ฟังก์ชันเลียปูนอฟ

ฟังก์ชันเลียปูนอฟ (อังกฤษ: Lyapunov function) เป็นฟังก์ชันที่ใช้ในการการหาเสถียรภาพของระบบพลวัตในทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟ โดยตั้งตามชื่อของ อเล็กซานเดอร์ มิคาอิลโลวิช เลียปูนอฟ นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย (6 มิถุนายน ค.ศ. 1857 – 3 พฤศจิกายน ค.ศ. 1918) ฟังก์ชันนี้มีบทบาทสำคัญมากในทฤษฎีเสถียรภาพ และ ทฤษฎีระบบควบคุม

ในขณะนี้ยังไม่มีวิธีการทั่วไปในการหาฟังก์ชันเลียปูนอฟของระบบในกรณีทั่วไป เพราะในทฤษฎีเสถียรภาพของเลียปูนอฟสามารถบอกได้เพียงว่า ถ้าหากฟังก์ชันเลียปูนอฟสอดคล้องกับเกณฑ์ของเสถียรภาพจึงสามารถสรุปได้ว่าระบบนั้นมีเสถียรภาพ แต่ในทางกลับกัน ระบบที่มีเสถียรภาพไม่สามารถบ่งบอกได้ว่าฟังก์ชันแบบใดที่เป็นฟังก์ชันเลียปูนอฟได้ ดังนั้นในการพิสูจน์เสถียรภาพของระบบ จะกระทำโดยการสร้างฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติตรงตามคุณสมบัติฟังก์ชันที่เข้าเกณฑ์การเป็นฟังก์เลียปูนอฟจะเรียกว่า ฟังก์ชันพลังงาน (Energy function หรือ Lyapunov-candidate-functions) กล่าวคือ การที่ไม่สามารถหาฟังก์ชันเลียปูนอฟได้นันไม่ได้เป็นการพิสูจน์ได้ว่าระบบนั้นไม่ได้มีเสถียรภาพ แต่การที่สามารถหาฟังก์ชันเลียปูนอฟมาพิสูจน์เสถียรภาพได้เป็นการพิสูจน์ได้ว่าระบบนั้นๆมีเสถียรภาพ

ในทางปฏิบัติสำหรับระบบพลวัตทางฟิสิกส์ มักนิยมใช้กฎอนุรักษ์ต่างๆในการสร้างฟังก์ชันพลังงานได้

นิยามของฟังก์ชันพลังงาน

กำหนดให้ ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$  เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและเป็นสเกลาร์

${\displaystyle V}$  จะเป็นฟังก์ชันพลังงานถ้าหาก ${\displaystyle V}$  เป็นฟังก์ชันบวกแน่นอนเฉพาะแห่ง (locally positive-definite function) กล่าวคือ

• ${\displaystyle V(x)>0\quad \forall x\in U\setminus \{0\}}$  โดยที่ ${\displaystyle U}$  เป็นเซตบริเวณใกล้เคียงรอบจุด ${\displaystyle x=0}$ 
• ${\displaystyle V(0)=0\,}$ 

หมายเหตุ: ตัวอย่างของฟังก์ชันพลังงาน ได้แก่ ${\displaystyle V(z)=z^{T}Pz\,}$  โดยที่ ${\displaystyle P=P^{T}\in R^{n\times n}>0\,}$  กล่าวคือ ${\displaystyle P\,}$  คือเมทริกซ์บวกแน่นอน

นิยามของจุดสมดุลของระบบ

กำหนดให้ ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ 

${\displaystyle {\dot {y}}=g(y)\,}$  เป็นระบบพลวัตอัตตาณัติที่กำหนดให้ โดยมีจุดสมดุลกำหนดให้เป็น ${\displaystyle y^{*}\,}$  ดังนั้น

${\displaystyle 0=g(y^{*})\,}$ 

โดยไม่เสียความเป็นนัยยะทั่วไป เราสามารถแปลงพิกัดในอยู่ในรูป ${\displaystyle x=y-y^{*}\,}$  เพื่อให้ระบบที่เราจะพิจารณาต่อไปมีจุดสมดุลอยู่ที่จุดกำเนิด ทำให้ความสะดวกต่อการพิจารณาต่อไป ดังต่อไปนี้

