ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

ในตรรกศาสตร์เชิงพิสูจน์ ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว (อังกฤษ: Universal quantifier) หรือ ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นหนึ่งในตัวบ่งปริมาณ ซึ่งใช้แทนคำว่า "สำหรับ...ใดๆ" หรือ "ฟอร์ออล" หมายความว่าภาคแสดงนั้นเป็นจริงสำหรับสมาชิกใด ๆ ในโดเมน หรือก็คือ สมาชิกทุกตัวในโดเมนนั้น ๆ สอดคล้องกับเงื่อนไขที่กำหนด

สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

การบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว จะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∀ ร่วมกับตัวแปร เช่น "∀x", "∀(x)" หรือบางทีเขียน "(x)" แบบโดด ๆ จะแทนข้อความที่ว่า สำหรับ x ใด ๆ หรือ สำหรับทุก x

ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวแตกต่างจากตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง ซึ่งจะใช้เฉพาะสมาชิกในโดเมนอย่างน้อยที่สุดหนึ่งตัวเท่านั้น (ดูหัวข้อใหญ่ที่ตัวบ่งปริมาณ)

รหัสของสัญลักษณ์นี้ในระบบยูนิโคดคือ U+2200 ∀ for all และ \forall ในระบบ LaTeX

พื้นฐาน

เราทราบกันดีว่าข้อความด้านล่างนี้จริง

"${\displaystyle 2\cdot 0=0+0}$  และ ${\displaystyle 2\cdot 1=1+1}$  และ ${\displaystyle 2\cdot 2=2+2}$  เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ"

ข้อความนี้ดูเหมือนจะประพจน์ที่อาศัยการเชื่อมเชิงตรรกศาสตร์เชื่อมประพจน์เข้าด้วยกัน เพราะมีการใช้ "และ" แบบซ้ำๆ แต่อย่างไรก็ดี วลีที่ว่า "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ไม่มีความหมายในระบบตรรกศาสตร์รูปนัยได้ ข้อความดังกล่าวจะต้องเขียนใหม่เป็น:

"${\displaystyle \forall n:n\in \mathbb {N} ;2\cdot n=n+n}$ "

ข้อความที่เขียนใหม่ข้างต้นเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง อีกนัยหนึ่งคือ สูตรที่เขียนนั้นมีความหมาย

รูปประโยคข้างต้นจะรัดกุมมากกว่าประพจน์แรก เพราะว่า ถึงแม้เราอาจตีความวลี "เป็นเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ" ว่ารวมเอาเฉพาะจำนวนธรรมชาติเท่านั้น แต่ทำให้เกิดความกำกวมและไม่รัดกุม การใช้ตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัวร่วมกับการระบุเอกภพสัมพัทธ์เจาะจงถึงจำนวนธรรมชาติโดยเฉพาะจะรัดกุมกว่า

ประพจน์นี้เป็นจริง เพราะว่า เมื่อเราแทนค่า ${\displaystyle n}$  ด้วยจำนวนธรรมชาติใด ๆ แล้ว ภาคแสดง "${\displaystyle 2\cdot n=n+n}$ " จะเป็นจริง

ตัวอย่างถัดไป พิจารณาประพจน์

${\displaystyle \forall n:n\in \mathbb {N} ;2\cdot n>2+n}$ 

ซึ่งเป็นเท็จ เพราะถ้า ${\displaystyle n}$  ถูกแทนที่ด้วย 1 ภาคแสดงด้านหลังก็จะกลายเป็น ${\displaystyle 2\cdot 1>2+1}$  ซึ่งเป็นเท็จ จำนวนธรรมชาติส่วนใหญ่เป็นไปตามเงื่อนไขนี้ก็จริง แต่แค่มีตัวใดตัวหนึ่งทำให้เงื่อนไขนี้เป็นเท็จ (สำหรับตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด) ก็มากพอที่จะพิสูจน์ว่าเงื่อนไขดังกล่าวเป็นเท็จ

แต่ในทางตรงกันข้าม หากพิจารณาเฉพาะ ${\displaystyle n}$  ใด ๆ ที่เป็นจำนวนประกอบ ประพจน์ข้างต้นจะกลายเป็นจริงทันที นี่แสดงให้เห็นว่าการระบุเอกภพสัมพัทธ์ที่ใช้ในการพิจารณาเป็นเรื่องสำคัญ อนึ่ง เราสามารถใช้เงื่อนไขเชิงตรรกศาสตร์เข้ามาเพื่อเปลี่ยนเอกภพสัมพัทธ์ของประพจน์ได้ ตัวอย่างเช่น ข้อความที่ว่า

"สำหรับจำนวนประกอบ ${\displaystyle n}$  ใด ๆ เราจะได้ว่า ${\displaystyle 2\cdot n>2+n}$ "

