อินเตอร์เซกชัน

อินเตอร์เซกชัน (อังกฤษ: intersection) หรือ ส่วนร่วม คือการดำเนินการของเซต เป็นการสร้างเซตใหม่ซึ่งเป็นผลจากการหาสมาชิกทั้งหมดที่เหมือนกันในเซตต้นแบบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ∩ (คล้ายอักษรตัวใหญ่ U กลับหัว)

นิยาม

 

สมมติให้วงกลมสองวงเป็นเซต A กับ B พื้นที่สีม่วงคือการอินเตอร์เซกชันของเซตทั้งสอง

สมมติว่าเอกภพสัมพัทธ์ U ได้นิยามแล้ว กำหนดให้เซตสองเซต A และ B เป็นเซตย่อยของ U การอินเตอร์เซกชันจะให้ผลเป็นเซตใหม่ที่มีสมาชิกทั้งหมดที่ปรากฏอยู่ใน A และ B โดยไม่มีสมาชิกอื่นนอกเหนือจากนี้ นั่นคือ

${\displaystyle A\cap B=\{x\in \mathbf {U} \,|\,x\in A\land x\in B\}}$ 

ตัวอย่างเช่น กรณีที่มีสมาชิกบางส่วนเหมือนกัน ดังนั้นผลของการอินเตอร์เซกชันจึงเป็นเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เหมือนกันเหล่านั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\{1,2,3\}\\B&=\{2,3,4\}\\A\cap B&=\{2,3\}\\\end{aligned}}}$ 

หากทั้งสองเซตมีสมาชิกที่แตกต่างกัน คือไม่มีสมาชิกตัวใดเหมือนกันเลย ผลของการอินเตอร์เซกชันจะได้เซตว่าง เราจะกล่าวว่าทั้งสองเซตนั้น ไม่มีส่วนร่วม (disjoint) ต่อกัน

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\{1,2,3,4\}\\B&=\{5,6,7,8\}\\A\cap B&=\varnothing \\\end{aligned}}}$ 

สมบัติ

อินเตอร์เซกชันมีสมบัติต่างๆ ทางพีชคณิตดังต่อไปนี้

• อินเตอร์เซกชันมีสมบัติการสลับที่ ดังนั้นลำดับในการอินเตอร์เซกชันเซตจึงเป็นอย่างไรก็ได้
  • ${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$ 
• อินเตอร์เซกชันมีสมบัติการเปลี่ยนหมู่ จากตัวอย่างนี้
  • ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)=A\cap B\cap C}$ 
• สมาชิกเอกลักษณ์ของการอินเตอร์เซกชันคือเอกภพสัมพัทธ์ (หรือเซตของเซตทั้งหมด)
  • ${\displaystyle \mathbf {U} \cap A=A\cap \mathbf {U} =A}$ 
• เซตใดๆ ที่อินเตอร์เซกชันกับเซตว่าง จะได้เซตว่าง
  • ${\displaystyle \varnothing \cap A=A\cap \varnothing =\varnothing }$ 
• อินเตอร์เซกชันกับยูเนียน มีสมบัติการแจกแจงซึ่งกันและกัน
  • ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\Longleftrightarrow (B\cup C)\cap A=(B\cap A)\cup (C\cap A)}$ 
  • ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\Longleftrightarrow (B\cap C)\cup A=(B\cup A)\cap (C\cup A)}$ 
• อินเตอร์เซกชัน ยูเนียน และส่วนเติมเต็ม มีความสัมพันธ์กันในกฎเดอมอร์แกน
  • ${\displaystyle (A\cap B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cup B^{\mathrm {C} }}$ 
  • ${\displaystyle (A\cup B)^{\mathrm {C} }=A^{\mathrm {C} }\cap B^{\mathrm {C} }}$ 

