อสมการโคชี-ชวาร์ซ

อสมการโคชี-ชวาร์ซ (อังกฤษ: Cauchy–Schwarz inequality บางครั้งเรียก Bunyakovsky inequality หรือ Schwarz inequality, หรือ Cauchy–Bunyakovsky–Schwarz inequality) เป็นอสมการที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในคณิตศาสตร์หลายสาขา อาทิเช่น วิชาพีชคณิตเชิงเส้น การวิเคราะห์เชิงจำนวนจริง ทฤษฎีความน่าจะเป็น และถือเป็นอสมการที่สำคัญที่สุดอสมการหนึ่งในสาขาคณิตศาสตร์ อสมการโคชี-ชวาร์ซมีรูปแบบทั่วไปอีกเรียกว่า อสมการของโฮลเดอร์ (Hölder's inequality)

ประวัติ

อสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปของ อสมการของผลรวม ซึ่งเป็นกรณีอันตะถูกตีพิมพ์ครั้งแรกเมื่อปี ค.ศ. 1821 โดย ออกัสติน-หลุยส์ โคชี (Augustin-Louis Cauchy) ในขณะที่ วิกเตอร์ บันยาคอฟสกี้ (Viktor Bunyakovsky) ลูกศิษย์ของโคชี เสนออสมการในรูปแบบของอสมการปริพันธ์ที่เป็นกรณีทั่วไปกว่าในปี ค.ศ. 1859 และ เฮอร์มาน ชวาร์ซ (Hermann Schwarz) ค้นพบผลลัพธ์ในกรณีทั่วไปของผลคูณภายในเมื่อปี ค.ศ. 1885

อสมการโคชี-ชวาร์ซ

ให้ ${\displaystyle X}$  เป็นปริภูมิผลคูณภายใน และ ${\displaystyle x,y\in X}$ 

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle ,}$ 

โดยที่ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$  คือผลคูณภายใน หลังจากถอดรากที่สองทั้งสองข้างของอสมการ และจัดรูปให้อยู่ในรูปของนอร์มของเวกเตอร์ จะได้ว่า

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,}$ 

โดยที่อสมการทั้งสองข้างจะเท่ากันได้ก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle x}$  และ ${\displaystyle y}$  เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน (ในทางเรขาคณิต, ${\displaystyle x}$  และ ${\displaystyle y}$  ขนานกัน หรือเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นเวกเตอร์ศูนย์)

ในกรณี ${\displaystyle \mathbb {C} }$  เป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน และ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {C} }$  และ ${\displaystyle y_{1},\ldots ,y_{n}\in \mathbb {C} }$  อาจสามารถเขียนอสมการโคชี-ชวาร์ซในรูปแบบชัดแจ้งได้ดังนี้

${\displaystyle |x_{1}{\bar {y_{1}}}+\cdots +x_{n}{\bar {y_{n}}}|^{2}\leq (|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2})(|y_{1}|^{2}+\cdots +|y_{n}|^{2}).}$ 

โดยที่ x₁, ..., x_n, and y₁, ..., y_n เป็นสมาชิกของเวกเตอร์ ${\displaystyle x}$  และ ${\displaystyle y}$ 

หรือสามารถเขียนอยู่ในรูปที่กระชับคือ

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\bar {y_{i}}}\right|^{2}\leq \sum _{j=1}^{n}|x_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{2}.}$ 

การพิสูจน์

พิจารณา กรณี ${\displaystyle y=0}$  จะได้ว่าอสมการข้างต้นเป็นจริง ซึ่งเป็นกรณีไม่สำคัญ

พิจารณา กรณี ${\displaystyle y\neq 0}$  ถ้า ${\displaystyle a}$  เป็นจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จากอสมการจะได้ว่า ${\displaystyle 0\leq \langle x-ay,x-ay\rangle =\langle x,x\rangle -a\langle y,x\rangle -{\bar {a}}\langle x,x\rangle +|a|^{2}\langle y,y\rangle }$ 

พบว่าถ้าแทน ${\displaystyle a}$  ด้วย ${\displaystyle a={\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}}$  แล้ว อสมการโคชี-ชวาร์ซ เป็นจริง

อ้างอิง

1. พัฒนี อุดมกะวานิช, ภาควิชาคณิตศาสตร์ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, การวิเคราะห์เชิงจำนวนจริง (Real Analysis), พ.ศ. 2545 โรงพิมพ์พิทักษ์การพิมพ์
2. J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Ch. 1, Cambridge University Press (April 26, 2004), ISBN 052154677X, ISBN 978-0521546775
3. W. V.Ya. Bunyakovskii Bounjakowsky, "Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finis" Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg (7), 1 (1859)
4. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
5. The Bunyakovskii inequality is also known as the Schwarz inequality; however, Bunyakovskii published his study as early as 1859, whereas in H.A. Schwarz' work this inequality appeared as late as 1884 (without any reference to the work of Bunyakovskii)
6. วัชรพงษ์ โขวิฑูรกิจ ,ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, คณิตศาสตร์วิศวกรรมไฟฟ้าขั้นสูง, สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2546 (ISBN 974-13-2533-9) หน้า 280