ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง (อังกฤษ: Intermediate value theorem) เป็นทฤษฎีบทในสาขาการวิเคราะห์เชิงจริง ซึ่งกล่าวว่า ถ้า ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่หาค่าได้บนช่วงปิด ${\displaystyle [a,b]}$ แล้ว ${\displaystyle f}$ จะมีค่าได้ทุกค่าระหว่าง ${\displaystyle f(a)}$ และ ${\displaystyle f(b)}$

ภาพประกอบสำหรับทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง: ถ้า ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องนิยามบนช่วงปิด ${\displaystyle [a,b]}$ แล้วฟังก์ชันนี้จะส่งไปยังค่าทุกค่าที่อยู่ระหว่าง ${\displaystyle f(a)}$ และ ${\displaystyle f(b)}$

ทฤษฎีบทนี้ให้ภาพความเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องอย่างชัดเจน ฟังก์ชันต่อเนื่องในมุมมองทั่ว ๆ ไป คือฟังก์ชันที่กราฟไม่ขาดตอน ดังนั้นหากฟังก์ชันต่อเนื่องลากเชื่อมสองจุดใด ๆ แล้วเส้นกราฟที่เชื่อมระหว่างจุดทั้งสองต้องลากเส้นแนวนอนที่ขวางระหว่างกลางสองจุดนั้นเสมอ

เนื้อหาของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง —  ให้ ${\displaystyle f}$  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่หาค่าได้บนช่วงปิด ${\displaystyle [a,b]}$  และ ${\displaystyle c}$  เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่อยู่ระหว่าง ${\displaystyle f(a)}$  และ ${\displaystyle f(b)}$  แล้วจะมี ${\displaystyle x\in [a,b]}$  ที่ทำให้ ${\displaystyle f(x)=c}$ 

ความเชื่อมโยงกับความบริบูรณ์ของจำนวนจริง

ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับความบริบูรณ์ของระบบจำนวนจริง และไม่เป็นจริงในฟีลด์ที่ไม่มีสมบัติความบริบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)=x^{2}-2}$  ที่นิยามบน ${\displaystyle \mathbb {Q} }$  สอดคล้องกับสมการ ${\displaystyle f(0)=-2}$  และ ${\displaystyle f(2)=2}$  แต่ไม่มีจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle x}$  ใดที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle f(x)=0}$  ทั้งนี้เพราะว่า ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$  เป็นจำนวนอตรรกยะ

พิสูจน์

บทพิสูจน์นี้อาศัยความบริบูรณ์ของจำนวนจริง

พิสูจน์ —

เราจะพิสูจน์ในกรณีที่ ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$  สำหรับกรณีอื่น ๆ ทำได้เช่นกัน

ให้ ${\displaystyle S}$  เป็นเซตของจำนวน ${\displaystyle x\in [a,b]}$  ทั้งหมดที่ซึ่ง ${\displaystyle f(x)\leq u}$  แล้ว ${\displaystyle S}$  จะไม่เป็นเซตว่างเพราะมี ${\displaystyle a}$  เป็นสมาชิก นอกจากนี้ ${\displaystyle S}$  มีขอบเขตบนคือ ${\displaystyle b}$ 

จากสมบัติความบริบูรณ์ของจำนวนจริง จะได้ว่าขอบเขตบนน้อยสุด ${\displaystyle \sup S}$  มีอยู่ ให้แทนด้วย ${\displaystyle c}$ 

เราอ้างว่า ${\displaystyle f(c)=u}$ .

กำหนด ${\displaystyle \varepsilon >0}$  เนื่องจาก ${\displaystyle f}$  ต่อเนื่อง ดังนั้นจะมี ${\displaystyle \delta >0}$  ที่ทำให้ ${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$  ทุกค่า ${\displaystyle |x-c|<\delta }$  ดังนั้นจะได้ว่า

${\displaystyle f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon }$ 

สำหรับทุก ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$  โดยอาศัยสมบัติของขอบเขตบนน้อยสุด จะมี ${\displaystyle a^{*}\in (c-\delta ,c]}$  ที่อยู่ใน ${\displaystyle S}$  และทำให้

${\displaystyle f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon }$ .

เลือก ${\displaystyle a^{**}\in (c,c+\delta )}$  จะเห็นได้ว่า ${\displaystyle a^{**}\not \in S}$  เพราะ ${\displaystyle c}$  เป็นค่าขอบเขตบนน้อยสุดของ ${\displaystyle S}$ 

จึงได้

${\displaystyle f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon }$ .

จากทั้งสองอสมการเราพบว่า

${\displaystyle u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon }$ 

เป็นจริงสำหรับทุก ${\displaystyle \varepsilon >0}$  ซึ่งทำให้ได้ว่า ${\displaystyle f(c)=u}$  ตามต้องการ

มีบทพิสูจน์แบบอื่นที่อาศัยวิธีการผ่าครึ่ง (Bisection method) ซึ่งนำไปสู่ขั้นตอนวิธีการหารากโดยใช้วิธีการผ่าครึ่ง

หมายเหตุ: ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางสามารถพิสูจน์ได้ในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน ซึ่งใช้แนวความคิดเกี่ยวกับกณิกนันต์อย่างรัดกุม

บทแทรก

ทฤษฎีบทต่อนี้เป็นผลโดยทันทีจากทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

• ทฤษฎีบทของบ็อลท์ซาโน (Bolzano's theorem): ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องเปลี่ยนเครื่องหมายบนช่วงใด แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีรากในช่วงนั้น
• ภาพของฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงใด จะเป็นช่วงด้วย

อ้างอิง

1. Körner, T. W. (2004). A companion to analysis : a second first and first second course in analysis. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3447-9. OCLC 53038515.
2. Sanders, Sam (2017). "Nonstandard Analysis and Constructivism!". arΧiv:1704.00281 [math.LO]. 

ดูเพิ่ม

• ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ย
• ทฤษฎีบทจุดตรึงของเบราว์เออร์

ลิงก์เพิ่มเติม

• บทพิสูจน์ใน Mizar system: http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4