fbpx
วิกิพีเดีย

แคลคูลัสเวกเตอร์

แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ ว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงของของเวกเตอร์ในมิติที่สูงกว่าหรือเท่ากับสองมิติ เนื้อหาประกอบด้วยเทคนิคในการแก้ปัญหาและสูตรคำนวณที่เกี่ยวข้องต่าง ๆ ซึ่งมีประโยชน์ใช้งานมากในทางวิศวกรรมและฟิสิกส์

สนามเวกเตอร์หมายถึงการระบุค่าเวกเตอร์ให้กับทุก ๆ จุดในปริภูมิที่พิจารณา เช่นเดียวกับสนามสเกลาร์ ซึ่งเป็นการระบุค่าสเกลาร์ให้กับทุก ๆ จุดในปริภูมิ เช่น อุณหภูมิของน้ำในสระ เป็นสนามสเกลาร์ โดยเป็นการระบุค่าอุณหภูมิ ซึ่งเป็นปริมาณสเกลาร์ให้กับแต่ละตำแหน่ง ส่วนการไหลของน้ำในสระนั้นเป็นสนามเวกเตอร์ เนื่องจากการไหลของน้ำที่แต่ละจุดนั้นจะถูกระบุด้วย เวกเตอร์ความเร็ว

ตัวดำเนินการที่สำคัญในแคลคูลัสเวกเตอร์
  • เกรเดียนต์ (gradient) ใช้สัญลักษณ์ หรือ  : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดอัตราและทิศทาง ความเปลี่ยนแปลงของสนามสเกลาร์ ดังนั้นเกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์ จะได้เป็นสนามเวกเตอร์
  • ไดเวอร์เจนซ์ (divergence) ใช้สัญลักษณ์ หรือ  : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดความลู่เข้าหรือลู่ออก (เป็นจุดกำเนิดสนาม) ของสนามเวกเตอร์ ณ จุดใด ๆ
  • เคิร์ล (curl) ใช้สัญลักษณ์ หรือ  : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดระดับความหมุนวน ณ จุดใด ๆ โดยเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ จะได้เป็นอีกสนามเวกเตอร์หนึ่ง

ตัวดำเนินการอีกตัวหนึ่งคือตัวดำเนินการลาปลัส ได้จากการประยุกต์ไดเวอร์เจนซ์และเกรเดียนต์รวมกัน

ทฤษฎีบทที่สำคัญที่เกี่ยวข้อง
  • ทฤษฎีบทเกรเดียนต์
  • ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์
  • ทฤษฎีบทของสโตกส์

การวิเคราะห์เหล่านี้สามารถทำความเข้าใจได้ไม่ยาก โดยการใช้วิธีการทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นสาขาย่อยหนึ่งของ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์)

การดำเนินการเวกเตอร์

การดำเนินการพีชคณิต
พื้นฐานพีชคณิต (ไม่ใช่การหาอนุพันธ์) การดำเนินการในแคลคูลัสเวกเตอร์จะเรียกว่าพีชคณิตเวกเตอร์ ถูกกำหนดไว้สำหรับปริภูมิเวกเตอร์และได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กันทั่วโลกกับสนามเวกเตอร์และประกอบด้วย
  • การคูณสเกลาร์ การคูณของสนามสเกลาร์และสนามเวกเตอร์ย่อมได้สนามเวกเตอร์  ;
  • การบวกเวกเตอร์ การบวกของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามเวกเตอร์  ;
  • ผลคูณจุด การคูณของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามสเกลาร์  ;
  • ผลคูณไขว้ การคูณของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามเวกเตอร์  ;

นอกจากนี้ยังมีผลคูณเชิงเวกเตอร์ของสามเวกเตอร์ 2 แบบ คือ:

ผลคูณเชิงสเกลาร์สามชั้น
ผลคูณจุดของผลคูณเวกเตอร์และผลคูณไขว้ของ 2 เวกเตอร์:  ;
ผลคูณเชิงเวกเตอร์สามชั้น
ผลคูณไขว้ของผลคูณเวกเตอร์และผลคูณไขว้ของ 2 เวกเตอร์:   or  ;

แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นการดำเนินการพื้นฐานที่มักจะถูกนำมาใช้น้อยกว่า, ดังเช่นที่สามารถแสดงได้ในแง่ของผลคูณจุดและผลคูณไขว้ก็ตาม

การดำเนินการอนุพันธ์

แคลคูลัสเวกเตอร์ศึกษาเกี่ยวกับตัวดำเนินการอนุพันธ์ต่าง ๆ ที่กำหนดไว้ในสนามสเกลาร์หรือสนามเวกเตอร์, ซึ่งโดยปกติจะถูกแสดงในเทอมของตัวดำเนินการเดล ( ) หรือที่เรียกกันว่า "nabla" มีการดำเนินการอนุพันธ์ที่สำคัญที่สุดอยู่ห้าอย่างในแคลคูลัสเวกเตอร์:

การดำเนินการ สัญกรณ์ คำอธิบาย โดเมน/พิสัย
เกรเดียนต์   วัดอัตราและทิศทางของการเปลี่ยนแปลงในสนามสเกลาร์ แผนที่สนามสเกลาร์สู่สนามเวกเตอร์
เคิร์ล   วัดแนวโน้มของการหมุนในบริเวณโดยรอบจุดในสนามเวกเตอร์ แผนที่สนามเวกเตอร์ (เทียม) สู่สนามเวกเตอร์
ไดเวอร์เจนซ์   วัดสเกลาร์ของแหล่งที่มาหรือแหล่งกำเนิดกับสเกลาร์ของแหล่งที่รับเข้าไปหรือแหล่งจุดจบที่จุดที่กำหนดในสนามเวกเตอร์ แผนที่สนามเวกเตอร์สู่สนามสเกลาร์
ลาปลาเซียน เวกเตอร์   องค์ประกอบของการดำเนินการเคริล์และการดำเนินการเกรเดียนต์ แผนที่ระหว่างสนามเวกเตอร์
ลาปลาเซียน   องค์ประกอบของการดำเนินการไดเวอร์เจนซ์และการดำเนินการเกรเดียนต์ แผนที่ระหว่างสนามสเกลาร์

แคลค, สเวกเตอร, บทความน, ไม, การอ, างอ, งจากแหล, งท, มาใดกร, ณาช, วยปร, บปร, งบทความน, โดยเพ, มการอ, างอ, งแหล, งท, มาท, าเช, อถ, เน, อความท, ไม, แหล, งท, มาอาจถ, กค, ดค, านหร, อลบออก, เร, ยนร, าจะนำสารแม, แบบน, ออกได, อย, างไรและเม, อไร, เป, นแขนงหน, งของคณ, . bthkhwamniimmikarxangxingcakaehlngthimaidkrunachwyprbprungbthkhwamni odyephimkarxangxingaehlngthimathinaechuxthux enuxkhwamthiimmiaehlngthimaxacthukkhdkhanhruxlbxxk eriynruwacanasaraemaebbnixxkidxyangiraelaemuxir aekhlkhulsewketxr epnaekhnnghnungkhxngkhnitsastr wadwykarepliynaeplngkhxngkhxngewketxrinmitithisungkwahruxethakbsxngmiti enuxhaprakxbdwyethkhnikhinkaraekpyhaaelasutrkhanwnthiekiywkhxngtang sungmipraoychnichnganmakinthangwiswkrrmaelafisikssnamewketxrhmaythungkarrabukhaewketxrihkbthuk cudinpriphumithiphicarna echnediywkbsnamseklar sungepnkarrabukhaseklarihkbthuk cudinpriphumi echn xunhphumikhxngnainsra epnsnamseklar odyepnkarrabukhaxunhphumi sungepnprimanseklarihkbaetlataaehnng swnkarihlkhxngnainsrannepnsnamewketxr enuxngcakkarihlkhxngnathiaetlacudnncathukrabudwy ewketxrkhwamerw twdaeninkarthisakhyinaekhlkhulsewketxrekrediynt gradient ichsylksn grad f displaystyle operatorname grad varphi hrux f displaystyle nabla varphi epntwdaeninkarichwdxtraaelathisthang khwamepliynaeplngkhxngsnamseklar dngnnekrediyntkhxngsnamseklar caidepnsnamewketxr idewxrecns divergence ichsylksn div F displaystyle operatorname div vec F hrux F displaystyle nabla cdot vec F epntwdaeninkarichwdkhwamluekhahruxluxxk epncudkaenidsnam khxngsnamewketxr n cudid ekhirl curl ichsylksn curl F displaystyle operatorname curl vec F hrux F displaystyle nabla times vec F epntwdaeninkarichwdradbkhwamhmunwn n cudid odyekhirlkhxngsnamewketxr caidepnxiksnamewketxrhnungtwdaeninkarxiktwhnungkhuxtwdaeninkarlapls idcakkarprayuktidewxrecnsaelaekrediyntrwmkn thvsdibththisakhythiekiywkhxngthvsdibthekrediynt thvsdibthidewxrecns thvsdibthkhxngsotkskarwiekhraahehlanisamarththakhwamekhaicidimyak odykarichwithikarthangerkhakhnitechingxnuphnth aekhlkhulsewketxr epnsakhayxyhnungkhxng erkhakhnitechingxnuphnth kardaeninkarewketxr aekikhkardaeninkarphichkhnit phunthanphichkhnit imichkarhaxnuphnth kardaeninkarinaekhlkhulsewketxrcaeriykwaphichkhnitewketxr thukkahndiwsahrbpriphumiewketxraelaidthuknaipprayuktichknthwolkkbsnamewketxraelaprakxbdwykarkhunseklar karkhunkhxngsnamseklaraelasnamewketxryxmidsnamewketxr a v displaystyle a mathbf v karbwkewketxr karbwkkhxngsnamewketxrsxngsnamyxmidsnamewketxr v 1 v 2 displaystyle mathbf v 1 mathbf v 2 phlkhuncud karkhunkhxngsnamewketxrsxngsnamyxmidsnamseklar v 1 v 2 displaystyle mathbf v 1 cdot mathbf v 2 phlkhunikhw karkhunkhxngsnamewketxrsxngsnamyxmidsnamewketxr v 1 v 2 displaystyle mathbf v 1 times mathbf v 2 nxkcakniyngmiphlkhunechingewketxrkhxngsamewketxr 2 aebb khux phlkhunechingseklarsamchn phlkhuncudkhxngphlkhunewketxraelaphlkhunikhwkhxng 2 ewketxr v 1 v 2 v 3 displaystyle mathbf v 1 cdot left mathbf v 2 times mathbf v 3 right phlkhunechingewketxrsamchn phlkhunikhwkhxngphlkhunewketxraelaphlkhunikhwkhxng 2 ewketxr v 1 v 2 v 3 displaystyle mathbf v 1 times left mathbf v 2 times mathbf v 3 right or v 3 v 2 v 1 displaystyle left mathbf v 3 times mathbf v 2 right times mathbf v 1 aemwasingehlanicaepnkardaeninkarphunthanthimkcathuknamaichnxykwa dngechnthisamarthaesdngidinaengkhxngphlkhuncudaelaphlkhunikhwktam kardaeninkarxnuphnth aekikh aekhlkhulsewketxrsuksaekiywkbtwdaeninkarxnuphnthtang thikahndiwinsnamseklarhruxsnamewketxr sungodypkticathukaesdnginethxmkhxngtwdaeninkaredl displaystyle nabla hruxthieriykknwa nabla mikardaeninkarxnuphnththisakhythisudxyuhaxyanginaekhlkhulsewketxr kardaeninkar sykrn khaxthibay odemn phisyekrediynt grad f f displaystyle operatorname grad f nabla f wdxtraaelathisthangkhxngkarepliynaeplnginsnamseklar aephnthisnamseklarsusnamewketxrekhirl curl F F displaystyle operatorname curl mathbf F nabla times mathbf F wdaenwonmkhxngkarhmuninbriewnodyrxbcudinsnamewketxr aephnthisnamewketxr ethiym susnamewketxridewxrecns div F F displaystyle operatorname div mathbf F nabla cdot mathbf F wdseklarkhxngaehlngthimahruxaehlngkaenidkbseklarkhxngaehlngthirbekhaiphruxaehlngcudcbthicudthikahndinsnamewketxr aephnthisnamewketxrsusnamseklarlaplaesiyn ewketxr 2 F F F displaystyle nabla 2 mathbf F nabla nabla cdot mathbf F nabla times nabla times mathbf F xngkhprakxbkhxngkardaeninkarekhrilaelakardaeninkarekrediynt aephnthirahwangsnamewketxrlaplaesiyn D f 2 f f displaystyle Delta f nabla 2 f nabla cdot nabla f xngkhprakxbkhxngkardaeninkaridewxrecnsaelakardaeninkarekrediynt aephnthirahwangsnamseklar bthkhwamekiywkbkhnitsastrniyngepnokhrng khunsamarthchwywikiphiediyidodyephimkhxmul duephimthi sthaniyxy khnitsastr ekhathungcak https th wikipedia org w index php title aekhlkhulsewketxr amp oldid 8307854, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม