การแปลงเชิงปริพันธ์

การแปลงเชิงปริพันธ์ (อังกฤษ: integral transform) ในทางคณิตศาสตร์ หมายถึง การแปลง T ใดๆ ที่อยู่ในรูป

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt.}$

โดยส่งผ่านฟังก์ชัน f เข้าสู่การแปลง และได้ผลลัพธ์ออกมาในรูป Tf การแปลงเชิงปริพันธ์นี้เป็นตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง

การแปลงเชิงปริพันธ์ที่มีประโยชน์นั้นมีอยู่หลายชนิด ขึ้นอยู่กับฟังก์ชันสองตัวแปร K ที่เลือกใช้ ฟังก์ชัน K นี้เรียกว่า เคอร์เนลของการแปลง (kernel of the transform) หรือ นิวเคลียส ของการแปลง

เคอร์เนลบางตัวนั้นมี เคอร์เนลอินเวอร์ส ${\displaystyle K^{-1}(u,t)}$ ซึ่งให้การแปลงกลับ:

${\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}K^{-1}(u,t)\,(Tf)(u)\,du.}$

เคอร์เนลที่สมมาตร (symmetric kernel) คือ เคอร์เนลที่มีหน้าตาเหมือนกัน เมื่อสลับที่ตัวแปรทั้งสอง

สิ่งจูงใจ

หากไม่กล่าวถึงเรื่องประโยชน์ที่ได้จากการใช้รูปแบบเครื่องหมาย สิ่งจูงใจของการใช้การแปลงเชิงปริพันธ์ที่เห็นได้ชัดเจนก็คือ ในบางปัญหาทางคณิตศาสตร์ซึ่งมีรูปแบบดั้งเดิมยากแก่การแก้ปัญหา การใช้การแปลงเชิงปริพันธ์เพื่อทำการแปลง รูปแบบของสมการจากในโดเมนดั้งเดิม ไปยังอีกโดเมนหนึ่งนั้น จะช่วยทำให้การจัดรูปและแก้ปัญหาสมการนั้นง่ายขึ้น หลังจากแก้ปัญหาสมการในโดเมนของการแปลงแล้ว ก็ทำการแปลงกลับให้มาอยู่ในโดเมนดั้งเดิมได้

การแปลงเชิงปริพันธ์ ใช้หลักการของการแยกองค์ประกอบสเปกตรัม (spectral factorization) ตาม ฐานเชิงตั้งฉากปรกติ (หรือ หมายความง่าย ๆ ว่า เราสามารถเขียนฟังก์ชันที่ซับซ้อน ให้อยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันที่ซับซ้อนน้อยกว่านั่นเอง

ประวัติ

การแปลงเชิงปริพันธ์ นั้นมีประวัติความเป็นมาเริ่มต้นจากการเขียนแทนฟังก์ชันในช่วงจำกัด ในรูปอนุกรมฟูรีเย และพัฒนาต่อมาเป็นการแปลงฟูรีเย เพื่อใช้สำหรับฟังก์ชันในช่วงไม่จำกัด

การเขียนฟังก์ชันในรูปอนุกรมฟูรีเย ฟังก์ชันจะถูกเขียนอยู่ในรูปผลบวกของฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ ที่มีขนาด และ ตำแหน่ง ต่าง ๆ โดยฟังก์ชันไซน์ และ โคไซน์ นี้ก็เป็นตัวอย่างของฐานเชิงตั้งฉากปรกติ

ความสำคัญของฐานที่ตั้งฉาก

ฟังก์ชันฐานที่ตั้งฉาก (orthogonal) นั้นหมายถึง ปริพันธ์ของผลคูณของสองฟังก์ชันฐานที่ต่างกัน ตลอดทั้งช่วงโดเมนของมันจะต้องมีค่าเป็นศูนย์ การแปลงเชิงปริพันธ์นั้นเพียงเป็นการเปลี่ยนรูปฟังก์ชันจากที่แสดงโดยฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง เป็นอีกฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่งเท่านั้น ค่าที่แต่ละจุดของฟังก์ชันในโดเมนของการแปลงคือ ค่าขนาดของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง ๆ ที่เป็นองค์ประกอบของการกระจายฟังก์ชันจากการแปลง กระบวนการกระจายฟังก์ชันจากรูปแบบมาตรฐาน เป็นผลบวกของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ ซึ่งอาจถูกปรับขนาด และ ตำแหน่ง เรียกว่า การแยกองค์ประกอบสเปกตรัม (spectral factorization) กระบวนการนี้คล้ายกับหลักการของการแทนจุดใด ๆ ในปริภูมิ 3 มิติ ด้วยค่าตามแกน x, y, z ซึ่งค่าแต่ละแกนจะตั้งฉากกัน และเป็นอิสระไม่ขึ้นแก่กัน ในการหาขนาดองค์ประกอบในการแยกองค์ประกอบสเปกตรัมของฟังก์ชัน F ตามฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติหนึ่ง ๆ นั้นจะใช้คำว่า โพรเจกชัน (projection) ของ F ไปบนฟังก์ชันฐานนั้น เช่นเดียวกับในกรณีของเวกเตอร์

เราสามารถมองกราฟของฟังก์ชันบนพิกัดคาร์ทีเซียน เหมือนกับเป็นการกระจายบนฐานเชิงตั้งฉากปรกติเช่นกัน โดยแต่ละจุดบนกราฟจะเป็นองค์ประกอบของแต่ละฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ เช่นจุด (3,5) บนกราฟ หมายถึง องค์ประกอบ ของฟังก์ชันฐานเชิงตั้งฉากปรกติ δ(x-3) โดยที่ "δ" คือ ฟังก์ชันครอเนกเคอร์เดลต้า (Kronecker delta function) ที่มีขนาดเท่ากับ 5 หากมองเช่นนี้แล้ว กราฟต่อเนื่องของฟังก์ชันจำนวนจริงบนระนาบ ก็คือผลรวมของฟังก์ชันฐานจำนวนไม่จำกัด เพราะหากฟังก์ชันฐานมีจำนวนจำกัด เส้นกราฟก็ควรจะมีรูปร่างเป็นจุด ๆ แทนที่จะเป็นเส้นต่อเนื่อง

ตารางการแปลงเชิงปริพันธ์

ตารางการแปลงเชิงปริพันธ์

การแปลง	สัญลักษณ์	${\displaystyle K}$	t1	t2	${\displaystyle K^{-1}}$	u1	u2
การแปลงฟูรีเย (Fourier transform)	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-iut}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {e^{+iut}}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$
การแปลงฮาร์ทลีย์ (Hartley transform)	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$
การแปลงเมลลิน (Mellin transform)	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	${\displaystyle t^{u-1}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
การแปลงลาปลาสสองด้าน (Two-sided Laplace transform)	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	${\displaystyle e^{-ut}\,}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
การแปลงลาปลาส (Laplace transform)	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	${\displaystyle e^{-ut}\,}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {e^{+ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
การแปลงแฮงเคิล (Hankel transform)		${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle u\,J_{\nu }(ut)}$	${\displaystyle 0\,}$	${\displaystyle \infty \,}$
การแปลงอาเบล (Abel transform)		${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$	${\displaystyle u\,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}}$	${\displaystyle t\,}$	${\displaystyle \infty \,}$
การแปลงฮิลเบิร์ต (Hilbert transform)	${\displaystyle {\mathcal {H}}il}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty \,}$	${\displaystyle \infty \,}$
การแปลงเอกลักษณ์ (Identity transform)		${\displaystyle \delta (u-t)\,}$	${\displaystyle t_{1}<u\,}$	${\displaystyle t_{2}>u\,}$	${\displaystyle \delta (t-u)\,}$	${\displaystyle u_{1}\!<\!t}$	${\displaystyle u_{2}\!>\!t}$

ในการแปลงกลับ ค่า c เป็นค่าคงที่ซึ่งขึ้นกับฟังก์ชันของการแปลง เช่น สำหรับการแปลงลาปลาสด้านเดียว และสองด้าน c จะต้องมีค่ามากกว่า ค่าส่วนจำนวนจริงที่มากที่สุดของค่าศูนย์(zero) ฟังก์ชันของการแปลง

ดูเพิ่ม

• รายชื่อการแปลง (คณิตศาสตร์)