สมาชิก (คณิตศาสตร์)
ในทางคณิตศาสตร์ สมาชิก ของเซต หมายถึงวัตถุแต่ละสิ่งที่ประกอบเข้าด้วยกันเป็นเซต
เซต
เมื่อเราเขียนว่า A = {1, 2, 3, 4} หมายความว่าสมาชิกต่าง ๆ ของเซต A ได้แก่ จำนวน 1, 2, 3 และ 4 กลุ่มย่อยของสมาชิกของ A เช่น {1, 2} เรียกว่าเป็นเซตย่อยของ A
เซตสามารถเป็นสมาชิกของเซตอื่นได้เช่นกัน ลองพิจารณาจาก B = {1, 2, {3, 4}} สมาชิกของ B ไม่ใช่จำนวน 1, 2, 3 และ 4 แต่มีสมาชิกเพียงสามตัวใน B ได้แก่ จำนวน 1, จำนวน 2 และเซต {3, 4}
สมาชิกในเซตสามารถเป็นอะไรก็ได้ ตัวอย่างเช่น C = {สีแดง, สีเขียว, สีน้ำเงิน} ซึ่งเป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิก สีแดง สีเขียว และ สีน้ำเงิน
สัญกรณ์
ความสัมพันธ์ "เป็นสมาชิกของ" ซึ่งเรียกว่า ความเป็นสมาชิกของเซต เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∈ (มาจาก element) และเขียนดังนี้
มีความหมายว่า x เป็นสมาชิกของ A ซึ่งอาจกล่าวได้หลายแบบอาทิ x เป็นของ A, x อยู่ใน A, A ประกอบด้วย x, A มี x รวมอยู่ ฯลฯ อย่างไรก็ตามการอธิบายว่า A ประกอบด้วย x และ A มี x รวมอยู่ ผู้แต่งตำราบางท่านอาจหมายถึง x เป็นเซตย่อยของ A ก็ได้
นิเสธของความเป็นสมาชิกของเซตเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∉ ในลักษณะเดียวกัน
จากตัวอย่างข้างต้น เราสามารถสรุปได้ว่า
- 2 ∈ A —— 2 เป็นสมาชิกของ A
- {3, 4} ∈ B —— {3, 4} เป็นสมาชิกของ B
- สีเหลือง ∉ C —— สีเหลือง ไม่เป็นสมาชิกของ C
ภาวะเชิงการนับของเซต
จำนวนของสมาชิกในเซตแต่ละเซต เป็นสมบัติหนึ่งที่เรียกว่าภาวะเชิงการนับ (cardinality) หรือเรียกอย่างไม่เป็นทางการคือขนาดของเซต จากตัวอย่างด้านบน ภาวะเชิงการนับของเซต A คือ 4 และสำหรับ B กับ C ก็คือ 3 เซตอนันต์คือเซตที่มีสมาชิกเป็นจำนวนอนันต์ ในขณะที่เซตจำกัดคือเซตที่มีจำนวนสมาชิกจำกัด ทั้ง A, B และ C ต่างก็เป็นเซตจำกัด ตัวอย่างเซตอนันต์เช่นเซตของจำนวนธรรมชาติ N = {1, 2, 3, 4, …}
อ้างอิง
- Eric Schechter (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. ISBN 0-12-622760-8. p. 12
- George Boolos (February 4, 1992). 24.243 Classical Set Theory (lecture) (Speech). Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA.
- Paul R. Halmos 1960, Naive Set Theory, Springer-Verlag, NY, ISBN 0-387-90092-6. "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
- Patrick Suppes 1960, 1972, Axiomatic Set Theory, Dover Publications, Inc. NY, ISBN 0-486-61630-4. Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".