รูปแบบ

อินเตอร์เซกชันไม่จำกัดทั่วไป

หากเราพิจารณาแนวคิดว่าอินเตอร์เซกชันกระทำบนกลุ่มของเซต ถ้าให้ M คือเซตที่มีสมาชิกเป็นกลุ่มของเซตเหล่านั้น (เซตของเซต) และไม่เป็นเซตว่าง x จะเป็นสมาชิกของการอินเตอร์เซกชันของ M ก็ต่อเมื่อ ทุกๆ เซต A ซึ่งเป็นสมาชิกของ M และ x ก็เป็นสมาชิกของ A เขียนแทนด้วย ${\displaystyle \bigcap \mathbf {M} }$  หรือ ${\displaystyle \bigcap _{A\in \mathbf {M} }A}$  ดังนี้

${\displaystyle x\in \bigcap \mathbf {M} \iff \forall A\in \mathbf {M} ,\ x\in A}$ 

การอินเตอร์เซกชันของ M ในลักษณะนี้ไม่สำคัญว่า M จะมีจำนวนสมาชิก (จำนวนเซต) มากเท่าใด

สัญกรณ์ ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}}$  หมายถึงการอินเตอร์เซกชันของกลุ่มเซต A_i ทั้งหมด โดยที่ i เป็นสมาชิกของเซตดัชนี I ซึ่งเป็นสัญกรณ์แบบเดียวกับการเขียนอนุกรม สำหรับ อินเตอร์เซกชันไม่จำกัด (หรืออินเตอร์เซกชันอนันต์) เซตดัชนี I จะเป็นเซตไม่จำกัด เช่นจำนวนธรรมชาติ สามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}=A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \dots }$ 

อินเตอร์เซกชันไม่จำกัดซึ่งกลุ่มของเซตนั้นว่าง

ในหัวข้อก่อนหน้านี้ได้ยกเว้นไว้ในกรณีที่ M เป็นเซตว่าง ซึ่งจะได้อธิบายเหตุผลต่อไป ถ้าให้อินเตอร์เซกชันของกลุ่มของเซต M ได้ถูกนิยามไว้แล้วดังนี้

${\displaystyle \bigcap \mathbf {M} =\{x:x\in A\;{\mbox{ for all }}A\in \mathbf {M} \}}$ 

ในกรณีที่ M เป็นเซตว่าง นั่นหมายความว่าไม่มีเซต A ใดๆ อยู่ใน M เลย จึงทำให้เกิดคำถามขึ้นว่า "จะมี x ค่าไหนที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุบ้าง" คำตอบจึงดูเหมือนว่าเป็น "ทุกค่าของ x ใดๆ ก็ได้" เพราะว่าเมื่อ M เป็นเซตว่าง เงื่อนไขข้างต้นเป็นตัวอย่างหนึ่งของความจริงว่างเปล่า (vacuous truth) ซึ่งจะเป็นจริงเสมอ ดังนั้นการอินเตอร์เซกชันเช่นนี้จึงควรมีคำตอบเป็นเอกภพสัมพัทธ์ ซึ่งไม่มีในทฤษฎีเซตมาตรฐาน (ZFC)

การแก้ปัญหานี้คือการยอมรับว่าเซตทุกเซตเป็นเซตย่อยของเอกภพสัมพัทธ์ U แล้วปรับแต่งการนิยามเพื่อให้สามารถใช้กับ M ที่เป็นเซตว่าง

${\displaystyle \bigcap \mathbf {M} =\{x\in \mathbf {U} :x\in A\;{\mbox{ for all }}A\in \mathbf {M} \}}$ 

แล้วคำตอบของการอินเตอร์เซกชันจึงจะเป็นเอกภพสัมพัทธ์ U

อ้างอิง

• วัชรี กาญจน์กีรติ, พีชคณิตนามธรรม. กรุงเทพฯ : สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2551. ISBN 978-974-03-2114-9

ดูเพิ่ม

• ผลต่างสมมาตร
• ยูเนียน
• ส่วนเติมเต็ม
• การดำเนินการทวิภาควนซ้ำ

แหล่งข้อมูลอื่น