สมการของแมกซ์เวลล์

สมการของแมกซ์เวลล์ (อังกฤษ: Maxwell's equations) ประกอบด้วยสมการ 4 สมการ ตั้งชื่อตาม เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์(James Clerk Maxwell) โดย โอลิเวอร์ เฮวิไซด์ (Oliver Heaviside) สมการทั้ง 4 นี้ใช้อธิบายถึงพฤติกรรมของ สนามไฟฟ้า และ สนามแม่เหล็ก รวมถึงปฏิกิริยาที่มีต่อสารต่างๆ

รายละเอียดโดยย่อ

รูปทั่วไป

รูป อนุพันธ์	รูป ปริพันธ์
กฎของเกาส์ (Gauss' law) :
${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho }$	${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho \cdot dV}$
กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (ความไม่มีอยู่ ของแม่เหล็กขั้วเดียว) (magnetic monopole) :
${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {B} =0}$	${\displaystyle \oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0}$
กฎของฟาราเดย์ (Faraday's law of induction) :
${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} }$
กฎของแอมแปร์ (Ampère's law + Maxwell's extension) :
${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +{d \over dt}\int _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} }$

 

 

กฎของเกาส์สำหรับสนามแม่เหล็ก (โดยความเป็นจริงเราไม่มีชื่อให้สำหรับกฎข้อนี้) : บอกได้ว่าในชีวิตประจำวันเราจะไม่พบแม่เหล็กซึ่งมีขั้วแยกจากกันโดยชัดเจน นั่นคือเราจะไม่พบแม่เหล็กที่มีขั้วเหนือเพียงขั้วเดียวหรือแม่เหล็กที่มีขั้วใต้เพียงขั้วเดียว

Faraday's Law : สามารถอธิบายจากสมการได้ว่า "สนามไฟฟ้าเกิดจากการเปลี่ยนแปลงของสนามแม่เหล็กในหนึ่งหน่วยเวลาและจะเกิดในทิศหมุนวน (สังเกตจาก operator curl)" ซึ่งจากความรู้เบื้องต้นเราทราบมาว่าสนามไฟฟ้าเกิดจากประจุอิสระ แต่จาก Faraday's Law บอกได้ว่าสนามไฟฟ้าสามารถเกิดจากสนามแม่เหล็กได้เช่นกันแต่ต้องเป็นสนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงตามเวลาเท่านั้น (ถ้าสนามแม่เหล็กไม่เปลี่ยนแปลงตามเวลาก็จะไม่เกิดสนามไฟฟ้า)

Ampere's Law : สมการรูปนี้เป็นสมการที่ Generalized แล้วโดย Maxwell's อธิบายจากสมการได้คือ "สนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าหรือสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงในหนึ่งหน่วยเวลาโดยจะเกิดในทิศหมุนวนเช่นกัน" นั่นคือสนามแม่เหล็กเกิดได้จากกระแสไฟฟ้าที่คงที่หรือเกิดได้จากสนามไฟฟ้าที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา โดยที่:

สัญลักษณ์	ความหมาย	หน่วยในระบบเอสไอ
${\displaystyle \mathbf {E} }$	สนามไฟฟ้า	โวลต์ ต่อ เมตร
${\displaystyle \mathbf {H} }$	ความเข้มสนามแม่เหล็ก	แอมแปร์ ต่อ เมตร
${\displaystyle \mathbf {D} }$	ความหนาแน่นฟลักซ์ไฟฟ้า	คูลอมบ์ ต่อ ตารางเมตร
${\displaystyle \mathbf {B} }$	ความหนาแน่นฟลักซ์แม่เหล็ก เรียกอีกอย่างว่า การเหนี่ยวนำแม่เหล็ก	เทสลา, เวบเบอร์ ต่อ ตารางเมตร
${\displaystyle \ \rho \ }$	ความหนาแน่นของประจุไฟฟ้าอิสระ	คูลอมบ์ ต่อ ลูกบาศก์เมตร
${\displaystyle \mathbf {J} }$	ความหนาแน่นกระแสไฟฟ้า	แอมแปร์ ต่อ ตารางเมตร
${\displaystyle d\mathbf {A} }$	เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของพื้นผิว A ซึ่งมีขนาดน้อยมาก และมีทิศทางตั้งฉากกับพื้นผิว S	ตารางเมตร
${\displaystyle dV\ }$	ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของปริมาตร V ซึ่งล้อมรอบด้วยพื้นผิว S	ลูกบาศก์เมตร
${\displaystyle d\mathbf {l} }$	เวกเตอร์ผลต่างเชิงอนุพันธ์ของเส้นสัมผัสเส้นรอบขอบ C ที่ล้อมรอบพื้นผิว S	เมตร

และ

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot }$  คือ ตัวดำเนินการ ไดเวอร์เจนซ์ (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times }$  คือ ตัวดำเนินการ เคิร์ล (หน่วย SI: 1 ต่อ เมตร)

ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร (constitutive relationships)

ความสัมพันธ์ตามคุณสมบัติของเนื้อสาร หรือ "constitutive relationships" ใช้ในการแสดงถึงพฤติกรรมความสัมพันธ์ของค่าสนามแม่เหล็กไฟฟ้าในเนื้อสารตัวกลาง ในระดับใหญ่ (macroscopic) ซึ่งเป็นการพิจารณาพฤติกรรมโดยเฉลี่ยของสนาม ในสารตัวกลางที่มีปรมาตรที่ใหญ่กว่าขนาดของอะตอม และโมเลกุล โดยความสัมพันธ์นี้จะอยู่ในรูป

${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {D} (\mathbf {E} ,\mathbf {H} )}$ 

${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {B} (\mathbf {E} ,\mathbf {H} )}$ 

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {J} (\mathbf {E} ,\mathbf {H} )}$  (กฎของโอห์ม สำหรับสารตัวนำ)

ลักษณะคุณสมบัติอาจแบ่งตาม

เป็นเชิงเส้น/ไม่เป็นเชิงเส้น (linear/non-linear) : ในสารที่มีคุณสมบัติไม่เป็นเชิงเส้นนั้นความสัมพันธ์ด้านบนที่กล่าวมาจะไม่อยู่ในรูปเชิงเส้น ในกรณีที่เป็นสารที่มีคุณสมบัติเชิงเส้น ความสัมพันธ์ข้างต้นสามารถเขียนอยู่ในรูป

${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} }$ 

${\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} }$ 

${\displaystyle \mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} }$ 

โดยที่

• ${\displaystyle \varepsilon }$  เรียกว่า ค่าสภาพยอมทางไฟฟ้าของสุญญากาศ (permittivity หรือ ค่าความสามารถเก็บประจุ (capacitivity)
• ${\displaystyle \mu }$  เรียกว่า ค่าสภาพให้ซึมได้ทางแม่เหล็กของสุญญากาศ (permeability) หรือ ค่าความสามารถเหนี่ยวนำ (inductivity)
• ${\displaystyle \sigma }$  เรียกว่า ค่าสภาพนำไฟฟ้า (conductivity)

เป็นเนื้อเดียว/ไม่เป็นเนื้อเดียว (homogeneous/nonhomogeneous) : สารที่เป็นเนื้อเดียวค่าของคุณสมบัติเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามตำแหน่งในเนื้อสาร

ดิสเพอซีฟ/ไม่ดิสเพอซีฟ (dispersive/nondispersive) : สารที่ไม่เป็นดิสเพอซีฟ ค่าคุณสมบัติของเนื้อสารจะไม่เปลี่ยนแปลงตามความถี่ ของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร

ไอโซโทรปิค/แอนไอโซโทรปิค (isotropic/anisotropic) : สารที่มีคุณสมบัติไอโซโทรปิค ค่าคุณสมบัติจะไม่ขึ้นกับทิศทางของสนามที่กระทำกับเนื้อสาร ในสารที่มีคุณสมบัติแอนไอโซโทรปิคนั้น ค่าคุณสมบัติจะเขียนอยู่ในรูป เทนเซอร์อันดับ 2 ในสามมิติ (เมทริกซ์ ขนาด3×3)

Guage Invariant

Vector Potential

Lagrangian

Action ของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าโดยไม่มี source นั้นเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle S=-{\frac {1}{4}}\int d^{3}xF^{\mu u}F_{\mu u}}$ 

โดยที่

${\displaystyle F^{\mu u}=\partial ^{\mu }A^{u}-\partial ^{u}A^{\mu }}$ 

Euler-Lagrange Equation ของ Action นี้คือ Guass's Law และ Faraday's Law

${\displaystyle \partial _{u}F^{\mu u}=0}$ 

สมการของ maxwell อีกสองสมการสามารถหาได้จาก Bianchi identity.