fbpx
วิกิพีเดีย

เคิร์ล

ใน แคลคูลัสเวกเตอร์ เคิร์ล (อังกฤษ: curl) เป็นตัวดำเนินการเวกเตอร์ ที่อธิบาย การหมุนของสนามเวกเตอร์ ในสามมิติ เคิร์ลของแต่ละจุดในสนามแทนด้วยเวกเตอร์ ซึ่งมีคุณลักษณะ (ความยาวและทิศทาง) ที่แสดงถึงลักษณะการหมุนที่จุดนั้น

ทิศทางของเคิร์ลคือแกนของการหมุนตามที่กำหนดโดยกฎมือขวา และขนาดของเคิร์ลคือขนาดของการหมุน เช่น ถ้าสนามเวกเตอร์แทน ความเร็วการไหลของของไหลที่กำลังเคลื่อนที่แล้วเคิร์ลจะเป็นความหนาแน่นของการไหลเวียน ของของไหล สนามเวกเตอร์ที่เคิร์ลเป็นศูนย์ เรียกว่าไร้การหมุน (irrotational) เคิร์ลเป็นรูปแบบของ อนุพันธ์สำหรับสนามเวกเตอร์ โดยรูปทั่วไปของทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสที่ใช้กับเคิร์ล คือ ทฤษฎีบทของสโตกส์ ซึ่งเชื่อมโยงปริพันธ์ตามผิวของเคิร์ลของสนามเวกเตอร์กับ ปริพันธ์ตามเส้นของสนามเวกเตอร์รอบเส้นโค้งขอบเขตของพื้นผิวนั้น

สัญกรณ์ของเคิร์ล เขียนเป็น curl F หรือ ∇ × F ซึ่งใช้ตัวดำเนินการเดลและผลคูณไขว้ บางครั้งอาจเรียกเคิร์ลว่า โรเตชัน (rotation) หรือ โรเตชันนอล (rotational) เขียนเป็นสัญกรณ์ว่า rot F

เคิร์ลแตกต่างจากตัวดำเนินการเกรเดียนต์และไดเวอร์เจนซ์ เนื่องจากการประยุกต์สู่มิติอื่น ๆ ยากกว่า โดยมีความเป็นไปได้บางวิธี แต่จะมีเพียงในสามมิติเท่านั้นที่เคิร์ลของสนามเวกเตอร์จะเป็นสนามเวกเตอร์เหมือนเดิม ปรากฏการณ์นี้คล้ายกับ ผลคูณไขว้ ซึ่งนิยามในสามมิติและขยายไปใช้ในมิติอื่นได้ยากเช่นเดียวกัน ความสัมพันธ์นี้สะท้อนในสัญกรณ์ ∇× สำหรับเคิร์ล

ชื่อ "เคิร์ล" เสนอเป็นครั้งแรกโดย เจมส์ เคลิร์ก แมกซ์เวลล์ ใน ค.ศ. 1871 แต่แนวคิดนี้มีการใช้งานตั้งแต่ ค.ศ. 1839 ในทฤษฎีสนามเชิงแสงของเจมส์ แมกคัลลัค

องค์ประกอบของ F ที่ตำแหน่ง r ในทิศปกติและทิศสัมผัสกับเส้นโค้งปิด C ในระนาบแบน ที่ล้อมรอบพื้นที่เชิงเวกเตอร์ A = A

นิยาม

เคิร์ลของสนามเวกเตอร์ F (แทนด้วย curl F หรือ ∇ × F หรือ rot F) ที่จุดหนึ่ง ๆ นิยามจากภาพฉายของมันลงบนเส้นต่าง ๆ ที่ผ่านจุดนั้น ถ้า เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยใด ๆ ภาพฉายของเคิร์ลของ F ไปบน นิยามโดยลิมิตของปริพันธ์ตามเส้นปิดในระนาบที่ตั้งฉากกับ n̂ หารด้วยพื้นที่ที่ถูกล้อมรอบ เมื่อเส้นทางการหาปริพันธ์ลดขนาดลงสู่จุด

ตัวดำเนินการเคิร์ลนำฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง f : ℝ3 → ℝ3 ไปสู่ฟังก์ชันต่อเนื่อง g : ℝ3 → ℝ3 และโดยทั่วไปแล้วจะแปลงฟังก์ชัน Ckใน 3 เป็นฟังก์ชัน Ck−1 ใน 3

 
แบบแผนสำหรับการวางแนวเวกเตอร์ของปริพันธ์ตามเส้น

โดยปริยาย นิยามของเคิร์ล เขียนเป็นสมการได้เป็น

 

โดยที่ C Fdr คือ อินทิกรัลตามเส้น ตามขอบเขตของพื้นที่รอบจุดและ |A| คือขนาดของพื้นที่ ถ้า เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่ตั้งฉากกับระนาบ และ เป็นเวกเตอร์ปกติที่ในระนาบที่ชี้ออกไปด้านนอกพื้นที่ (ดูภาพขวา) แล้ว ทิศทางของ C จะเลือกให้เวกเตอร์สัมผัส ω̂ ของ C ทำให้ {,ν̂,ω̂} เป็นชุดเวกเตอร์ที่เป็นไปตามกฎมือขวา

การใช้งาน

ในทางปฏิบัติ นิยามข้างต้นไม่ค่อยได้ใช้เพราะในเกือบทุกกรณี ตัวดำเนินการเคิร์ลสามารถนำมาใช้ในกรอบของระบบพิกัดเชิงเส้นโค้งบางระบบ ที่มีการคำนวณหาสูตรที่ง่ายกว่าเอาไว้แล้ว

สัญกรณ์ ∇ × F มีต้นกำเนิดในความคล้ายคลึงกับผลคูณไขว้สามมิติ และมีประโยชน์ในการช่วยจำสูตรหาเคิร์ลในระบบพิกัดคาร์ทีเซียน โดย แทนตัวดำเนินการเดล สัญกรณ์เช่นนี้ถือเป็นปกติใน ฟิสิกส์ และ พีชคณิต

เมื่อกระจายสูตร ∇ × F ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสามมิติ (ดู เดลในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม สำหรับสูตรในระบบพิกัดทรงกลม และทรงกระบอก พิกัด) สำหรับ F ที่มีองก์ประกอบเวกเตอร์เป็น [Fx, Fy, Fz] จะได้เป็น

 

โดยที่ i, j, และ k เป็น เวกเตอร์หน่วย สำหรับ แกน x y และ z ตามลำดับ สิ่งนี้จะขยายออกดังนี้:

 

แม้ว่าจะแสดงในรูปแบบของพิกัด ผลลัพธ์นี้จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุนที่เหมาะสมของแกนพิกัด แต่จะพลิกด้านภายใต้การสะท้อน

อ้างอิง

  1. Proceedings of the London Mathematical Society, March 9th, 1871
  2. Collected works of James MacCullagh
  3. Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010,
  4. Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7
  5. Arfken, p. 43.

เค, ใน, แคลค, สเวกเตอร, งกฤษ, curl, เป, นต, วดำเน, นการเวกเตอร, อธ, บาย, การหม, นของสนามเวกเตอร, ในสามม, ของแต, ละจ, ดในสนามแทนด, วยเวกเตอร, งม, ณล, กษณะ, ความยาวและท, ศทาง, แสดงถ, งล, กษณะการหม, นท, ดน, นท, ศทางของค, อแกนของการหม, นตามท, กำหนดโดยกฎม, อขวา, แล. in aekhlkhulsewketxr ekhirl xngkvs curl epntwdaeninkarewketxr thixthibay karhmunkhxngsnamewketxr insammiti ekhirlkhxngaetlacudinsnamaethndwyewketxr sungmikhunlksna khwamyawaelathisthang thiaesdngthunglksnakarhmunthicudnnthisthangkhxngekhirlkhuxaeknkhxngkarhmuntamthikahndodykdmuxkhwa aelakhnadkhxngekhirlkhuxkhnadkhxngkarhmun echn thasnamewketxraethn khwamerwkarihlkhxngkhxngihlthikalngekhluxnthiaelwekhirlcaepnkhwamhnaaennkhxngkarihlewiyn khxngkhxngihl snamewketxrthiekhirlepnsuny eriykwairkarhmun irrotational ekhirlepnrupaebbkhxng xnuphnthsahrbsnamewketxr odyrupthwipkhxngthvsdibthphunthankhxngaekhlkhulsthiichkbekhirl khux thvsdibthkhxngsotks sungechuxmoyngpriphnthtamphiwkhxngekhirlkhxngsnamewketxrkb priphnthtamesnkhxngsnamewketxrrxbesnokhngkhxbekhtkhxngphunphiwnnsykrnkhxngekhirl ekhiynepn curl F hrux F sungichtwdaeninkaredlaelaphlkhunikhw bangkhrngxaceriykekhirlwa oretchn rotation hrux oretchnnxl rotational ekhiynepnsykrnwa rot Fekhirlaetktangcaktwdaeninkarekrediyntaelaidewxrecns enuxngcakkarprayuktsumitixun yakkwa odymikhwamepnipidbangwithi aetcamiephiynginsammitiethannthiekhirlkhxngsnamewketxrcaepnsnamewketxrehmuxnedim praktkarnnikhlaykb phlkhunikhw sungniyaminsammitiaelakhyayipichinmitixunidyakechnediywkn khwamsmphnthnisathxninsykrn sahrbekhirlchux ekhirl esnxepnkhrngaerkody ecms ekhlirk aemksewll in kh s 1871 1 aetaenwkhidnimikarichngantngaet kh s 1839 inthvsdisnamechingaesngkhxngecms aemkkhllkh 2 xngkhprakxbkhxng F thitaaehnng r inthispktiaelathissmphskbesnokhngpid C inranabaebn thilxmrxbphunthiechingewketxr A An niyam aekikhekhirlkhxngsnamewketxr F aethndwy curl F hrux F hrux rot F thicudhnung niyamcakphaphchaykhxngmnlngbnesntang thiphancudnn tha n epnewketxrhnunghnwyid phaphchaykhxngekhirlkhxng F ipbn n niyamodylimitkhxngpriphnthtamesnpidinranabthitngchakkb n hardwyphunthithithuklxmrxb emuxesnthangkarhapriphnthldkhnadlngsucudtwdaeninkarekhirlnafngkchnthihaxnuphnthidxyangtxenuxng f ℝ3 ℝ3 ipsufngkchntxenuxng g ℝ3 ℝ3 aelaodythwipaelwcaaeplngfngkchn Ck in ℝ3 epnfngkchn Ck 1 in ℝ3 aebbaephnsahrbkarwangaenwewketxrkhxngpriphnthtamesn odypriyay niyamkhxngekhirl ekhiynepnsmkaridepn 3 4 F p d e f lim A 0 1 A C F d r n displaystyle nabla times mathbf F p overset underset mathrm def lim A to 0 left frac 1 A oint C mathbf F cdot d mathbf r right mathbf hat n odythi C F dr khux xinthikrltamesn tamkhxbekhtkhxngphunthirxbcudaela A khuxkhnadkhxngphunthi tha n epnewketxrhnunghnwythitngchakkbranab aela v epnewketxrpktithiinranabthichixxkipdannxkphunthi duphaphkhwa aelw thisthangkhxng C caeluxkihewketxrsmphs w khxng C thaih n n w epnchudewketxrthiepniptamkdmuxkhwakarichngan aekikhinthangptibti niyamkhangtnimkhxyidichephraainekuxbthukkrni twdaeninkarekhirlsamarthnamaichinkrxbkhxngrabbphikdechingesnokhngbangrabb thimikarkhanwnhasutrthingaykwaexaiwaelwsykrn F mitnkaenidinkhwamkhlaykhlungkbphlkhunikhwsammiti aelamipraoychninkarchwycasutrhaekhirlinrabbphikdkharthiesiyn ody aethntwdaeninkaredl sykrnechnnithuxepnpktiin fisiks aela phichkhnitemuxkracaysutr F inrabbphikdkharthiesiynsammiti du edlinphikdthrngkrabxkaelathrngklm sahrbsutrinrabbphikdthrngklm aelathrngkrabxk phikd sahrb F thimixngkprakxbewketxrepn Fx Fy Fz caidepn i j k x y z F x F y F z displaystyle begin vmatrix mathbf i amp mathbf j amp mathbf k 5pt dfrac partial partial x amp dfrac partial partial y amp dfrac partial partial z 10pt F x amp F y amp F z end vmatrix odythi i j aela k epn ewketxrhnwy sahrb aekn x y aela z tamladb singnicakhyayxxkdngni 5 F z y F y z i F x z F z x j F y x F x y k displaystyle left frac partial F z partial y frac partial F y partial z right mathbf i left frac partial F x partial z frac partial F z partial x right mathbf j left frac partial F y partial x frac partial F x partial y right mathbf k aemwacaaesdnginrupaebbkhxngphikd phllphthnicaimepliynaeplngphayitkarhmunthiehmaasmkhxngaeknphikd aetcaphlikdanphayitkarsathxnxangxing aekikh Proceedings of the London Mathematical Society March 9th 1871 Collected works of James MacCullagh Mathematical methods for physics and engineering K F Riley M P Hobson S J Bence Cambridge University Press 2010 Vector Analysis 2nd Edition M R Spiegel S Lipschutz D Spellman Schaum s Outlines McGraw Hill USA 2009 ISBN 978 0 07 161545 7 Arfken p 43 bthkhwamekiywkbkhnitsastrniyngepnokhrng khunsamarthchwywikiphiediyidodyephimkhxmul duephimthi sthaniyxy khnitsastrekhathungcak https th wikipedia org w index php title ekhirl amp oldid 8329465, wikipedia, วิกิ หนังสือ, หนังสือ, ห้องสมุด,

บทความ

, อ่าน, ดาวน์โหลด, ฟรี, ดาวน์โหลดฟรี, mp3, วิดีโอ, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, รูปภาพ, เพลง, เพลง, หนัง, หนังสือ, เกม, เกม