จอห์นสันนอยส์

จอห์นสันนอยส์ (อังกฤษ: Johnson noise) คือสัญญาณรบกวนซึ่งมีผลมาจากอุณหภูมิ (Thermal noise) ซึ่งมาจาการที่พลังงานความร้อน (Thermal Energy) มีผลต่อการเคลื่อนที่ของอิเล็กตรอนในตัวนำไฟฟ้า สัญญาณนี้ได้ถูกทดลองโดย จอห์น บี จอห์นสัน (John B. Johnson) แต่ได้ถูก แฮร์รี่ ไนควิสต์ (Harry Nyquist) อธิบายในทางทฤษฎีไว้ โดยได้ผลตรงกัน บางทีจึงเรียกว่า ไนควิสต์นอยส์ (Nyquist noise)

ในแบบจำลองทางทฤษฎี เราจะสมมุติปัญหาให้เป็นความผันผวนจากอุณหภูมิแบบสุ่มของอิเล็กตรอนภายตัวต้านทาน 1 มิติ ที่มีความยาวเป็น L มีพื้นที่หน้าตัดเป็น A มีความต้านทาน R และมีศักย์ไฟฟ้าตกคร่อมจากกฎของโอห์ม V=IR โดยกระแสและศักย์ไฟฟ้านั้นจะมีผลมาจากความผันผวนทางอุณหภูมิ ที่จะอนุญาตให้อิเล็กตรอนเคลื่อนที่ไปในทิศทางหนึ่งๆ มากกว่าทิศทางอื่นๆ

โดยปรกติแล้วเมื่อไม่มีกระแสไหล จะได้ว่าศักย์ไฟฟ้าเฉลี่ยจะมีค่าเท่ากับศูนย์ จากการที่อิเล็กตรอนควรจะเคลื่อนที่แบบสุ่มไปเท่าๆกันทั้งสองด้านของตัวนำไฟฟ้า

นั่นคือ ${\displaystyle \left\langle V\right\rangle =0}$

แต่ว่าในความเป็นจริงความผันผวนทางอุณหภูมิควรจะทำให้ค่าของศักย์ไฟฟ้ามีค่าที่เวลาต่างๆ ${\displaystyle V(t)\neq 0}$

จึงใช้ผลจาก ${\displaystyle \left\langle \Delta V\right\rangle ^{2}=\left\langle (V-\left\langle V\right\rangle )^{2}\right\rangle =\left\langle V^{2}\right\rangle -\left\langle V\right\rangle ^{2}=\left\langle V^{2}\right\rangle \neq 0}$

${\displaystyle \left\langle \Delta V\right\rangle ^{2}=\left\langle V^{2}\right\rangle }$ คือศักย์จากสัญญาณรบกวนทางอุณหภูมิ (thermal noise voltage)

จากกฎของโอห์ม ${\displaystyle \Delta V=\Delta I\cdot R}$ ${\displaystyle =\Delta {\frac {q}{t_{0}}}R={\frac {e\Delta x/L}{t_{0}}}R}$ โดยที่ L คือความยาวของตัวต้านทาน ${\displaystyle \Delta x}$ เป็นการเคลื่อนที่โดยรวมตามทิศทาง x ของอิเล็กตรอนทุกตัวในช่วงเวลา ${\displaystyle t_{0}}$

จะได้ว่า ${\displaystyle \Delta x={\sqrt {N}}\Delta d}$

${\displaystyle \Delta d}$ คือระยะทางเฉลี่ยที่อิเล็กตรอนแต่ละตัวเคลื่อนที่ และ ${\displaystyle N}$ คือจำนวนอิเล็กตรอนที่เคลื่อนที่ทั้งหมดในช่วงเวลา ${\displaystyle t_{0}}$

จะได้ว่า ${\displaystyle \Delta V={\frac {e}{L}}{\sqrt {N}}{\frac {\Delta d}{t_{0}}}R}$

และจาก ${\displaystyle N=(nAL){\frac {t_{0}}{\tau }}}$

โดย n คือความหนาแน่นของอิเล็กตรอนที่ถูกเหนี่ยวนำ

${\displaystyle \tau }$ คือช่วงเวลาที่อิเล็กตรอนแต่ละตัวจะปะทะ (Collision) กัน จาก ${\displaystyle (\Delta d)^{2}=\left\langle d^{2}\right\rangle =\left\langle v_{x}^{2}\tau ^{2}\right\rangle =\left\langle v_{x}^{2}\right\rangle \tau ^{2}}$

และความสัมพันธ์อัตราเร็วกับอุณหภูมิ ${\displaystyle \left\langle E\right\rangle ={\frac {1}{2}}m\left\langle v_{x}^{2}\right\rangle ={\frac {1}{2}}k_{B}T}$ โดย m คือมวลอิเล็กตรอน

นั่นคือ ${\displaystyle (\Delta d)^{2}={\frac {k_{B}T\tau ^{2}}{m}}}$

จะได้ว่า

${\displaystyle (\Delta V)^{2}={\frac {e^{2}}{L^{2}}}N{\frac {(\Delta d)^{2}}{t_{0}^{2}}}R^{2}}$

${\displaystyle ={\frac {e^{2}}{L^{2}}}{\frac {nALt_{0}}{\tau }}{\frac {k_{B}T\tau ^{2}}{mt_{0}^{2}}}R^{2}={\frac {A}{L}}{\frac {ne^{2}\tau }{m}}{\frac {k_{B}T}{t_{0}}}R^{2}}$

แต่ว่า ${\displaystyle {\frac {L}{A}}{\frac {2m}{ne^{2}\tau }}={\frac {L}{A}}\rho =R}$

ดังนั้น ${\displaystyle \left\langle V^{2}\right\rangle =4k_{B}TR\Delta f}$ โดยที่ ${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{2t_{0}}}}$

${\displaystyle {\frac {\left\langle V^{2}\right\rangle }{\Delta f}}=4k_{B}TR}$ ${\displaystyle [Volt^{2}/Hz]}$ ความถี่สัญญาณ (bandwidth) [ความหนาแน่นพลังงานในความถี่] [power spectral density]