${\displaystyle {\dot {x}}=g(x+y^{*})=f(x)\,}$ 

${\displaystyle f(0)=0\,}$ 

พื้นฐานของทฤษฎีเสถียรภาพเลียปูนอฟสำหรับระบบอัตตาณัติ

กำหนดให้ ${\displaystyle x^{*}=0\,}$  เป็นจุดสมดุลของระบบอัตตาณัติ

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)\,}$ 

และให้ ${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {\partial V}{\partial x}}\cdot {\frac {dx}{dt}}=\nabla V\cdot {\dot {x}}=\nabla V\cdot f(x)}$ 

เป็นเป็นอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงาน${\displaystyle V}$ 

เสถียรภาพของจุดสมดุล

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน ${\displaystyle V}$  เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบกึ่งแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative semidefinite):

${\displaystyle {\dot {V}}(x)\leq 0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}}$ 

สำหรับย่าน ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  รอบจุด ${\displaystyle 0}$  จะสรุปได้ว่าจุดสมดุลนั้นมีเสถียรภาพ (stable)

เสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน ${\displaystyle V}$  เป็นบวกแน่นอนเฉพาะที่ และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนเฉพาะที่ (locally negative definite):

${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in {\mathcal {B}}\setminus \{0\}}$ 

สำหรับย่าน ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$  รอบจุด ${\displaystyle 0}$  จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพเฉพาะที่เชิงเส้นกำกับ (locally asymptotically stable)

เสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ

ถ้าฟังก์ชันพลังงาน ${\displaystyle V}$  เป็นบวกแน่นอนวงกว้าง (globally positive definite) และอนุพันธ์เชิงเวลาของฟังก์ชันพลังงานเป็นลบแน่นอนวงกว้าง (globally negative definite):

${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0\quad \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\},}$ 

จะสรุปได้ว่าจุดสมดุล มีเสถียรภาพวงกว้างเชิงเส้นกำกับ (globally asymptotically stable)

หมายเหตุ :ฟังก์ชันพลังงาน ${\displaystyle V(x)}$  จะไม่มีขอบเขตถ้าหาก ${\displaystyle \|x\|\to \infty \Rightarrow V(x)\to \infty }$ 

ตัวอย่าง

พิจารณาสมการอนุพันธ์ ที่มีคำตอบเป็น ${\displaystyle x}$  โดยที่ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ :

${\displaystyle {\dot {x}}=-x}$ 

จะเห็นว่า ${\displaystyle |x|}$  มีค่าเป็นบวกรอบจุดกำเนิด ซึ่งเราสามารถนำมาเป็นฟังก์ชันพลังงานได้ กำหนดให้ ${\displaystyle V(x)=|x|}$  โดยที่ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \{0\}}$  ดังนั้น

${\displaystyle {\dot {V}}(x)=V'(x)f(x)=\mathrm {sign} (x)\cdot (-x)=-|x|<0}$ 

จะเห็นได้ว่าระบบที่ถูกอธิบายด้วยสมการอนุพันธ์ข้างต้นมีเสถียรภาพเชิงเส้นกำกับรอบจุดกำเนิด

ดูเพิ่ม

• Ordinary differential equations
• Control-Lyapunov function
• Foster's theorem
• ทฤษฎีระบบควบคุม
• สมการเลียปูนอฟ

อ้างอิง

1. เดวิด บรรเจิดพงศ์ชัย, "ระบบควบคุมพลวัต การวิเคราะห์ การออกแบบ และการประยุกต์ (Dynamical Control Systems Analysis, Design and Applications)" สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2551 (ISBN 978-974-03-2205-4)

• เอริก ดับเบิลยู. ไวส์สไตน์, "Lyapunov Function" จากแมทเวิลด์.
• Khalil, H.K. (1996). Nonlinear systems. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ.

แหล่งข้อมูลอื่น

• Example of determining the stability of the equilibrium solution of a system of ODEs with a Lyapunov function
• Some Lyapunov diagrams