdulid V 0 displaystyle V 0 makthisudtha d 2 V d q 2 0 displaystyle frac d 2 mathbf V dq 2 0 eracatxngphicarnaxnuphnththisungkhunip khux 1 smdulesthiyr emux d n V d q n gt 0 displaystyle frac d n mathbf V dq n gt 0 thi n gt 2 epncanwnkhu 2 smdulimesthiyr emux d n V d q n displaystyle frac d n mathbf V dq n 0 thi n gt 2 epncanwnkhi aela smdulimesthiyr emux d n V d q n lt 0 displaystyle frac d n mathbf V dq n lt 0 thi n gt 0 aelaepncanwnkhu karprayuktichthvsdikaraekwngkwdepnmumnxy samarthnaipxthibaykarekhluxnthikhxngluktumthitidmwlmakkwahnung hruxwtthutidspring hruxwtthuthimikarsnepnaexmplicudnxythvsdikarsnxyangelknxy Small oscillation inkaraekikhpyhabangpyhathimikhwamsbsxncneraimsamarthhaphlechlykhxngsmkarxnuphnthephuxxthibaylksnakarekhluxnthiid cungmiwithikarthicapramanlksnakarekhluxnthiodyphicarnnalksnakarekhluxnthirxb cudsmdul Equilibrium position karekhluxnthiinlksnani eriykwa karsnxyangelknxy Small oscillation 2 thvsdikarsnxyangelknxyphbtwxyangkarichnganthangdankayphaphxyangaephrhlayinkhwamrueruxngesiyng Acoustics karaephrngsikhxngomelkul Molecular spectra aelawngcrkhukhwb Coupled electrical circuit bthkhwamekiywkbfisiksniyngepnokhrng khunsamarthchwywikiphiediyidodyephimkhxmul duephimthi sthaniyxy fisikscakklsastrniwtnsuklsastrlakrxngc aekikhktkhxngniwtn Isaac Newton 1642 1727 ephuxkhwameriybngay kdkhxngniwtnsamarthxthibaysahrbxnuphakhhnung odythiimmikarsuyesiymwlmaknk sahrbrabbkhxngxnuphakh N smkarehlaniichkbxnuphakhaetlatwinrabb smkarkarekhluxnthikhxngxnuphakhkhxngmwl m khuxkdkhxthisxngkhxng Newton inpi kh s 1687 sungepnkarichsykrnewketxrsmyihm n khnann F m a displaystyle mathbf F m mathbf a emux a khuxkhwamerng aela F khuxaernglphth thikrathakbrabb sungxyuinrabb 3 miti aelwrabbnicarwmkbsmkarechingxnuphnthsamyephuxichinkaraekpyha enuxngcakmismkarewkhetxrthngsamtwepnxngkhprakxb karaekpyhakhux taaehnngkhxngewkhetxr r khxngxnuphakhinewla t karaekpyhathimi R epnewketxrtaaehnngkhxngxnuphakhthiewla t phayitenguxnikherimtnkhxng r aela v emux t 0 kdkhxngniwtnepneruxngngaythicathamaphicarnaichinphikdkharthiesiyn aetphikdkharthiesiynkimsadwkesmxip aelasahrbrabbphikdxun karichsmkarkarekhluxnthikhxngniwtncaklayepneruxngsbsxn inchudkhxng phikdechingesnokhng curvilinear coordinates 3 31 32 33 kdindrrchniethnesxr tensor khuxfxrmaebblakrxngc 3 4 F a m d 2 3 a d t 2 G a b c d 3 b d t d 3 c d t d d t T 3 a T 3 a 3 a d 3 a d t displaystyle F a m left frac mathrm d 2 xi a mathrm d t 2 Gamma a bc frac mathrm d xi b mathrm d t frac mathrm d xi c mathrm d t right frac mathrm d mathrm d t frac partial T partial dot xi a frac partial T partial xi a quad dot xi a equiv frac mathrm d