สมมูลกับ

"สำหรับจำนวนธรรมชาติ ${\displaystyle n}$  ใด ๆ ถ้า ${\displaystyle n}$  เป็นจำนวนประกอบ แล้วเราจะได้ว่า ${\displaystyle 2\cdot n>2+n}$ "

ดูเพิ่ม

ในตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง สัญลักษณ์ตัวบ่งปริมาณ ${\displaystyle \forall }$  (ตัว "A" กลับหัวในฟอนต์ตระกูล Sans-Seri, ยูนิโคด U+2200) ใช้แทนตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว เกอร์ฮาร์ท เกนท์เซนเป็นคนแรกที่ใช้สัญลักษณ์นี้ในปี ค.ศ. 1935

ตัวบ่งประมาณสำหรับทุกตัว จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อระบุตัวแปรของตัวบ่งปริมาณ และตามหลังด้วยภาคแสดงเท่านั้น นั่นคือ ถ้า ${\displaystyle P(n)}$  เป็นภาคแสดง และ ${\displaystyle x}$  เป็นตัวแปร แล้ว ${\displaystyle (\forall x)(P(x))}$  จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้วในระบบตรรกศาสตร์อันดับหนึ่ง ในหลาย ๆ ครั้งเราละการเขียนวงเล็บเหลือเพียง ${\displaystyle \forall xP(x)}$  แทน

นอกจากนี้ เราสามารถระบุเอกภพสัมพัทธ์ของตัวแปรได้โดยกำหนดให้ ${\displaystyle (\forall x\in A)(P(x))}$  หรือ ${\displaystyle (\forall x\colon x\in A)(P(x))}$  แทนประพจน์ ${\displaystyle (\forall x)(x\in A\implies P(x))}$ 

ตัวอย่างเช่น หากกำหนดให้ ${\displaystyle P(n)}$  แทนภาคแสดง "${\displaystyle 2\cdot n>2+n}$ " และ ${\displaystyle \mathbb {N} }$  เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติ แล้ว

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(P(n))}$  ซึ่งก็คือ ${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(2\cdot n>2+n)}$ 

จะเป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นเท็จ)

เช่นกัน หากกำหนด ${\displaystyle Q(n)}$  แทนภาคแสดง "${\displaystyle n}$  เป็นจำนวนประกอบ" แล้ว

${\displaystyle (\forall n\in \mathbb {N} )(Q(n)\rightarrow P(n))}$ 

เป็นสูตรที่จัดดีแล้ว (ซึ่งเป็นจริง)

สมบัติ

การนิเสธ

ฟังก์ชันประพจน์หรือภาคแสดงเมื่อระบุตัวบ่งปริมาณพร้อมกับตัวแปร แล้วจะเป็นประพจน์ ดังนั้น ฟังก์ชันที่มีตัวบ่งปริมาณก็มีนิเสธได้ ส่วนใหญ่สัญลักษณ์แทนการนิเสธใช้ ${\displaystyle \neg }$  อนึ่ง อาจใช้ตัวหนอน (~) แทน

ตัวอย่างเช่น ถ้า ${\displaystyle P(x)}$  เป็นภาคแสดงแทนประโยคที่ว่า "x แต่งงานแล้ว" และกำหนดเอกภพสัมพัทธ์ ${\displaystyle \mathbf {X} }$  คือเซตของมนุษย์ทุกคน

ข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" จะสามารถเขียนแทนได้ด้วย

${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$ 

ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่าประพจน์นี้เป็นเท็จอย่างแน่นอน เพราะฉะนั้นนิเสธของประพจน์นี้ต้องเป็นจริง ซึ่งก็คือ

"${\displaystyle \lnot (\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x))}$ " เป็นจริง

ถ้าข้อความที่ว่า "มนุษย์ทุกคนแต่งงานแล้ว" ไม่จริง และเมื่อเอกภพสัมพัทธ์ไม่ใช่เซตว่าง จะต้องได้ว่ามีคนอย่างน้อยหนึ่งคนที่ยังไม่แต่งงาน ซึ่งทำให้ภาคแสดงเป็นเท็จ ดังนั้น นิเสธของ ${\displaystyle \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)}$  จะสมมูลกับ "มี x เป็นมนุษย์บางคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน" ซึ่งก็คือประพจน์ที่ว่า

${\displaystyle \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$ 

โดยนัยทั่วไปแล้ว นิเสธของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว และสมมูลกันตามเงื่อนไขดังนี้

${\displaystyle \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$ 

ข้อควรระวังคือ ประโยค "ทุกคนยังไม่ได้แต่งงาน" (หรือ "ไม่มีใครเลยที่แต่งงานแล้ว") มีความหมายแตกต่างจาก "ไม่ใช่ทุกคนที่แต่งงานแล้ว" (หรือ "มีคนที่ยังไม่ได้แต่งงาน") หรือก็คือ

${\displaystyle \ \lnot \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)\not \equiv \ \lnot \ \exists {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x)\equiv \ \forall {x}{\in }\mathbf {X} \,\lnot P(x)}$ 

ตัวเชื่อมอื่นๆ

ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด (และบางตัว) เมื่อใช้ตัวเชื่อมทางตรรกศาสตร์ ∧, ∨, →, และ↚ เมื่อสลับตำแหน่ง ตัวบ่งปริมาณจะไม่เปลี่ยนไป อาทิ :

${\displaystyle P(x)\land (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y))}$ 

${\displaystyle P(x)\lor (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }$ 

${\displaystyle P(x)\to (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }$ 

${\displaystyle P(x)\nleftarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y))}$ 

${\displaystyle P(x)\land (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\land Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }$ 

${\displaystyle P(x)\lor (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\lor Q(y))}$ 

${\displaystyle P(x)\to (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\to Q(y))}$ 

${\displaystyle P(x)\nleftarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nleftarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }$ 

ในทางตรงกันข้าม เมื่อเป็น ↑, ↓, ↛, และ ← ตัวบ่งปริมาณจะเปลี่ยนไป

${\displaystyle P(x)\uparrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\uparrow Q(y))}$ 

${\displaystyle P(x)\downarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }$ 

${\displaystyle P(x)\nrightarrow (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }$ 

${\displaystyle P(x)\gets (\exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y))}$ 

${\displaystyle P(x)\downarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\downarrow Q(y))}$ 

${\displaystyle P(x)\nrightarrow (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\nrightarrow Q(y))}$ 

${\displaystyle P(x)\gets (\forall {y}{\in }\mathbf {Y} \,Q(y))\equiv \ \exists {y}{\in }\mathbf {Y} \,(P(x)\gets Q(y)),~\mathrm {provided~that} ~\mathbf {Y} \neq \emptyset }$ 

กฎการอนุมานของตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

กฎการอนุมานเป็นกฎใช้สรุปผลจากเหตุหรือจากสมมติฐาน มีกฎการอนุมานอยู่หลายกฎที่ใช้กับตัวบ่งปริมาณสำหรับทุกตัว

การกำหนดเฉพาะจากการอ้างทั้งหมด (อังกฤษ: Universal Instantiation) กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆเป็นที่ทราบกันทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น ตัวนั้นจะต้องเป็นจริงกับสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ หรือเขียนได้ในรูป :

${\displaystyle (\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,P(x))\to \ P(c)}$ 

เมื่อ ${\displaystyle c}$  เป็นสมาชิกใด ๆ ในเอกภพสัมพัทธ์

การสรุปทั้งหมดจากการกำหนดเฉพาะ (อังกฤษ: Universal Generalization) กล่าวไว้ว่า ถ้าฟังก์ชันของประพจน์นั้นๆจะต้องเป็นจริงอย่างแน่นอน ถ้ามันเป็นจริงต่อสมาชิกใดๆ หาก c แทนสมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ใด ๆ จะเขียนได้ในรูป :

${\displaystyle P(c)\to \ (\forall {x}{\in }\mathbf {X} \,(P(x)))}$ 

สมาชิก c ต้องเป็นสมาชิกไม่เจาะจงใด ๆ ของเอกภพสัมพัทธ์

เซตว่าง

โดยปกติแล้ว รูปแบบ ${\displaystyle (\forall {x}{\in }\emptyset )(P(x))}$  นั้นจะเป็นจริงเสมอ ไม่ว่า${\displaystyle P(x)}$  จะเป็นภาคแสดงใด : ดูที่ค่าความจริงว่าง

การปิดแบบทั้งหมด

การปิดแบบทั้งหมด (อังกฤษ: Universal closure) ของสูตร ${\displaystyle \phi }$  เป็นสูตรที่ไม่มีตัวแปรอิสระที่ได้จากการเติมตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมดให้แก่ตัวแปรอิสระใด ๆ ใน ${\displaystyle \phi }$  ตัวอย่างเช่น การปิดแบบทั้งหมดของ

${\displaystyle P(y)\land \exists xQ(x,z)}$ 

คือ

${\displaystyle \forall y\forall z(P(y)\land \exists xQ(x,z))}$ 

นัยทั่วไปของตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด

ในทฤษฎีแคทิกอรี และทฤษฎีทอพอพื้นฐาน ตัวบ่งปริมาณแบบทั้งหมด เป็นที่เข้าใจโดยทั่วไปว่าเป็นแอดจอยน์ทางขวา (Right adjoint) ของฟังก์เตอร์ระหว่างสองพาวเวอร์เซต ฟังก์เตอร์ภาพผกผันของฟังก์ชันระหว่างสองเซตมองได้คล้ายกันว่าเป็นตัวบ่งปริมาณแบบบางตัวเป็นแอดจอยน์ทางซ้าย

ให้ ${\displaystyle X}$  เป็นเซตใดๆ และ ${\displaystyle {\mathcal {P}}X}$  แทนพาวเวอร์เซตของ ${\displaystyle X}$ 

สำหรับฟังก์ชัน ${\displaystyle f:X\to Y}$  ใด ๆ ระหว่างเซต ${\displaystyle X}$  และ ${\displaystyle Y}$  จะมีฟังก์เตอร์ภาพผกผัน ${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {P}}Y\to {\mathcal {P}}X}$  ระหว่างพาวเวอร์เซต ที่ส่งซับเซตของโคโดเมนของ ${\displaystyle f}$  คืนให้ซับเซตของโดเมนของตัวมันเอง แอดจอยน์ทางซ้ายของฟังก์เตอร์นี้คือตัวบ่งปริมาณแบบบางตัว (${\displaystyle \exists _{f}}$ ) ส่วนแอดจอยน์ด้านซ้ายเป็นตัวบ่งปริมาณแบบทุกตัว (${\displaystyle \forall _{f}}$ )

นั่นคือ ฟังก์เตอร์ ${\displaystyle \exists _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}$  เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับเซต ${\displaystyle S\subset X}$  ใด ๆ จะคืนค่าเป็นซับเซต ${\displaystyle \exists _{f}S\subset Y}$  กำหนดโดย

${\displaystyle {\displaystyle \exists _{f}S=\{y\in Y\;|\;\exists x\in X.\ f(x)=y\quad \land \quad x\in S\}}}$ 

นั่นคือ ${\displaystyle y}$  อยู่ในอิมเมจของ ${\displaystyle S}$  ภายใต้ ${\displaystyle f}$ 

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์เตอร์ ${\displaystyle \forall _{f}\colon {\mathcal {P}}X\to {\mathcal {P}}Y}$  เป็นฟังก์เตอร์ที่สำหรับแต่ละเซต ${\displaystyle S\subset X}$  จะคืนค่าเป็นสับเซต ${\displaystyle \forall _{f}S\subset Y}$  กำหนดโดย

${\displaystyle {\displaystyle \forall _{f}S=\{y\in Y\;|\;\forall x\in X.\ f(x)=y\quad \implies \quad x\in S\}}}$ 

นั่นคือ ${\displaystyle y}$  เป็นสมาชิกที่พรีอิมเมจภายใต้ ${\displaystyle f}$  อยู่ใน ${\displaystyle X}$  ทั้งหมด

เราสามารถทำกลับให้ได้ตัวบ่งปริมาณแบบปรกติที่ใช้ในตรรกศาสตร์อันดับแรก โดยให้ ${\displaystyle f}$  ข้างต้นเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ ${\displaystyle {\displaystyle !:X\to 1}}$  ที่ทำให้ ${\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {P}}(1)=\{T,F\}}}$  เป็นเซตที่มีสมาชิกสองตัวแทนจริงและเท็จตามลำดับ แล้วซับเซต S เป็นซับเซตที่ทำให้ ${\displaystyle S(x)}$  เป็นจริง และ

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{array}{rl}{\mathcal {P}}(!)\colon {\mathcal {P}}(1)&\to {\mathcal {P}}(X)\\T&\mapsto X\\F&\mapsto \{\}\end{array}}}}$ 

${\displaystyle {\displaystyle \exists _{!}S=\exists x.S(x)}}$ 

จะเป็นจริง หาก ${\displaystyle S}$  ไม่ใช่เซตว่าง และ

${\displaystyle {\displaystyle \forall _{!}S=\forall x.S(x)}}$ 

จะเป็นเท็จ หาก ${\displaystyle S}$  ไม่ใช่ ${\displaystyle X}$ 

ตัวบ่งปริมาณสามารถขยายออกไปใช้กับแคทิกอรีพรีชีฟได้

ดูเพิ่ม

• รายการสัญลักษณ์ที่ใช้กับตรรกศาสตร์
• ตัวบ่งปริมาณสำหรับตัวมีจริง

อ้างอิง

1. โสรัจจ์ หงศ์ลดารมภ์, 2564
2. https://en.wikipedia.org/wiki/Universal_quantification#cite_note-3

บรรณานุกรม

• โสรัจจ์ หงศ์ลดารมภ์. ตรรกวิทยาสัญลักษณ์. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์จุฬาลงกรณ์มหาวิยาลัย, 2564. ISBN 9789740340010