xi a mathrm d t inkrnithi Fa epnswnprakxbkhwamimaeprphn khxngaerngthiekidkhunkbxnuphakh Gabc epnsylksn Christoffel khxngchnidthisxng T 1 2 m g b c d 3 b d t d 3 c d t displaystyle T frac 1 2 mg bc frac mathrm d xi b mathrm d t frac mathrm d xi c mathrm d t epnphlngnganclnkhxngxnuphakh aela gbc epnswnprakxbthiaeprprwnkhxngemtriksethnesxrkhxngrabbphikdaebbokhng dchnithnghmd a b c aetlakhacamikha 1 2 3 sungphikdesnokhngimehmuxnknkbphikdthwip mnxaccaduehmuxnepneruxngthiekidkhunmakekinipthicaoynkdhmaykhxngniwtninrupaebbni aetkmikhxidepriyb swnprakxbkhxngkarernginaengkhxngsylksn Christoffel samarthhlikeliyngid odykarpraeminxnuphnthkhxngphlngnganclnaethn thaimmiaerngthiekidkhunkbxnuphakh khux F 0 caimekidkarerng aetcaekhluxnthidwykhwamerwkhngthiepnesntrng inthangkhnitsastrkaraekpyhakhxngsmkarechingxnuphnthkhux geodesics nnkhuxesnokhngkhxngkhwamyawsudkhidrahwangcudsxngcudinphunthi sungxaccanxythisud dngnnkhuxesnthangthisnthisud aetkimcaepn inphunthicringthiwangepla aebb 3D geodesics caepnesntrngethann dngnnsahrbxnuphakhxisra kdkhxthisxngkhxngniwtncungekidkhunphrxmkbsmkareching geodesic aelarabuxnuphakhxisratam geodesics sungepnwithikhidsudthisamarthekhluxnthiipid thaxnuphakhtkxyuphayitaerngthi F 0 xnuphakhcamikhwamerngkhunenuxngcakaerngthikrathatxmn aelacaxxkipcak geodesics thicaptibtitamthaepnxisra dwykhwamehmaasmkhxngprimanthikahndiwinthirabaebbaebndewirkh 3 miti cnthungkalxwkasokhng 4 miti rupaebbkhangtnkhxngkdniwtncanamasuthvsdismphththphaphthwipkhxngixnsitnsunginkrninixnuphakhxisracatam geodesics inswnokhng space time sungimmi esntrng krnisamy xyangirktamerayngcaepntxngthrabphlrwmkhxngaerng F thikrathakbxnuphakh sungcatxngichaerngthiimmikhxcakd bwkkbaerngthimikhxcakd C F C N displaystyle mathbf F mathbf C mathbf N aerngkhxcakd xacmikhwamsbsxn enuxngcakodythwipaelwcakhunxyukbewla nxkcaknithamikhxcakd khxbekhtphikdimidepnxisra aetekiywkhunkbsmkarkhxcakdxyangnxyhnungkhx aerngkhxcakd samarththukkacdxxkcaksmkarkhxngkarekhluxnthi cungthaih aerngthiimmikhxcakdcakhngxyu hruxrwmxyuinsmkar khxcakdkhxngsmkarkarekhluxnthi suthi buychwy 2556 klsastrkhlassik phimkhrngthi 1 krungethph sankphimphmhawithyalyekstrsastr suthi buychwy 2556 klsastrkhlassik phimkhrngthi 1 krungethph sankphimphmhawithyalyekstrsastr suthi buychwy 2556 klsastrkhlassik phimkhrngthi 1 krungethph sankphimphmhawithyalyekstrsastr suthi buychwy 2556 klsastrkhlassik phimkhrngthi 1 krungethph sankphimphmhawithyalyekstrsastr Schuam 1988 p 156 Synge amp Schild 1949 p 150 152ekhathungcak https th wikipedia org w index php title klsastraebblakrxngc amp oldid 9215836, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม